спрашивал, говорят (я не помню) мой учитель математики Б.П. Гейдман на своих уроках. И сам себе отвечал: "Родина начинается с области определения функции".
Не знаю, с чего начинается родина; а моя статья зачастую начинается с нескольких страниц обсуждения философии во введении, за которыми следуют, наконец, определения основных понятий, о которых пойдет речь, и формулировки основных результатов.
Как же сформулировать конструкцию эквивалентности между D(C-comod) и D(C-contra) в этих примерах напрямую, не прибегая к описанию формальной схемы как дополнения к открытой подсхеме? Что это все-таки за комплекс, играющий роль ядра в паре сопряженных функторов контратензорного произведения и контрагерентных гомоморфизмов, индуцирующих эту эквивалентность?
Сформулировать соответствующую философию/эвристику непросто, поскольку она отличается от обычных интуиций. Очевидной идеей было бы, что в формальном пополнении замкнутой подсхемы Y в схеме X имеются "направления вдоль Y" и "направления в X, трансверсальные к Y" -- но это не то, что здесь нужно.
Правильная мысль звучит, кажется, примерно так: формальная окрестность Y в X -- это что-то отчасти вроде очень маленькой открытой окрестности Y в X, но не совсем. Обычно я объяснял студентам так: формальная окрестность -- это, значит, вы берете ножницы и вырезаете из X бесконечно тонкую полоску вдоль Y. В данном же контесте нужно сказать, что формальная окрестность Y в X содержит (как подобает открытой окрестности) все направления, имеющиеся в X -- но наряду с этим, поскольку она очень тонкая, в ней проявляются дополнительные граничные эффекты, создаваемые линией отреза.
Обозначим эту формальную окрестность через Z, как раньше. Тогда идея в том, что в направлениях вдоль X формальная схема ведет себя, как обычная схема, то есть локально это кольцо A, и для эквивалентности между D(A-mod) и D(A-mod) достаточно использовать A в роли ядра. В направлениях глобальной склейки гомологическая размерность конечна в предположениях квазикомпактности и т.п., подразумеваемых в условии глобальной нетеровости.
Более нетривиальное/неожиданное наблюдение в том, что (в предположениях нетеровости) гомологическая размерность конечна и в направлениях граничного среза тоже. В каком-то смысле, именно на это указывает наш первоначальный аргумент с открытым дополнением к Y в X и его конечным аффинным открытым покрытием. При этом граничный срез (так же, как и глобальная склейка) -- это "переменные коалгебры". (Не той коалгебры C, которая выше, а некой новой, условно-вспомогательной; назовем ее пока, скажем, D.)
Если так, то ясно, что нужно делать: где гомологическая размерность конечна, там нет разницы между производными категориями первого и второго рода, так что мы можем с тем же успехом воображать, что у нас ко/контрапроизводная категория в этих направлениях. И тогда для построения ко-контра соответствия нам нужна в этих направлениях "сама коалгебра D как (би)комодуль над собой" в роли ядра. С точки зрения алгебры D*, условно-двойственной к коалгебре D, это выглядит как некий канонический дуализирующий комплекс.
Между математиками есть двоякого рода математики: 1) математики-философы, т. е. математики высшей математической мысли, для которых цифры и исчисления есть ремесло; для этого рода математиков цифры и исчисления не имеют никакого значения; их увлекают не цифры и исчисления, а сами математические идеи. Одним словом, это математики, если можно так выразиться, - чистой философской математики.
2) Напротив, есть такие математики, которых философия математики, математические идеи - не трогают; которые всю суть математики видят в исчислениях, цифрах и формулах. - Между этими последними математиками также есть математики очень крупные.
К числу математиков первого рода, т. е. математиков-философов принадлежат такие крупные ученые, как, напр., Остроградский, Чебышев, Сабинин, хотя последний вследствие своего порока не мог развить свой большой талант.
К числу же математиков-исчислителей принадлежал, например, мой предшественник по министерству финансов - министр финансов Вышнеградский, бывший ранее профессором Технологического института, а затем там же директором; он был учеником Остроградского. Вышнеградский не признавал никакой философии в математике, утверждая, что философия эта есть ничто иное, как бесполезное глупое блуждание; суть же математики он видел в цифрах и формулах. К числу таких математиков относится и большая часть нынешних математиков, напр., академик Марков.
Математики, так сказать, чистые математики, философы-математики, к которым принадлежу и я, - относятся всегда с презрением к математикам-исчислителям, а математики-исчислители, среди которых есть много ученых весьма знаменитых, смотрят на математиков-философов, как на людей в известной степени "тронутых".
Физики редко проясняют свои теории до той степени, когда критику легко поймать их на слове.
Текст Манина:
Не понимая настоящей физики, выраженной уравнениями, философы принимают за физику слова, которые говорятся вокруг и по поводу уравнений (в том числе, конечно, и самими учёными). Но слова обманчивы, двусмысленны и многолики, как Протей. И чем дальше, тем эта ситуация становится хуже, потому что уравнения, которыми оперирует современная наука, усложняются чрезвычайно, и всё труднее оказывается без специального образования хотя бы приблизительно, на полуинтуитивном уровне, представить себе, как они выглядят и что означают. Но что говорить о современной науке, когда, как выясняется, классик философии науки обнаруживает непонимание даже классической механики. Впрочем, дело не в сложности уравнений, а в принципиально разном модусе мышления философа и физика. Философ убеждён, что всё, что можно доказать, можно доказать одними словами; в этом и состоит главный порок философии, по крайней мере когда она обращается к естествознанию.
Update: ptitza частично признала себя виновной и удалила свой дневник; kdv2005 считает, что я ее затравил (в числе остальных, предположительно). [Точнее см. в комментах.]
Ну да, я математик и выходец из полуподпольной математической Москвы конца 80-х годов, царства меритократии. К тому же, у меня есть опыт участия в дискуссиях о политике в интернете. Я, конечно, профессионально деформирован, тут нет сомнений. Для меня дело сводится к тому, что ценность добросовестной профессиональной дискуссии превышает ценность личных душевных переживаний. Каждый имеет право утверждать и доказывать, что вся современная математика никуда не годится и древние вавилоняне знали лучше, и что угодно в этом роде. Но говорящий такие вещи не смеет требовать, чтобы на сказанные им в другой раз глупости не давали открытых ссылок в интернете.
Резольвентой чего является ацикличный комплекс? Кажется, философия гомологической алгебры знает два возможных ответа на этот вопрос.
1. Ацикличный комплекс как резольвента своего модуля циклов в степени 0. На этой идее основана теория когомологий Тейта, где ключевую роль играет категория бесконечных в обе стороны ацикличных комплексов с какими-то там свойствами приспособленности. Типичный пример -- внешняя алгебра с одной образующей Λ и известный бесконечный в обе стороны, нестягиваемый, ацикличный комплекс проективно-инъективных Λ-модулей (с одной (ко)образующей).
2. Ацикличный комплекс как резольвента не вполне понятно, чего, помещенного в степень плюс или минус бесконечность. На эту тему рассуждает А.В. в своей известной статье, (преувеличенно громко, на мой взгляд) озаглавленной "Полубесконечная гомологическая алгебра".
Типичным примером может служить симметрическая коалгебра C с бесконечным числом кообразующих. Если рассмотреть тривиальный C-комодуль k, написать ему правую инъективную резольвенту в категории С-комодулей, и применить функтор комодульно-контрамодульного соответствия &PsiC = Hom_C(C,-), получится ацикличный комплекс свободных C-контрамодулей, который можно представлять себе, как проективную резольвенту тривиального контрамодуля k, помещенного в когомологическую степень +∞. На самом деле в плюс бесконечности сидит, конечно, не k, а некое условное одномерное векторное пространство, не вполне существующее, поскольку бесконечно подкрученное. Чтобы понять, что происходит, можно заменить C на симметрическую коалгебру с конечным числом n кообразующих; тогда RΨC(k) будет одномерным контрамодулем, сидящим в когомологической градуировке n. На более привычном языке алгебр, речь здесь идет о вычислении Ext*A(k,A) для кольца многочленов A от конечного или бесконечного числа переменных.
Мораль: с точки зрения пункта 2, не следует ограничиваться одними только ацикличными комплексами. Просто любой объект контрапроизводной категории имеет, наряду с когомологиями в конечных степенях, некие очень условные "когомологии на плюс бесконечности". А объект копроизводной категории -- имеет "когомологии на минус бесконечности". В отдельных случаях объекты контрапроизводной категории могут мыслиться как (проективные) резольвенты чего-то там, живущего на плюс бесконечности. Что это за отдельные случаи -- трудно сказать, но вопрос не обязательно сводится к рассмотрению подкатегории в контрапроизводной категории, состоящей из ацикличных комплексов.
