Category: наука

Итоги года по еврейскому календарю (статистика)

Ср. https://posic.livejournal.com/1819027.html

1. Год -- количество принятых к печати работ:

5772 -- 0
5773 -- 0
5774 -- 1
5775 -- 1
5776 -- 3
5777 -- 5
5778 -- 3
5779 -- 9

В частности, особенно радует принятие к печати (+ электронная публикация) статьи про наклонно-конаклонное соответствие (в IMRN) и статьи про доказательство очень плоской гипотезы (в Annali). А также принятие к печати + публикация статьи про бесконечный наклон (в Pacific J. of Math.).

С другой стороны, помимо сравнительно недавних работ, разгрузка старинного бэклога продолжилась принятием к печати и публикацией длинного текста про слабо искривленные алгебры (в Memoires de la Soc. Math. de France). Это первый из двух книжного размера препринтов 5772 года (см. ниже).

2. Год -- количество впервые обнародованных архивных препринтов:

5772 -- 2
5773 -- 0
5774 -- 1
5775 -- 4
5776 -- 6
5777 -- 4
5778 -- 7
5779 -- 6

Особенно радует написание и обнародование совместной с Я.Ш. работы про топологическую полупростоту и совершенность топологических колец. Мне кажется, что это важный текст.

В частности, я теперь что-то знаю про теорию разложения модулей в бесконечные прямые суммы, и конкретно про модули с совершенным разложением. Про связь этой науки с топологической алгеброй и контрамодулями над топологическими кольцами, и т.д.

Topologically semisimple and topologically perfect topological rings

https://arxiv.org/abs/1909.12203

Можно сказать, что эта статья, появившаяся теперь на Архиве -- часть серии из трех работ про приложения контрамодулей к гипотезе Енокса. Хронологически она последняя, третья -- но логически вторая. Первая и третья статьи серии (с другими коллективами авторов) были обнародованы в июле -- https://arxiv.org/abs/1807.10671 , https://arxiv.org/abs/1907.05537

С другой стороны, можно сказать, что эта имеющая совершенно самостоятельное значение работа поднимает три сюжета: 1. топологическое/контрамодульное обобщение классической теории ассоциативных колец, начиная с теоремы Веддербёрна-Артина и продолжая диссертацией Басса, 2. топологическая интерпретация современных результатов теории разложения модулей в бесконечные прямые суммы, и 3. линейные топологии на аддитивных категориях.

Скажем, есть знаменитая теорема Говорова-Лазара о плоских модулях: модуль над ассоциативным кольцом плоский тогда и только тогда, когда он является направленным прямым пределом проективных модулей (или даже конечно-порожденных свободных модулей). В теории контрамодулей над топологическими кольцами, есть понятие плоского контрамодуля -- это такой, контратензорное произведение с которым является точным функтором на категории дискретных модулей.

Верен ли аналог теоремы Говорова-Лазара для контрамодулей, науке неизвестно. Легко видеть, что направленные прямые пределы проективных контрамодулей плоски, но обратная импликация -- открытый вопрос. Однако в этой только что обнародованной статье доказывается следующее: если над каким-то топологическим кольцом все направленные прямые пределы проективных контрамодулей проективны, то и все вообще плоские контрамодули проективны. Более того, дается полное описание таких топологических колец.

С другой стороны, обсуждается связь между понятиями полупростой и расщепимой абелевой категории: расщепимая -- это в которой все короткие точные последовательности расщепимы, а полупростая (более сильное условие) -- это в которой все объекты являются прямыми суммами неприводимых. Доказывается, что если расщепимая абелева категория топологизируема, то она полупроста.

Оба результата, сформулированные в предыдущих двух абзацах, являются неожиданными примерами "обратных приложений": их доказательства основаны на продвинутых результатах современной теории разложения модулей в бесконечные прямые суммы. Обычно хочется, чтобы новые понятия позволяли решать открытые проблемы старых теорий, но тут старая теория позволяет доказывать красивые теоремы про новые понятия.

"Прямые приложения" (новые, по-видимому, результаты теории разложения модулей в бесконечные прямые суммы, доказанные с помощью топологических колец и контрамодулей) в статье тоже есть.

Это самая важная моя работа, сделанная в 2018-19 учебном году, уже после переезда в Прагу.

Статья про доказательство очень плоской гипотезы (уже почти совсем) опубликована на сайте журнала

На морде журнала Annali di Matematica Pura ed Applicata https://link.springer.com/journal/10231 ее в данный момент еще нет, и в списке статьей Online First https://link.springer.com/journal/10231/onlineFirst она пока еще не появилась, но научным методом копипаста в адресную строку браузера получен секретный линк -- https://link.springer.com/article/10.1007/s10231-019-00905-1

Кроме того, работает несекретная ссылка по DOI -- https://doi.org/10.1007/s10231-019-00905-1

Это тридцать четвертая рецензированная публикация в моей жизни и двадцатая за последние пять с половиной лет. Также, считая "публикацию" по моменту вывешивания статьи на сайте журнала ИЛИ появления окончательных выходных данных, whichever comes first -- это получается у меня седьмая рецензированная публикация за последний год и шестая в 2019 году.

Таким образом, из четырех главных препринтов 2017 года, все четыре уже приняты к печати. Два окончательно вышли из печати, и два опубликованы электронно на сайтах журналов.

Upd.: вот, прислали share link -- https://rdcu.be/bRVF9

Поток рефлексии (научное писательство)

Один из аспектов моей жизни и биографии, размышления над которым всегда мучительны -- это разница между паттернами публикационной активности в первой и во второй половине жизни -- условно, до 2007 года и после. Или даже до 2014 года и после.

В юности я писал и публиковался очень мало и скупо, считая, что большинство тех скромных соображений, которые я мог бы изложить, почти очевидны и мало кому интересны. На вопросы типа "Это у тебя написано?" -- отвечал "Нет, давай я тебе устно расскажу." В результате мне теперь кажется, что мои мысли упустили свой шанс быть воспринятыми и повлиять на кого-то.

Теперь я пишу очень много, работая (как отмечал еще в Москве Саша Е.) в режиме, когда почти в каждый момент времени я пишу какой-то текст. Видимо, мало кто из математиков так работает. В результате мне иногда кажется, что потенциальные читатели могут чувствовать себя потерянными, не зная, за какую из многочисленных статей взяться, тем более, что все они перекрестно ссылаются одна на другую. Про многие из этих новых работ -- к счастью, далеко не про все -- можно сказать, что стандартам оригинальности и нетривиальности, присущим моей юности, они совершенно не соответствуют.

Трудно избавиться от мыслей о том, что в молодости я был дураком, а в старости стал карьеристом. То и другое крайне неприятно.

Возможны разные объяснения, почему так получается. Начиная с того, что в молодости я просто не умел писать (так, как я умею это сейчас) -- и вплоть до того, что в юности человеку естественно предъявлять к себе завышенные требования, поскольку только так он и может узнать, на что он вообще способен. Наверно, отсутствие публикаций в те давние годы служило для меня наглядным символом того, что мои настоящие результаты еще впереди, а то, что есть -- недостаточно и не может меня устроить.

С другой стороны, именно те из моих результатов, которые я для себя нахожу несложными, почти очевидными и т.д., могут иметь наибольшие шансы быть воспринятыми читателями. С наиболее важными из них ситуация обычно такова, что из них что-то выросло, развилось, обобщилось и использовалось. Так что эти простые ранние вещи в каком-то виде входят в состав более поздних и намного более сложных работ. "В каком-то виде" здесь может означать -- в виде, почти неприступном для большинства читателей.

Поэтому время от времени я пишу тексты в жанре "такая-то подсекция из такой-то статьи или книги, развернутая в десять раз в объеме в отдельную статью". К этой категории относится и статья про относительную неоднородную кошулеву двойственность, которую я пытаюсь сочинить сейчас.

Contramodules

Четвертая версия обзора по контрамодулям, обновленная соответственно прогрессу науки за четыре года -- https://arxiv.org/abs/1503.00991 . Естественно, далеко не весь прогресс науки удалось отразить, но по крайней мере, теперь можно рекомендовать этот текст к чтению без оговорок, что он сильно устарел местами.

На самом деле, предыдущая версия (апреля 2015) в некотором своем аспекте устарела уже к концу 2015 года. Потом еще больше к концу лета 2016, и т.д. Обновление этого обзора стояло у меня в планах начиная с января 2016. Теперь, наконец, эта задумка осуществилась.

Пришел ответ из Annali di Matematica Pura ed Applicata

Статья про доказательство очень плоской гипотезы принята к печати.

Таким образом, из семи моих работ, проходивших рецензирование в разных редакциях по состоянию на середину сентября 2018 года, опубликованы или приняты к печати все семь. Из них эта, которую приняли сегодня -- единственная, которая была отвергнута той редакцией, где она рассматривалась год назад (и принята теперь совсем другой редакцией).

Это получается тридцать шестая рецензированная публикация в моей жизни и двадцать первая за последние пять лет, а также девятая принятая к печати работа за год.

Год назад

10 сентября 2018 года я приехал в Прагу, чтобы работать научным сотрудником в Математическом институте чешской Академии наук.

Полет нормальный (см. следующий постинг).

К (пред)предыдущему

Собственно, что изменилось? Все базовые концепции уже существовали пять лет назад. Были копроизводные категории, контрамодули, ко-контра соответствие, контрагерентные копучки, очень плоская гипотеза.

Новый мир был уже открыт; существование пропущенной классиками половины алгебры продемонстрировано. Просто этот новый мир был очень пустынной местностью. За пять лет в нем обнаружилась разная жизнь.

Где был плоский фундамент, появилась более объемная картинка. Мясо наросло на костях.

Навстречу славной годовщине - 3

Пять лет назад у меня уже была формулировка очень плоской гипотезы, но я ни за что не поверил бы, если бы кто сказал мне, что нам в Праге удастся придумать доказательство. Пять лет назад я, наверное, уже знал или смутно помнил, что есть такие сильно плоские модули, но ни за что не поверил бы, что мне предстоит написать про них фундаментальный труд, или даже два. Вполне плоских модулей не существовало пять лет назад.

Пять лет назад я уже давно знал, какую роль играют дуализирующие комплексы в комодульно-контрамодульном соответствии, но дедуализирующих комплексов еще не существовало пять лет назад (хотя "наивное ко-контра соответствие" было). Пять лет назад я размышлял про MGM двойственность, еще не зная, какую роль в ней играет условие слабой прорегулярности.

Пять лет назад я, конечно, знал, что бывает слово "тильтинг" (которое слыхал еще в юности), но не подозревал о том, как оно связано с контрамодулями. Понятия о тильтинго-котильтинговом соответствии как обобщении комодульно-контрамодульного соответствия не существовало пять лет назад.

Пять лет назад, конечно, существовали копроизводные, контрапроизводные и полупроизводные категории, но псевдопроизводных категорий не было пять лет назад. Понятия о превдопроизводной эквивалентности не было.

Пять лет назад я знал, что категория контрамодулей над адическим пополнением нетерова кольца по центрально-порожденному идеалу является полной подкатегорией категории модулей, но не мог себе представить, в насколько большей общности на самом деле имеет место эта полная строгость. Пять лет назад я не мог себе вообразить, что категория О-контра для Вирасоро есть полная подкатегория в категории модулей над алгеброй Ли.

Пять лет назад я был на пять лет моложе и в пять раз более полон надежд, чем сейчас. Впрочем, и отчаяния был в пять раз более полон. Должно быть, надежды и отчаяние убывают с возрастом по экспоненте.

Двенадцать лет назад

Двенадцать лет назад, 28 августа 2007 года, на Архиве появилась первая версия препринта, из которого выросла монография по полубесконечной гомологической алгебре. Через год, к концу июня 2008, текст уже содержал доказательство теоремы сравнения с полубесконечными когомологиями алгебр Ли. Почти девять лет назад, в сентябре 2010, книжка вышла из печати.

Так мало времени прошло! Что такое для математики двенадцать лет? Да и не для математики. Как писал Бродский, торжество справедливости наступает всегда с опозданием минимум в четверть века. Четверть века от 2007 года -- это... это мне будет тогда... в общем, не надеюсь дожить.

Но по крайней мере, я не сидел сложа руки все эти двенадцать или девять лет. Кой-какие имеются с тех пор продвижения.