0. Ковариантную двойственность Вердье -- см.
http://posic.livejournal.com/2012/10/07/ ,
http://posic.livejournal.com/915201.html ,
http://arxiv.org/abs/1303.3255 -- как и всякую вообще ковариантную двойственность (в смысле, ко-контра соответствие) интересно делать в ситуации, когда гомологическая размерность бесконечна. В обычной геометрии и топологии этого проще всего достичь, рассматривая пучки и копучки с конечными коэффициентами на орбифолдах, чтобы туда встраивались (ко)гомологии конечных групп. Говорят, эта задача имеет значение в контексте инвариантов Громова-Виттена и чего-то там еще.
1. Все, чем я занимаюсь, называется гомологическая алгебра. Не относящаяся к гомологической алгебре у меня имеется одна работа, самая первая студенческая, сделанная в 16.5 и поданная в журнал в 17 лет заметка на две страницы.
1а. Поэтому тематический классификатор "гомологическая алгебра" является в контексте моих работ универсальным и опускается. Когда я пишу про теорему Пуанкаре-Биркгофа-Витта -- это называется некоммутативная алгебра, про когомологии Галуа числовых полей -- теория чисел, про когомологии Галуа произвольных полей и когомологии проконечных групп -- алгебраическая K-теория, про исключительные наборы в производных категориях когерентных пучков -- проективная алгебраическая геометрия, про ко-контра соответствие для бесконечномерных алгебр Ли -- теория представлений, про ко-контра соответствие для контрагерентных копучков -- алгебраическая геометрия схем, и т.д.
2. Вообще, геометрические науки бывают такие: квазикогерентные пучки на схемах и стеках -- это алгебраическая геометрия, когерентные пучки в комплексном анализе -- это комплексно-аналитическая геометрия, конструктивные пучки в этальной и кристаллической топологиях, а также в аналитической топологии алгебраических многообразий, мотивы, вариации структур Ходжа и т.д. -- это топология алгебраических многообразий, а конструктивные пучки на обычных вещественных топологических пространствах -- это просто обычная топология.
2а. Из всех перечисленных, топологией (как и комплексно-аналитической геометрией) я никогда не занимался. Я, конечно, изучал топологию еще в старшем школьном/раннем студенческом возрасте и потом преподавал ее студентам Вышки, но научных работ по топологии у меня нет.
2б. Одной из причин тому может быть, что я привык продумывать основания областей математики, которыми занимаюсь, а основания дифференциальной геометрии и алгебраической топологии -- дело деликатное, непростое и специальное. Я понимаю, что во многих случаях в качестве альтернативных оснований можно использовать симплициальные множества, но их я тоже не изучал (да оно и не настолько там помогает, как склонны думать наивные граждане).
2в. Поэтому, если (что нелегко себе представить) я вдруг взялся бы за эту тему, самым вероятным сеттингом была бы какая-нибудь этальная топология. Там, конечно, есть свои основания, но их хоть как-то можно выучить по кусочкам.
3. Результатом, если бы все вдруг пошло и получилось, стал бы текст страниц на двести, написанный года где-нибудь за два. А до появления первого внимательного читателя прошли бы потом все двадцать два.
3а. И для этого еще нужно, чтобы все это время кто-нибудь платил мне зарплату. Зарплата мне нужна большая, у вас столько нету.
3б. При этом смысл подобного способа проводить время и тратить деньги сейчас уже абсолютно неясен. Нет никакой пользы в том, чтобы загрузить все знание на большую тему в голову одного человека, которой потом умрет и унесет это с собой в могилу.
3в. Впрочем, двухсотстраничный текст в любом случае никого не интересует, ага. Интересует, чтобы посчитать простейшие примеры. С этим уж точно не ко мне. Никаких примеров я никогда не считал и считать не собираюсь.
4. Поэтому на эту задачу нужно найти какого-нибудь студента. Когда-если таковой заинтересовавшийся обнаружится, присылайте его ко мне консультироваться.
4а. А я тут при чем? Я свои несколько раз по нескольку сотен страниц уже написал. И я вообще этого не люблю, чтобы отбивать работу у молодежи.
4б. Кстати, если, после всех моих усилий, эти вещи по-прежнему остаются недоступными для молодежи (читай, ни для кого, кроме меня), это значит только то, что мои усилия пошли прахом и деятельность мою в этом направлении можно смело сворачивать.
4в. А если не остаются (а они, конечно, не остаются) -- тем более можно сворачивать.