Category: техника

Век живи, век учись (algebraic weak factorization systems)

Алгебраически делимая (абелева) группа -- это группа, в которой для каждого элемента g и для каждого натурального числа n выбран один из результатов деления g на n, т.е. указан фиксированный элемент hn(g), такой что nhn(g) = g. Никаких других уравнений на отображения g → hn(g) не накладывается, никаких условий согласования.

Алгебраически делимые абелевы группы образуют категорию, морфизмами в которой являются все гомоморфизмы групп, коммутирующие с отображениями hn. Это некоторая категория множеств с операциями, на которые наложены уравнения ("алгебр с сигнатурой и тождествами") -- отсюда термин "алгебраически". Категория эта неаддитивна (поскольку отображения hn не обязаны быть аддитивными), но это категория алгебр над некоторой (неаддитивной) монадой на категории абелевых групп.

Аналогично, алгебраически инъективный левый модуль над кольцом R -- это такой модуль M, что для любого левого идеала I ⊂ R и гомоморфизма левых R-модулей I → M выбрано фиксированное продолжение этого гомоморфизма на R. Функториальное вложение произвольного R-модуля в инъективный можно построить, свободно породив этим модулем алгебраически инъективный R-модуль (функтор этот есть функтор свободной алгебры над некоторой неаддивной монадой на категории R-модулей, не коммутирующей даже с направленными прямыми пределами, если кольцо не нетерово; вообще, как мы знаем, построить функториальную инъективную резольвенту модуля можно и самыми элементарными средствами, но аддитивным такой функтор не будет, если кольцо не является алгеброй над полем).

Аналогично можно говорить об "алгебраических слабых системах факторизации", algebraic weak factorization systems (слабая система факторизации = "половина модельной структуры", в которой есть, допустим, только расслоения и ацикличные корасслоения). Задание множества образующих левого класса морфизмов порождает, в рамках "алгебраической" версии рассуждения о малом объекте (small object argument), соответствующую категорию "алгебраического правого класса морфизмов", у которых для каждого коммутативного квадрата с образующей левого класса зафиксировано поднятие. Эта категория монадична над категорией морфизмов в исходной объемлющей категории.

Экзотические производные категории

Сережа hippie57 в пятницу рассказывал в Стекловке следующее. У Дениса Г. с соавторами есть такая конструкция экзотических производных категорий: берется самая обычная производная категория D каких-нибудь модулей или DG-модулей над чем-нибудь, и в ней выбирается малая триангулированная подкатегория C, в простейшем случае -- порожденная одним объектом, в типичном случае -- содержащая подкатегорию компактных объектов, но не совпадающая с ней.

По построению, для триангулированной категории C у нас есть DG-версия DG(C). На нее можно натянуть триангулированную категорию E с бесконечными прямыми суммами, так чтобы C была в ней подкатегорией компактных образующих (просто взять производную категорию правых DG-модулей над этой DG(С)). Скажем, если D -- неограниченная производная категория локально нетеровой категории Гротендика A (модулей над нетеровым кольцом, когерентных пучков над нетеровой схемой) и C -- ограниченная производная категория нетеровых объектов A, то в качестве E получится копроизводная категория A.

Если S -- полуалгебра над коалгеброй K над полем, и над K есть только конечное число неприводимых комодулей (в простейшем случае, K конечномерна или конильпотентна), и k обозначает прямую сумму этих неприводимых комодулей, и если рассмотреть в производной категории D полумодулей над S триангулированную подкатегорию, натянутую на котензорное произведение S на k над K (т.е., S-полумодуль, индуцированный с k), то в качестве категории E получится полупроизводная категория полумодулей над S относительно K.

Конструкция эта перекрывается с моим определением копроизводных и полупроизводных категорий, но ни одна из этих двух вещей не содержится в другой. С одной стороны, триангулированные подкатегории можно натягивать на самые разные объекты или множества объектов, не обязательно сводящиеся к индуцированным с неприводимых или нетеровых.

С другой стороны, для того, чтобы применять конструкцию Дениса, нужно изначально иметь "обычную" производную категорию, достаточно близкую (т.е., для неких порождающих объектов совпадающую) с желаемой экзотической. Типичным образом, это осуществимо в контексте каких-нибудь неположительно когомологически градуированных DG-алгебр (как в интересующих Дениса DG-схемах) или, наоборот, односвязных неотрицательно когомологически градуированных DG-алгебр.

К стандартному комплексу алгебры Ли, комплексу де Рама, CDG-алгебрам, матричным факторизациям и т.п. все это либо (в последних двух случаях) неприменимо вообще, за отсутствием производной категории первого рода, либо (в первых двух случаях) не позволяет получить копроизводную категорию, поскольку производные категории первого и второго рода совершенно различны уже для самых ограниченных и конечномерных модулей. Ну, т.е., получить копроизводную категорию конструкцией компактного порождения во многих случаях можно, конечно, но для этого нужно стартовать с чего-то вроде абсолютной производной категории нетеровых модулей, которую нужно для начала где-то взять (и внутри обычной производной категории взять ее в перечисленных случаях, видимо, нельзя).