Category: наука

Category was added automatically. Read all entries about "наука".

Работы по контрамодулям (мои)

Итак, теперь у меня уже пять рецензированных публикаций (включая предварительную электронную и окончательные публикации), в которых контрамодули над топологическими кольцами играют одну из центральных ролей. Journ. of Algebra-2017, Memoire SMF-2018/19, Glasgow Math. J.-2020, Int. Math. Res. Not.-2021, Math. Zeitschrift-2021 (предварительн.). Три из этих работ -- с соавторами (три разных человека).

В одной из этих работ рассматриваются контрамодули над коммутативным топологическим локальным кольцом, в двух -- над топологическим кольцом со счетной базой окрестностей нуля, и в двух -- над более-менее произвольным топологическим кольцом (возникающим как кольцо эндоморфизмов модуля).

Плюс еще три архивных препринта на эту тему (2018-19) рассматриваются в редакциях (два из них в соавторстве). Работы по контрамодулям над коалгебрами, полуконтрамодулям над полуалгебрами и контрамодулям над коммутативным кольцом с идеалом или с мультипликативным подмножеством (в коммутативной алгебре) надо считать отдельно, их тоже есть.

В частности, в последнюю категорию (контрамодули в коммутативной алгебре) попадают шесть работ (из них три с соавторами, два разных человека) -- J. Pure Appl. Algebra-2016, Moscow Math. J.-2017, J. of Algebra and its Appl.-2018, Math. Zeitschrift-2019, Journ. Algebra-2019 и Annali di Matem. Pura ed Appl.-2020. Плюс два препринта (2020), один из которых проходит редакционный процесс.

По контрамодулям над коалгебрами и полуконтрамодулям над полуалгебрами имеются Monografie Matem.-2010, Memoir AMS-2011, Algebras and Repres. Theory-2018, Journ. of Lie Theory-2020 и один препринт (2019), недавно отвергнутый одной редакцией. Плюс еще обзорный препринт (2015, рассматривается в редакции).

Плюс еще по контрамодулям для эпиморфизма некоммутативных колец имеется работа J. Pure Appl. Algebra-2020 (в соавторстве). Несколько экзотическое понятие "контрамодуля над неотрицательно градуированным кольцом" играет очень существенную роль в книжном препринте 2019 года (рассматривается в редакции). По контрагерентным копучкам есть длинный препринт с обсуждением контрамодулей в аппендиксах (2012). По абелевым категориям, похожим на категории контрамодулей, имеется препринт, с обсуждением разных разновидностей контрамодулей в примерах (2017).

Плюс еще имеется работа по коммутативной алгебре (в соавторстве), не упоминающая контрамодулей, но обсуждающая следствия из теорем, доказанных в предшествующих работах с помощью контрамодулей (принята к печати в Journ. of Commutative Algebra). Плюс еще имеется работа по теории абелевых категорий, не упоминающая контрамодулей, но использующая смежное понятие аддитивной монады на категории множеств (J. Pure Appl. Algebra-2019, в соавторстве).

Плюс по смежным понятиям ко- и контрапроизводных категорий имеются пять работ, не упоминающих контрамодулей (из них три с соавторами, три разных человека) -- Transactions AMS-2012, Algebra and Number Theory-2015, Selecta Math.-2017, Pacific J. Math.-2019, Rendiconti Padova-2020. Еще одна работа, затрагивающая эту тему (в соавторстве) рассматривается в редакции.

В общем, я приложил какие-то усилия к тому, чтобы достучаться до математического сообщества со своими контрамодулями.

Иногда я думаю: ну что я за человек такой?

Два рода производных категорий (с многочисленными подвариантами)... две абелевых категории полных модулей над кольцом с идеалом... два (нет, три) понятия адической проективности... два понятия адической плоскости...

Ну, зачем все эти тонкости, сколько можно копаться в мелких деталях? Кто, когда, с какой целью будет во все это вникать? Из кого состоит пересечение тех, кто способен в это вчитаться, и тех, у кого нет более насущных занятий?

И потом приходит утешительная мысль: нет, ну все-таки. Все-таки. Я не всю свою жизнь в одних только мелких деталях копался. Я построил полубесконечную гомологическую алгебру ассоциативных алгебраических структур. Я доказал очень плоскую гипотезу. Я построил наклонно-конаклонное соответствие, с контрамодулями над топологическими кольцами эндоморфизмов. Я разработал определение топологически совершенного топологического кольца, в конце концов...

Может быть, и в эти большие теории тоже никто никогда не вникнет и не вчитается. Но по крайней мере, я что-то сделал из того, что можно было сделать. Я предпринял больше одной попытки; больше двух даже. Если что-то из этого удастся, математика будущего будет более содержательной, чем она была бы без меня.

Статья о контрамодульном подходе к гипотезе Енокса опубликована на сайте журнала Math. Zeitschrift

https://link.springer.com/article/10.1007/s00209-020-02654-x

https://link.springer.com/journal/209/online-first

https://doi.org/10.1007/s00209-020-02654-x

Это сороковая рецензированная публикация в моей жизни. Доработка этой статьи стала одним из важных научных действий, которые мне удалось совершить в 2020 году (весной); потом осенью еще вносились улучшения согласно замечаниям рецензента. Доступа у меня сейчас из дома нет, и sci-hub не срабатывает -- можно разве что поехать на работу, чтобы скачать.

P.S. А вот ссылка, по которой можно читать (но не скачивать) статью -- https://rdcu.be/cdihb

Битые ссылки

Большинство математиков (как и вообще научных работников) в современном мире заняты получением и публикацией инкрементальных результатов, продвигающих фронт науки вперед на малую дельту (если вообще). Следующая работа добавляет новую малую дельту. Это простейший умеренно честный способ публиковаться, получать позиции-гранты и делать карьеру.

Неудивительно в этих условиях, что появление очередного гения, осуществляющего прорыв на глубину, сопровождается каждый раз шумихой такого масштаба, что вся эта инкрементальная публика бросает все свои занятия и кидается формировать ему свиту и толпу восторженных поклонников.

В противоположность вышеописанному можно сказать, что если бы человек не был внезапно смертен и не нуждался бы в пропитании, то оптимальной стратегией в смысле продвижения науки могла бы быть противоположная: сначала искать и найти оригинальную, нетривиальную идею, потом проработать технические детали, в итоге опубликовать законченную теорию. В промежутке можно было бы даже выкладывать в открытый доступ промежуточные наброски.

Реально, конечно, так не получается. В моем случае, получается реально так, что у разных текстов оказывается разное время созревания. При этом быстро созревающие тексты ссылаются на медленно созревающие, разрабатывая темы, в них намеченные. Можно даже сказать, что журнальные статьи, по моему же замыслу, призваны прокладывать дорогу публикации книжных рукописей, изначально совершенно непубликабельных в силу сложности материала и оригинальности концепций.

В общем, когда и если, с Божьей помощью, я допишу и опубликую запланированные книги, окажется, что список моих публикаций полон журнальных статей, ссылающихся на ранние препринтные версии этих книжных рукописей. И все эти ссылки битые -- вряд ли номера теорем в окончательных версиях текстов будут иметь что-то общее с первоначальной нумерацией. В общем, слава Архиву, где, может быть, сохранятся ранние версии, куда можно ходить по ссылкам. Чтобы потом искать то же самое, изложенное в лучшем виде в окончательных книжных версиях...

К предыдущему

Если двенадцать-пятнадцать лет назад пространство моих текстов представляло собой дискретное множество изолированных точек, то теперь это такой континуум, сетка. Мне даже кажется, что мои работы повышают связность пространства математических идей в целом (в затронутых ими областях).

Цель этого нового препринта -- служить связующим звеном между моими работами по топологическим кольцам и классическим кругом идей в топологической алгебре, ее основаниями. Робкая надежда, как обычно, состоит в том, что сочтя этот новый текст полезным и проясняющим основания теории топологических абелевых групп и векторных пространств с линейной топологией, кто-то пройдет по этому мостику и заинтересуется моими работами по контрамодулям.

В общем, на фоне общей привычной безнадеги, усилившейся в нынешний безумный период, эта статья внушает какие-то смутные надежды. В большей степени, может быть, чем пара предыдущих моих архивных препринтов (хотя и они тоже повышают связность).

Во всяком случае, в жанре этой статьи есть что-то новое, она чем-то отличается от прежних моих работ. Разве что с мартовским препринтом 2020 года ее можно сравнить. Надо же иногда пробовать что-то новенькое?

Итоги года

В 2020 году мой двухлетний контракт в Праге закончился и был перезаключен на следующие пять лет (насколько это возможно), временный вид на жительство был продлен на два года.

В 2020 году я переехал из тесной гостевой комнаты в просторную квартиру.

В 2020 году у меня вышли из печати шесть статей (это рекорное количество в моей практике, и по общим меркам очень много). Среди них и важнейшая работа про доказательство очень плоской гипотезы. Бэклог неопубликованных препринтов 2012-18 годов в основном рассосался (хотя есть существенные остатки). Не исключено, что еще одна статья может выйти из печати датированной 2020 годом (это пока неизвестно). Три статьи были приняты к печати в 2020 году.

В 2020 году я дописал книжного размера препринт про относительную неоднородную кошулеву двойственность (начатый в сентябре-ноябре 2019), ряд других препринтов 2019 года были существенно доработаны. Пять новых архивных препринтов датированы 2020 годом.

Можно сказать, что в моей научной работе 2020 года вклад в традиционную пражскую и падуанскую (а также брненскую и беэршевскую) алгебраическую тематику сочетался с продвижением моих собственных старинных научных интересов.

В целом 2020 год выглядит сейчас переходным в моей деятельности, от оригинальных исследований к самопопуляризации и популяризации (продвинутого уровня, конечно, т.е., рассчитанной на читателей-аспирантов и научных работников).

Все эти успехи совершенно теряются на фоне глобальной катастрофы года (вызванной не вирусом, естественно, а панической реакцией на него, подготовленной десятилетиями идеологической и морально-психологической деградации). Будущее рисуется в самых мрачных тонах.

Публикационная статистика

Ср. https://posic.livejournal.com/2168520.html?thread=6173384#t6173384

В данный момент имеются 17 неопубликованных архивных препринтов. Из них:

- три приняты к печати (все три с соавторами; окончательная публикация ожидается в 2021-22 годах);
- шесть рассматриваются в редакциях (из них три с соавторами);
- шесть не рассматриваются в редакциях (все шесть без соавторов; из них два требуют масштабной доработки);
- два не предназначаются к рецензированной публикации (оба без соавторов; из них один очень старый, у другого научная новизна вызывает сомнения).

***

Ср. https://posic.livejournal.com/2186123.html

Из 13 препринтов пражского периода (с сентября 2018), три уже вышли из печати, два приняты к печати (ожидают корректуру), пять рассматриваются в редакциях, три не рассматриваются в редакциях.

Из 21 препринта израильского периода (условно, январь 2015 -- август 2018), 16 уже не только вышли из печати, но и появились в базе MathSciNet. Еще один из этих препринтов опубликован на сайте журнала (выход из печати ожидается в 2021 году), один рассматривается в редакции, один не рассматривается в редакциях, один требует доработки, один не предназначается к рецензированной публикации.

Из 3 препринтов 2012-14 годов, два вышли из печати в 2018-19 годах, один требует доработки. Из 9 препринтов 2007-11 годов, все 9 вышли из печати в 2010-15 годах.

***

Всего из тридцати семи препринтов 2012-20 годов, двадцать один вышел из печати в 2016-20 годах, один опубликован электронно, два ожидают корректуру. Шесть рассматриваются в редакциях, два требуют доработки, еще четыре предназначаются к рецензированной публикации, один не предназначается.

К предыдущему

Кстати, три года назад, в ноябре 2017, как раз были обнародованы препринты про наклонно-конаклонное соответствие.

Вот если брать трехлетние периоды, скажем с середины ноября по середину ноября. Если по архивным препринтам смотреть (а то производственный цикл, он длинный).

2005-2008 -- колоссальный прорыв, монография по полубесконечной гомологической алгебре была написана в этом интервале.

2008-2011 -- в общем, тоже колоссальный прорыв, от Two kinds of derived categories... до Hochschild (co)homology of the second kind и Coherent analogues of matrix factorizations..., плюс еще работы по когомологиям Галуа и артин-тейтовским мотивам/мотивным пучкам.

2011-2014 -- Weakly curved A-infinity algebras..., и главное, весь толстенный текст по контрагерентым копучкам был придуман и написан в этом интервале.

2014-2017 -- еще один прорыв: от MGM-двойственности и теорий кокручения в категориях контрамодулей до доказательства очень плоской гипотезы, сильно плоских модулей и наклонно-конаклонного соответствия. Плюс теорема о полной строгости контрамодульных забывающих функторов, плюс псевдопроизводные категории и т.д.

2017-2020 -- топологически совершенные топологические кольца. Приложения контрамодулей к эпиморфизмам колец (особенно метод доказательства проективной размерности единица). Плюс относительная неоднородная кошулева двойственность (скорее, писательская задача).

В общем, последние три года тоже неплохи. Но предыдущие трехлетние периоды были посильнее. Что довольно естественно: ничья научная работа не ускоряется в момент получения (полу)постоянной позиции. Есть и другие причины, тоже очевидные.

Мотивация

Я умру когда-нибудь, а условные 2000 математиков, субстрат-носитель математического научного знания, останутся. Почему-то мне всегда казалось важным, чтобы на этом субстрате жили стоящие того идеи, удовлетворяющие моему взыскательному вкусу.

Я хотел, чтобы понятие копроизводной категории не было забыто, не было вытеснено куцым обрубком "инд-когерентные пучки" (вместо правильной формулы "копроизводная категория квазикогерентных пучков").

До какой-то степени этой цели достигает уже сам мемуар Two kind of derived categories... ("инд-конечномерными модулями" там не обойдешься). В наибольшей мере этой цели сегодня служат мои работы по матричным факторизациям.

Но этого мне казалось мало, и ключевым средством спасения копроизводных категорий виделись контрапроизводные категории. Приставка "контра-" на язык "инд-" и "про-" не переводится, в этом ее преимущество. Чтобы конструкция контрапроизводной категории не была забыта, сферу ее применимости нужно было исследовать и максимально расширить.

Отсюда важность контрамодулей и контрагерентных копучков. В свою очередь, чтобы контрамодули не были забыты, нужно было их исследовать тоже. Найти примеры в разных областях алгебры, приложения к доказательству теорем, "которые можно естественно сформулировать на старом языке, но нельзя доказать старыми средствами", и т.д.

На этой почве мои размышления дошли не только до наклонно-конаклонного соответствия и доказательства очень плоской гипотезы, но и до таких предметов, как сильно плоские модули, и дальше топологически совершенные топологические кольца и теория разложения модулей в бесконечные прямые суммы.

Другой обрубок-конкурент в борьбе за когнитивное пространство (ну хорошо, не настолько куцый и убогий, как первый...) -- это "комплексы инъективных объектов" и "комплексы проективных объектов". Задачу защиты от этой опасности могла бы решать книжка по полубесконечной гомологической алгебре, но ей самой в первую очередь угрожает забвение. На этой почве у меня появилась конструкция псевдопроизводной категории.

Куда податься мне с этой мотивацией дальше? Сбудется ли в итоге мое желание?

Математическое сообщество и фундаментальные открытия

Трудно объяснить, что это такое и как это работает. Особенно потому трудно, что я сам этого не понимаю толком, да и никто не понимает.

Воспользуемся магией цифр, взятых изначально с потолка и превратившихся каким-то образом в часть культуры. Говорят, десять тысяч часов нужно человеку, чтобы овладеть профессией. Допустим. Учтем, что математик продолжает учиться на протяжении всей своей жизни -- возьмем среднюю цифру "двадцать тысяч часов".

Говорят, что важных математиков, основных носителей математического научного знания, имеется всего две тысячи человек. То есть, на самом деле, профессоров и доцентов-математиков гораздо больше, но основную функцию служить живым носителем и развивателем знания выполняют -- две тысячи.

У каждого из этих людей была своя, уникальная образовательная траектория на ключевом участке магистерских-аспирантских курсов и дальше на протяжении последующей жизни. У каждого свои любимые задачи, методы, подходы, свой неповторимо уникальный взгляд на предмет.

Помножив две тысячи человек на двадцать тысяч часов, получаем сорок миллионов человеко-часов довольно тяжелого умственного труда. Выполненного очень талантливыми людьми с довольно редкими талантами, у каждого из них немножко своими.

Такое сообщество может расширяться или сжиматься (хотя желательно, конечно, чтобы сжимался карьеристский балласт, а не круг носителей уникального знания). Но если оно, даже продолжая расширяться, целиком деградирует -- скажем, в силу накопления в культуре искажений, вызванных превратными стимулами, или просто вследствие общего упадка цивилизации -- восстановиться потом обратно оно может только за длительное время и с большими потерями.

Теперь на фоне этой ситуации я считаю, что у меня имеется фундаментальное открытие, расширяющее основания. Типа, понятие суммы бесконечного ряда восходит, я не знаю, к Ньютону там или к Эйлеру. Понятие предела последовательности в метрическом или топологическом пространстве является частью базового образования (из упомянутых 2000 человек примерно 1999 с ним хорошо знакомы, плюс еще десятки и сотни тысяч представителей более широких кругов). А я говорю, что есть еще контрамодульные операции бесконечного суммирования.

Допустим, моя идея действительно заслуживает внимания и развития. Дальше что? В чем такое развитие могло бы состоять? Ответ состоит в том, что нужно взять от вышеупомянутых сорока миллионов человеко-часов какую-то долю -- скажем условно, один процент или хотя бы 0.1 процента. Вот какое-то такое количество человеко-часов тяжелого труда должно быть вложено в разработку этой идеи на протяжении, скажем, пары десятилетий. А если дело покажет себя как стоящее, то на протяжении последующей пары десятилетий это могут быть уже два процента или хотя бы 0.2. В общем, вдвое больше.

0.1 процента от сорока миллионов человеко-часов составляют сорок тысяч человеко-часов. Труда очень талантливых людей, пишущих свои тексты под сильным влиянием новой идеи. Это как самый минимум для самого-самого начала. Так примерно выглядит, в грубом количественном измерении, необходимый процесс освоения новой фундаментальной идеи в математике, впитывания ее в общий массив математического научного знания человечества.

Отсюда примерно понятно, что ни простого, ни быстрого решения проблема не имеет.

[Написано под впечатлением от беседы по Скайпу.]