Category: наука

Category was added automatically. Read all entries about "наука".

Семь лет назад (полубесконечная алгебраическая геометрия)

Идея написать эту статью, которую я сейчас пишу, возникла у меня в августе-октябре 2015 года, но собственно в содержании ее нет почти ничего такого, чего я не знал еще в 2013. Ну, кроме некоторых мелких деталей, примеров со ссылками на более поздние работы.

В общем, в принципе все это можно было написать семь лет назад, скажем, летом 2014 года в Беэр-Шеве и Реховоте. Свободное время у меня тогда было; идей, как его правильно использовать -- не было.

Другой вопрос, зачем. Кто прочел бы такую статью, если бы она была тогда написана? Что выросло бы из нее? Из препринта про контрагерентные копучки выросли моя работа про MGM-двойственность, задача о парах кокручения в категориях контрамодулей, очень плоская гипотеза... в конечном итоге, почти все мои занятия 2015-20 годов.

Что вырастет из этого текста теперь, тоже совершенно непонятно. Но творческим людям свойственна своя, особая смесь идеализма и прагматизма. По состоянию на 2013 год, у меня было более чем достаточно препринтов по алгебраической геометрии. Были трудности с их публикацией. В перспективе предстояла эмиграция и поиски работы.

Летом 2014 года вопрос вряд ли стоял о том, будет ли у меня к осени препринтом больше или препринтом меньше. Вопрос стоял о принятии жизненных решений и выстраивании стратегии на предстоявшие годы. Решение, которое было в итоге принято, подразумевало разворот от геометрии к алгебре и теории категорий.

При этом я продолжал вписывать проект "полубесконечной алгебраической геометрии" в планы своих исследований, составлявшиеся с административными целями и посылавшиеся в разные конторы. Теперь настало время, и я выполняю это обещание.

Теория контрамодулей как слишком сложная конструкция

Есть концепция, о которой я слыхал в контексте обсуждений проблемы безопасности атомных электростанций. Выступающие с этой позиции авторы (не помню имен) писали, что атомные электростанции слишком сложны для современной технологической культуры, и сделать их полноценно безопасными невозможно. Любая попытка предупредить какие-то угрозы, навесить дополнительную защиту, дополнительные уровни безопасности, ведет к возникновению новых непредвиденных опасностей и угроз, вытекающих просто из сложности многоуровневой конструкции, непредсказуемого взаимодействия ее элементов, непонимания ее устройства людьми, которые ее изготовляют и с ней работают, и т.д. Начиная с какого-то момента, попытки добавить безопасности добавляют опасностей вместо этого.

Так мне с годами все больше кажется, что мои попытки популяризовать и объяснить контрамодули упираются во в чем-то аналогичную проблему сложности материала, который не становится доступнее или понятнее от навешивания дополнительных уровней примеров и объяснений. Текстов становится все больше, каждый следующий ссылается на длинный ряд предыдущих, и читатель не столько получает возможность увлечься очередным аспектом теории, который вдруг окажется близок к его интересам, сколько тонет в море концепций и взаимосвязей. Все это сильно контринтуитивно, и накопление массы контринтуитивных результатов не делает разрастающуюся теорию ни более привлекательной, ни даже более полезной.

По-настоящему сильный читатель, если бы ему это зачем-то понадобилось, разобрался бы и в моих ранних текстах на эту тему -- по крайней мере, разобрался бы достаточно, чтобы осознать ключевые идеи. После этого ему пришлось бы разрабатывать последующие уровни теории самому, а так я сделал это за него и предлагаю пользоваться. Но сориентироваться в такой массе текста невозможно, а любой обзор, который я напишу, тоже окажется слишком длинным, непонятным, полным загадочных деталей, все равно охватывающим только часть материала, и в конечном итоге лишь добавляющим объема и сложности.

Нужны ли контрамодули в математике первой четверти XXI века? Или их время наступит через полвека, век, не наступит никогда, наука пойдет другим путем?

С точки зрения специалиста по коалгебрам

Почти всему моему научному творчеству после 2006 года (местами и с 1994 года) можно предпослать подзаголовок "алгебра с точки зрения специалиста по коалгебрам". Примеры, связанные с коалгебрами и полуалгебрами, занимают заметное место в моих текстах последних лет.

Эти примеры вообще нужны? Коалгебры кого-нибудь интересуют? На какого читателя это рассчитано? Если меня спросят, мол, мотивация твоя непонятна, нельзя ли пояснить -- а я объясню, что мотивацией является перенести какие-то там конструкции с коалгебр и полуалгебр на алгебраические многообразия -- это будет воспринято примерно как? Как злая, издевательская или неуместная шутка?

Или, скажем, теория категорий

Чему нас учит теория категорий? Тому, что самые важные категории -- это абелевы категории, а среди абелевых самые важные -- это категории Гротендика.

На самом деле, теория категорий ничему такому теперь уже не учит; об этом был написан предыдущий постинг. Теперь самые важные категории -- это вообще не категории, а (бесконечность,1)-категории. Точка зрения, изложенная в первом абзаце, устарела.

При этом эта устаревшая точка зрения остается в своем контексте неоспариваемой догмой. Никто не сомневается в том, что если уж писать про аддитивные или абелевы категории -- то про категории Гротендика!

Тем временем, одним из моих планов-обещаний остается написать книгу, цель которой -- опровергнуть устаревшую догму. Не подвергаемую сомнению по существу, но стремительно утрачивающую релевантность.

По существу, догма упускает половину картины. Конечно, категории Гротендика важны. Но у них есть "ковариантно двойственные" аналоги, которых вы не замечаете.

Поэтому вы учите студентов, что инъективные объекты в "естественно возникающих" категориях встречаются чаще, чем проективные. На самом деле этот тезис из учебных курсов верен только в том смысле, что категории квазикогерентных пучков абелевы, а контрагерентных копучков -- точные.

Категории Гротендика -- это такие категории комодулей, в широком смысле слова. А есть еще категории контрамодулей. Они называются "абелевы локально представимые категории с достаточным количеством проективных объектов". Или "категории модулей с аддитивными операциями ограниченной бесконечной арности".

Я написал про эти абелевы категории ряд статей. Про то, как они, их примеры и свойства, возникают в разных контекстах. Допустим, появится еще и давно задуманная книга (на основе одного из препринтов 2017 года -- последнего, остающегося неопубликованным). От этого что-нибудь изменится? Не дает ответа.

Непонятен даже смысл вопроса. Что вообще на самом деле должно измениться? В результате чего бы то ни было?

Вот, например, алгебраическая геометрия

Что такое алгебраическая геометрия? Ну, это схемы, стэки, инд-схемы, инд-стэки. Все это склеивается разными способами из аффинных схем.

Коммутативному кольцу сопоставляется производная категория модулей. Или ему сопоставляется гомотопическая категория комплексов инъективных модулей. Или комплексов проективных модулей. (Для нетерова кольца с дуализирующим комплексом, разница между последними двумя опциями невелика.) В общем, возникают варианты.

Если схема не аффинная, все это надо как-то клеить. Клеют все это с помощью функторов обратного образа. Их бывает примерно два: звездочка и факториальчик (на самом деле больше). В общем, снова возникают варианты.

Когда решено, что и как клеить, в дело включается машинерия (бесконечность,1)-категорий, квазикатегорий или как там их. Надо взять гомотопический предел диаграммы квазикатегорий. Форма диаграммы отвечает за способ склейки (стэк, там, или инд-схема).

... В рамках этой (новой) картины мира, задачу о контрагерентных копучках нельзя даже поставить. Нет никакого способа придти к понятию очень плоского модуля, очень плоской гипотезе и т.д.

Эти понятия живут в старой картине мира, подчеркивающей абелевы (или хотя бы точные) категории, точные (или хотя бы близкие к точным) функторы и т.д. Нет ли абелевой или точной категории модульных объектов на неаффинной схеме, в которой бесконечные произведения точны (а суммы не точны)? Что мешает ее существованию? Про триангулированные или (бесконечность,1)-категории таких вопросов не задашь, там нет никакой "неточности бесконечных произведений".

В общем, как обычно: новая технология могущественна и привлекательна, а чего нельзя сказать на новом языке, того как бы и не существует. Фронт модной науки ушел вперед, а я остался такой антифутурист и консерватор. Консерватизм мой состоит в приверженности моим же собственным детским и юношеским математическим впечатлениям. Я заполняю технические лакуны устаревшей картины мира.

Чем меньше читателей у моих текстов, тем больше мне хочется писать новые тексты в надежде, что хоть у них найдутся читатели. Читатели жалуются, что текстов слишком много. Читателей мало, а сильных среди них совсем мало, практически нет. Редкие исключения.

... Может быть, мой способ заниматься математикой принес бы больше пользы в мире, более соответствующем моим представлениям о должном. В котором было бы меньше слабых математиков и больше сильных, меньше конформизма и больше самоотверженности, меньше любви к карьере и больше к науке ради науки и т.д. Но единственный способ воплотить любой идеал в социальную реальность состоит в том, чтобы самому жить по его правилам.

Кажется, впервые в жизни назвал себя словом

запрещенным к употреблению в Фейсбуке.

Заполнил электронную форму-опросник переписи населения в Чехии. Они предлагают указать национальность (в смысле принадлежности к национальному меньшинству или этнической группе), но просят сделать это по-чешски.

Днем пришла просьба о рецензировании из Communications in Algebra

(совершенно левой какой-то статьи, не имеющей никакого отношения к тематикам моих работ). Весь день колебался -- послать ли обычную отповедь "не рецензирую для тех, кто меня не печатает" сразу, подождать ли пару недель, не отвечая ничего. И упоминать ли в отповеди, в издевательских целях, историю с ассоциативными октавами, или это постороннее-лишнее?

Теперь вдруг сообразил: я же, создавая полтора года назад аккаунт для подачи к ним в журнал моей статьи, отметил галочку "доступен как рецензент"! Я всегда так делаю, впервые подавая свою статью в какой-либо журнал (если там об этом спрашивают). Потому, наверное, мне и прислали просьбу рецензировать эту муру -- полуавтоматическая, небось, какая-нибудь рассылка. Что ж толку возмущаться, если я сам разрешил?

Пошел, залогинился и отжал галочку. Теперь я больше им не "доступен как рецензент". А в присланном е-мейле просто кликнул на линк decline, и еще раз на decline, и decline просьбе посоветовать других рецензентов, и дело с концом. Без всяких сложносочиненных отповедей. Заодно вспомнил и сходил в электронную систему другого еще журнала, отвергнувшего мою работу, и там тоже переключил radio button на "не обращаться". Надеюсь, на этом вопрос закрыт.

Надо завести привычку сразу идти логиниться и переключать эту опцию, когда приходит отказ из какого-либо журнала, ранее не публиковавшего моих работ.

Посчитал статистику цитирований в разбивке по периодам и тематике

11 лет назад, в конце февраля 2010, я начал записывать эти наблюдения. Это мне было тогда без малого 37 лет, дата первой публикации 1991 год.

Тогда, в феврале 2010, было (по базе MathSciNet) количество публикаций 8, индекс Хирша 3, общее число ссылок 64, из них несамоцитирующих 58 или около того, ссылающихся авторов 60.

5.5 лет назад, в августе 2015, было количество публикаций 16, индекс Хирша 6, общее число ссылок 222, из них несамоцитирующих 195, ссылающихся авторов 203.

Сегодня количество публикаций 39, индекс Хирша 12, общее число ссылок 592, из них несамоцитирующих 425, ссылающихся авторов 391.

На самую цитируемую из ранних работ (статью 1993 года) сегодня 29 несамоцитирующих ссылок. На 22 позднейшие публикации (2016-21 годов выхода из печати) в сумме 18 несамоцитирующих ссылок.

На самую цитируемую работу (книжку 2005 года) сегодня 223 несамоцитирующие ссылки. На 9 работ 1995-2018 годов, которые можно отнести к тематике "группы Галуа и мотивы", в сумме 30 несамоцитирующих ссылок.

Наверно, это где-то правильно. Ранние идеи должны быть популярнее, чем поздние. И тематики должны быть как популярные, так и не очень.

Пятнадцать лет в трехлетних периодах

март 2006 -- февраль 2009: книжка по полубесконечной гомологической алгебре в основном написана, основные результаты ее (теорема сравнения с полубесконечными гомологиями алгебр Ли, полумодульно-полуконтрамодульное соответствие) доказаны

март 2009 -- февраль 2012: мемуар "Two kinds of derived categories...", артин-тейтовские мотивы и мотивные пучки, когомологии Галуа числовых полей, (ко)гомологии Хохшильда второго рода, матричные факторизации, мемуар по слабо искривленным алгебрам в основном написан

март 2012 -- февраль 2015: контрамодули над адическими пополнениями нетеровых коммутативных колец, контрагерентные копучки, постановка и ранние подходы к задаче о парах кокручения в категориях контрамодулей, формулировка очень плоской гипотезы, категорные последовательности Бокштейна и редукции точных категорий

март 2015 -- февраль 2018: важнейшие работы эмигрантского периода (MGM-двойственность, контрамодули в коммутативной алгебре, доказательство очень плоской гипотезы, пары кокручения в категориях контрамодулей, понятие о локально представимых абелевых категориях с достаточным количеством проективных объектов как о классе категорий, ковариантно двойственном к категориям Гротендика, наклонно-конаклонное соответствие, полная строгость контрамодульных забывающих функторов, псевдопроизводные категории/эквивалентности и т.д.)

март 2018 -- февраль 2021: приложения контрамодулей к эпиморфизмам колец и к гипотезе Енокса, топологически совершенные топологические кольца, категории производно полных модулей и комплексов над кольцом с не слабо прорегулярным идеалом, книжка по относительной неоднородной кошулевой двойственности в основном написана (плюс последующая россыпь препринтов периода локдаунов, продолжающих деятельность прежних лет в разных направлениях)