Лёня Посицельский

на простые вопросы.

Кто хочет производную неоднородную кошулеву двойственность -- вот, пожалуйста. Для этого нужны производные категории второго рода. Они бывают копроизводные, контрапроизводные, абсолютные производные и какие-то еще. На этот счет есть соответствующая философия, или как ее назвать, идеология, которая как-то там это объясняет.

Кто хочет полубесконечные когомологии ассоциативных алгебр -- пожалуйста. Для этого нужны полуалгебры, они же алгебры над коалгебрами. Да, и если вы хотите именно КОгомологий, то еще контрамодули нужны. На этот счет есть соответствующая философия...

Кто хочет производные категории искривленных А-бесконечность модулей -- пожалуйста. Модули должны быть не более, чем слабо искривленными, в этом состоит ответ. Для этого нужны контрамодули, операции над ними... на этот счет есть соответствующая философия...

Сколько существует абелевых категорий адически полных модулей, над кольцом с идеалом? Априори (если не думать) наиболее вероятным ответом покажется ноль, следующим по вероятности -- одна. Правильный ответ: над нетеровым кольцом одна, над ненетеровым кольцом с конечно-порожденным идеалом -- в общем случае, две. Почему две?

А триангулированных категорий производно полных модулей -- сколько? Над нетеровым кольцом одна, над ненетеровым -- три. Две как бы главные и одна между ними посередине, промежуточный вариант. Цифру надо еще помножить на четыре (комплексы, ограниченные сверху, снизу, с обеих сторон, ни с одной стороны) -- но это я игнорирую. Почему три? Как об этом можно догадаться? Ответ: никак. На этот счет даже никакой философии нет. То есть, я не знаю. Просто, так получается. Если хорошенько подумать.

Сколько существует триангулированных категорий матричных факторизаций? Три больших и две маленькие? Ну, в общем, что-то в этом роде. Почему? Потому.

На естественные вопросы есть ответы, но они непросты. Они контринтуитивны, т.е., в ранее существовавшую интуицию они не укладываются. Читателю предлагается расширить свою интуицию, чтобы их включить.

Людям трудно раз за разом так расширять свою интуицию. Многие люди не могут выучить мои сложные ответы на свои простые вопросы. Мои ответы кажутся этим людям бесконечно сложными.

Дедемократизация гомологической алгебры, это называется. Должно быть, замысел Всевышнего предполагает дедемократизацию гомологической алгебры на данном историческом этапе.

спрашивал, говорят (я не помню) мой учитель математики Б.П. Гейдман на своих уроках. И сам себе отвечал: "Родина начинается с области определения функции".

Не знаю, с чего начинается родина; а моя статья зачастую начинается с нескольких страниц обсуждения философии во введении, за которыми следуют, наконец, определения основных понятий, о которых пойдет речь, и формулировки основных результатов.

Изучать философию следует, в лучшем случае, после пятидесяти. А писать статьи по теории категорий -- после сорока.

Впрочем, я не настаиваю.

Послезавтра вечером я возвращаюсь из Праги обратно в Хайфу.

Какое-то умиротворенное чувство -- в сущности, все хорошо. Ни знаменитым, ни богатым я в обозримое время не стану -- но мне кажется, что моя деятельность в сумме за прошедшую часть жизни может быть признана оригинальной, нетривиальной и полезной, принесшей полезные плоды. Мысль об этом очень утешает.

Как ни крути, а сегодня я счастливее и чем десять лет назад, и чем двадцать лет назад, и чем тридцать, и даже чем сорок. Наверное, это говорит что-то о том, что жизнь не то, чтобы удалась, но как бы это сказать... состоялась.

Вот хороший стишок, который мне прислали несколько колов времени назад комментом тут в ЖЖ:

Если есть у тебя для жилья закуток —
В наше подлое время — и хлеба кусок,
Если ты никому не слуга, не хозяин —
Счастлив ты и воистину духом высок.

Омар Хайям рулит. Впрочем, и время не такое уж подлое. Лицемерное, да -- но в целом, скорее, нелепое.

Весной 1999 года появились два варианта определения того, что тогда называлось производными категориями второго рода. К тому времени, когда (весной 2009 года) появился мой препринт на эту тему, они стали называться копроизводными и контрапроизводными категориями.

В 2000-02 годах была сформулирована философия полубесконечной гомологической алгебры: следует рассматривать структуры, являющиеся коалгебрами по половине переменных и алгебрами по другой половине; модульные объекты над такими структурами могут быть комодулями или контрамодулями над переменными коалгебры, будучи в любом случае модулями над переменными алгебры. У таких модулей следует рассматривать полупроизводные категории -- копроизводные или контрапроизводные в том направлении, в котором имеются комодули или контрамодули, и обычные производные в том направлении, в котором модули.

Где-то, кажется, в начале 2009 года я задался вопросом, как следует относиться к геометрическим объектам: следует ли считать пучки на многообразии модулями или комодулями, рассматривать для них обычную производную или копроизводную категорию? Через несколько месяцев размышлений на эту тему, мне захотелось иметь определение того, что тогда называлось "контракогерентными пучками" (чтобы для них контрапроизводную категорию рассматривать). Весной 2012 года, когда, после ряда неудачных попыток, это определение у меня, наконец, появилось, они стали называться "контрагерентными копучками".

Немало времени ушло на преодоление психологического барьера между контрамодулями над коалгебрами над полями -- геометрически соответствующими инд-нульмерным схемам -- и контрамодулями над геометрическими объектами положительной размерности. Осознание (в начале весны 2012 года) того, что теория контрамодулей над адическим пополнением нетерова коммутативного кольца почти не зависит от того, является ли идеал, по которому производится пополнение, максимальным или произвольным, помогло мне преодолеть этот рубеж.

Где-то с весны 2009 года постепенно начало выясняться, что в контексте комодульно-контрамодульного соответствия можно рассматривать и ко- или контрапроизводные категории модулей, и, наоборот, обычные производные категории комодулей и контрамодулей. Вершиной этого развития стала сформулированная весной 2015 года философия дуализирующих и дедуализирующих комплексов.

Летом 2016 года стало понятно, что производные категории первого рода ("обычные") и второго рода (ко- и контрапроизводные) образуют не дихотомию с возможностью надстраивать одно над другим, а что-то вроде непрерывного спектра -- появилось то, что в моем мартовском, 2017 года, препринте стало называться псевдо-копроизводными и псевдо-контрапроизводными категориями. С новой точки зрения, сама постановка вопроса о том, должен ли считаться тот или иной геометрический объект "алгеброй" или "коалгеброй", занимавшая столь важное место в моих размышлениях 2009-15 годов, лишается своего значения.

Что дальше? Я не знаю, что дальше. Пока что можно сказать, что если в 1999-2009 годах я занимался, условно, теорией представлений, а в 2009-15 -- алгебраической геометрией, то начиная со второй половины 2015 и, особенно, с 2016 года, я переместился в чистую алгебру. При этом, разумеется, все это время, как и всю жизнь вообще, я работаю, в каком-то смысле, над одним и тем же; просто это "одно и то же" по-разному пересекает общепринятые границы областей -- границы того, чем занимаются другие люди.

"По-видимому, чтобы быть мудрым, надо думать много, но лениво. Только тот, кто думает, забывая о том, что он думает, может до чего-нибудь додуматься. Чтобы думать, надо выпадать из жизни. Дар философа — дар выпадения из жизни при сохранении памяти о ней." (Ф. Искандер, "Человек и его окрестности".)

http://aron-turgenev.livejournal.com/921237.html

Продолжение http://posic.livejournal.com/1101059.html

Как же сформулировать конструкцию эквивалентности между D(C-comod) и D(C-contra) в этих примерах напрямую, не прибегая к описанию формальной схемы как дополнения к открытой подсхеме? Что это все-таки за комплекс, играющий роль ядра в паре сопряженных функторов контратензорного произведения и контрагерентных гомоморфизмов, индуцирующих эту эквивалентность?

Сформулировать соответствующую философию/эвристику непросто, поскольку она отличается от обычных интуиций. Очевидной идеей было бы, что в формальном пополнении замкнутой подсхемы Y в схеме X имеются "направления вдоль Y" и "направления в X, трансверсальные к Y" -- но это не то, что здесь нужно.

Правильная мысль звучит, кажется, примерно так: формальная окрестность Y в X -- это что-то отчасти вроде очень маленькой открытой окрестности Y в X, но не совсем. Обычно я объяснял студентам так: формальная окрестность -- это, значит, вы берете ножницы и вырезаете из X бесконечно тонкую полоску вдоль Y. В данном же контесте нужно сказать, что формальная окрестность Y в X содержит (как подобает открытой окрестности) все направления, имеющиеся в X -- но наряду с этим, поскольку она очень тонкая, в ней проявляются дополнительные граничные эффекты, создаваемые линией отреза.

Обозначим эту формальную окрестность через Z, как раньше. Тогда идея в том, что в направлениях вдоль X формальная схема ведет себя, как обычная схема, то есть локально это кольцо A, и для эквивалентности между D(A-mod) и D(A-mod) достаточно использовать A в роли ядра. В направлениях глобальной склейки гомологическая размерность конечна в предположениях квазикомпактности и т.п., подразумеваемых в условии глобальной нетеровости.

Более нетривиальное/неожиданное наблюдение в том, что (в предположениях нетеровости) гомологическая размерность конечна и в направлениях граничного среза тоже. В каком-то смысле, именно на это указывает наш первоначальный аргумент с открытым дополнением к Y в X и его конечным аффинным открытым покрытием. При этом граничный срез (так же, как и глобальная склейка) -- это "переменные коалгебры". (Не той коалгебры C, которая выше, а некой новой, условно-вспомогательной; назовем ее пока, скажем, D.)

Если так, то ясно, что нужно делать: где гомологическая размерность конечна, там нет разницы между производными категориями первого и второго рода, так что мы можем с тем же успехом воображать, что у нас ко/контрапроизводная категория в этих направлениях. И тогда для построения ко-контра соответствия нам нужна в этих направлениях "сама коалгебра D как (би)комодуль над собой" в роли ядра. С точки зрения алгебры D*, условно-двойственной к коалгебре D, это выглядит как некий канонический дуализирующий комплекс.

Между математиками есть двоякого рода математики: 1) математики-философы, т. е. математики высшей математической мысли, для которых цифры и исчисления есть ремесло; для этого рода математиков цифры и исчисления не имеют никакого значения; их увлекают не цифры и исчисления, а сами математические идеи. Одним словом, это математики, если можно так выразиться, - чистой философской математики.

2) Напротив, есть такие математики, которых философия математики, математические идеи - не трогают; которые всю суть математики видят в исчислениях, цифрах и формулах. - Между этими последними математиками также есть математики очень крупные.

К числу математиков первого рода, т. е. математиков-философов принадлежат такие крупные ученые, как, напр., Остроградский, Чебышев, Сабинин, хотя последний вследствие своего порока не мог развить свой большой талант.

К числу же математиков-исчислителей принадлежал, например, мой предшественник по министерству финансов - министр финансов Вышнеградский, бывший ранее профессором Технологического института, а затем там же директором; он был учеником Остроградского. Вышнеградский не признавал никакой философии в математике, утверждая, что философия эта есть ничто иное, как бесполезное глупое блуждание; суть же математики он видел в цифрах и формулах. К числу таких математиков относится и большая часть нынешних математиков, напр., академик Марков.

Математики, так сказать, чистые математики, философы-математики, к которым принадлежу и я, - относятся всегда с презрением к математикам-исчислителям, а математики-исчислители, среди которых есть много ученых весьма знаменитых, смотрят на математиков-философов, как на людей в известной степени "тронутых".

http://libclub.com/V/VitteSYu/VitteSYu-206-16.htm

В конце концов, все упирается в простейшее соображение. Возможность производства осмысленного продукта в жанре "интервью с директором магазина Овощи-Фрукты" предполагает, что интервьюер имеет представление о базовых свойствах овощей и фруктов (а равно магазинов, денег, цен, ящиков, весов, кассы, продавцов, грузчиков, покупателей, проверяющих инстанций и прочих фигурантов этой истории). Он знает, что такое у фруктов сорт, сезонность, размер, вес, вид, вкус, спелость, подпорченность, и т.д. Попросту, он имеет необходимую подготовку, позволяющую ему придать смысл деталям, о которых рассказывает директор магазина, вникнуть в существо проблем, с которыми тот сталкивается.

Есть еще такая профессия -- специалист по какому-то региону или группе народов (востоковед, и т.д.) Как я понимаю, владение арабским или японским считается базовым требованием к людям, претендующим на звание арабистов или японистов, соответственно. Если ты арабист, то ты должен читать в оригинале арабские газеты и книги, разговаривать с арабскими чиновниками на их языке, и улавливать содержание разговоров местных жителей в кафе и на улицах арабских городов.

Неспособные потянуть аналогичные требования "специалисты по ученым" читают вместо научных текстов популярные изложения, вводные разделы учебников и предисловия к монографиям. Но популяризация -- это принципиально безответственный жанр, призванный развлекать или внушать чувство комфорта, а не объяснять или передавать понимание предмета. Что сказали бы математику, взявшемуся писать научные работы о математических основах квантовой теории поля и теории струн на основании прочтения пары популярных книжек для домохозяек и нескольких предисловий? Вот ровно то же самое, по хорошему, следует этому философу и социологу сказать.

В ответ социолог, вероятно, приведет известный аргумент о слоне, мнения которого о себе не спрашивают зоологи. Разумеется, возможность изучать слонов методом внешнего наблюдения (т.е., не спрашивая их мнений) упирается в то, что слоны являются гораздо более примитивными существами, чем наблюдающие за ними люди. В случае с физиком и философом/социологом соотношение интеллектов, скажем так, несколько иное. Для сравнения, можно представить себе слонов, соорудивших у себя кафедру человековедения и строящих свои теории на основе изучения строения заброшенных человеческих хижин и вида валяющихся поблизости обрывков газет. В противоположность шутке про слона, реальные аналогии (см. примеры выше) указывают на прямо противоположные выводы.

Разумеется, описанная проблема -- не единственная; социальные и гуманитарные области знания находятся сейчас в общем упадке, и среди их представителей по большей части принято нести вздор в том числе, или даже прежде всего, по тем вопросам, в которых они по своему образованию и подготовке вполне могли бы, при желании, разобраться. С другой стороны, единственный приходящий в голову пример по-настоящему интересного произведения в жанре "философии науки" -- книжка Лакатоша "Доказательства и опровержения" -- отличается как раз тем, что автор понимает (достаточно несложную) математику, об истории и философии которой пишет.

1. Если выбросить из книжки "Доказательства и опровержения" всю математику и историю, то останется, по моим представлениям, голый философский тезис в следующем виде:

- Стремление к беспрестанному поиску максимальной естественной общности для всех высказываний несовместимо с намерением избегать ошибочных утверждений.

Я бы сказал, что в таком виде это во многом верно, но логически отсюда следует не однозначный вывод, а развилка. Лакатош делает вывод о необходимости смириться с неизбежностью ошибок. Математики делают вывод о необходимости мириться с неестественными ограничениями общности.

2. Доказательствопорожденные понятия.

- Понятия рождаются из доказательств. Понятия не имеют смысла и не могут быть восприняты вне контекста доказательств, их породивших.

Я бы сказал, что первое утверждение более-менее верно, а второе и третье применимы лишь к наименее удачным из понятий. Лакатош недооценивает как стремление математиков к прозрачным и удобным определениям, так и, что самое важное здесь, применимость хороших определений во множестве самых разных доказательств.

3. Вот еще один тезис, который мне запомнился (возможно, из других сочинений Лакатоша).

- Априорная теория, выводимая из самоочевидных посылок, упирается в проблему растяжимости понятий. Растяжение рамок первичных понятий опровергает любые самоочевидные аксиомы. Кристально ясных и нерастяжимых понятий не бывает.

Я бы сказал, что понятие натурального числа является хорошим кандидатом в кристально ясные и нерастяжимые понятия. Я знаю, что эта позиция оспаривается многими авторами, конечно.

4. И еще один:

- Подтверждение следствий из аксиом не позволяет сделать предположительного вывода об истинности исходных аксиом. Выводы об истинности могут корректно делаться только при движении вперед вдоль логических импликаций, а не назад.

Я бы сказал, что все естествознание стоит на том, чтобы делать предположительные выводы об истинности при движении назад вдоль логических импликаций. И как-то живут они с этим, ничего.

---

Избранный Лакатошем пример с теоремой Эйлера о многогранниках в смысле сказанного выше показателен. С современной точки зрения ясно, что поиск максимальной естественной общности для этой теоремы есть задача, которую нельзя решить в одночасье. В то же время, для выпуклых многогранников теорема Эйлера верна и избавиться от контрпримеров в такой ее формулировке не так уж сложно.

При этом само понятие многогранника и поныне принадлежит скорее, так сказать, математическому быту, чем математике как системе концепций. Лично я, во всяком случае, затрудняюсь сходу дать определение (не выпуклого) многогранника и думаю, что большинство чистых математиков (научных работников) аналогично затруднятся. Понятно, что эта задача разрешима, и даже многими способами; да только мало кто разбирается в этих решениях.

Определение выпуклого многогранника: ограниченная область в вещественном аффинном пространстве, являющаяся пересечением конечного числа замкнутых полупространств, не лежащая целиком ни в какой гиперплоскости. Определение грани (какой-то размерности): пересечение многогранника с гиперплоскостью, ограничивающей замкнутое полупространство, в котором он лежит целиком. Определение размерности грани: размерность минимального аффинного пространства, в котором эта грань содержится.