Category: наука

Com и Lie

Как известно, операда Com двойственна по Кошулю к операде Lie. Поэтому между подходящими категориями коммутативных алгебр и алгебр Ли имеется эквивалентность.

Можно взять какой-нибудь учебник коммутативной алгебры, учебник по основам теории алгебр Ли и сравнить. Ничего общего.

В этом состоит известный парадокс. Разрешается он тем, что (оставляя в стороне разницу между алгебрами и коалгебрами и другие тонкости) кошулева двойственность означает эквивалентность между категориями коммутативных DG-алгебр и DG-алгебр Ли, а не просто алгебр в когомологической градуировке ноль.

К чему было это введение? К тому, что двенадцать дней назад Journal of Lie Theory принял к печати мою статью про гладкую двойственность (не путать с кошулевой двойственностью! гладкая двойственность есть разновидность ко-контра соответствия). А сегодня Journal of Commutative Algebra принял к печати статью трех авторов (один из них я) про вполне плоские модули.

В первой из двух работ контрамодули играют ключевую роль. Во второй работе контрамодули не упоминаются, но она основана на результатах предшествующей работы, в доказательствах которых, в той предшествующей работе, контрамодули играют ключевую роль.

В остальном между двумя статьями нет ничего общего, не считая вышеупомянутой двойственности между операдами Com и Lie.

Ну вот, значит это получается тридцать восьмая рецензированная публикация в моей жизни. И одиннадцатая принятая к печати работа за четырнадцать месяцев, что я живу постоянно в Праге.

Контрамодули, они повсюду

В алгебраической геометрии (контрагерентные копучки, называется*). В около-геометрической теории представлений групп и алгебр Ли в московском стиле (полубесконечная гомологическая алгебра, называется). В теории представлений когда-то-конечномерных-алгебр в европейском стиле (наклонно-конаклонное соответствие, называется). В коммутативной алгебре (очень плоская гипотеза, сильно плоские модули и т.д.) В теории ассоциативных колец и модулей (гипотеза Енокса, называется).

(*: Если кто такой скептик, что его не впечатляют ни контрагерентные копучки, ни даже слабо искривленные алгебры, можно оставить контрамодули и взять копроизводные категории. Матричные факторизации, называется.)

Мне приятна возможность поработать и сделать что-то нетривиальное в столь многих разных областях алгебраической части математики. Продолжая при этом заниматься все теми же самыми своими излюбленными вещами, которыми я занимаюсь все последние двадцать лет, а можно так посмотреть, что и почти тридцать. Но под разными соусами.

При этом от модных сюжетов у меня отталкивание. Когда я писал про матричные факторизации, я чувствовал потребность как-то оправдывать это занятие перед самим собой. Придумались два оправдания -- во-первых, я все-таки использовал выпавшую возможность не себя лично прорекламировать, а идеи свои. Все те же самые, которые я развивал задолго до. А во-вторых, некоторые задачи про матричные факторизации были просто хороши как задачи, и позволили мне отшлифовать мои техники работы с производными категориями второго рода, которые потом использовались в самых разных работах. Так или иначе, я написал две статьи про матричные факторизации (в соавторстве) и ушел оттуда.

И, уж конечно, никоим образом меня не могли и не могут заинтересовать предложения занять какую-то подчиненную роль в чужом проекте, следовать в фарватере той или иной звезды. Положение мое может быть сколь угодно непростым, и бывало очень непростым (и люди помогали мне, за что им спасибо), но я сам себе звезда и проект у меня в математике свой собственный. Я занимаюсь тем, что максимально способствует, на мой взгляд, его развитию.

Однако, в моем возрасте хочется уже общаться с людьми по науке. А не только год за годом стучать по клавиатуре, уткнувшись в свой монитор. Собственно, с годами это становится все более необходимым -- поскольку человек смертен, а даже самый лучший текст жив постольку, поскольку существует традиция его чтения. При этом я человек упрямый. Москвичи (кроме студентов) не заинтересовались контрамодулями -- и я уехал в Прагу. Здесь меньше конкуренции и больше потребности в сотрудничестве, и людям интересно то, что я имею предложить.

Предыдущий постинг

не означает, что я считаю гипотезу Енокса такой уж очень важной задачей. В частности, я не думаю, что она верна в полной общности (и не только я так не думаю). Но это хорошая стимулирующая задача для развития разных техник теории колец. На нынешнем этапе, похоже, даже очень хорошая.

Настоящие приложения контрамодулей -- такие, важность которых будет соответствовать важности понятия -- появятся, вероятно, уже не при моей жизни.

Если вообще имеет смысл говорить о таких настоящих приложениях, кстати. Ведь контрамодули -- это очень базовое понятие, примерно как модули, но ступенькой выше в лестнице абстраций.

Что такое "настоящие приложения модулей"? Важность которых соответствует важности понятия? Вся современная математика, или ее алгебраическая часть как минимум, написана на языке модулей. Без них ее просто невозможно себе представить.

Но приложения важны, чтобы посрамить скептиков. Чтобы контрамодули не были опять забыты. Чтобы описанный в предыдущем постинге способ заниматься математикой люди стали, наконец, воспринимать как легитимный. Не говоря уже, по большому счету -- самый правильный.

Чтобы продемонстрировать, в конце концов, базовый факт: настоящее развитие, и в том числе, математического научного знания, является продуктом долгосрочных частных инвестиций, помноженных на понимание, какие вещи и проекты стоят того, чтобы в них инвестировать. И на основанную на таком понимании готовность нести в частном порядке соответствующие риски.

Тридцать лет спустя

Наш проект по приложениям контрамодулей к гипотезе Енокса восходит к январю-февралю 2018 года. Три или четыре архивных препринта были обнародованы с лета 2018 по осень 2019 года в рамках этого проекта.

Проект по приложениям контрамодулей к гипотезе Енокса вырос из проекта по контрамодулям в теории наклонов, который восходит к январю 2016 года. Тот проект, в свою очередь, вырос из статьи про теории кокручения в локально представимых абелевых категориях, написанной осенью 2015 года. Та статья решала задачу, над которой я начал размышлять в 2012-13 годах, она нужна была мне для построения контрагерентных копучков контрамодулей.

Понятие контрагерентного копучка я придумал в апреле 2012 после трех лет размышлений; постановка задачи восходит к весне 2009 года. Задача эта возникла из поиска максимальной естественной общности для конструкции контрапроизводной категории, которую я придумал в марте-апреле 1999 года (термина тогда не было, слово такое появилось только во второй половине 00-х годов). Конструкции копроизводных и контрапроизводных категорий решали задачу, над которой я размышлял с 1992 года. Задачу эту мне подсказали как естественно возникающую в контексте моей конструкции неоднородной кошулевой двойственности, которая была придумана где-то весной 1990 года, мне кажется.

Весной 1990 года мне было 17 лет. Осенью 2019 года мне 46 с половиной лет. Первые сколько-нибудь впечатляющие результаты по приложениям контрамодулей к гипотезе Енокса появились вот только что, в ноябре 2019 года.

Не мираж

Да. В общем, так я и работаю в последние годы. Держу в голове большую картину (контрамодулей в теории представлений, алгебраической геометрии, коммутативной алгебре, некоммутативной алгебре; ко- и контрапроизводных категорий в теории представлений и алгебраической геометрии...) и медленно, по кусочкам достраиваю ее. Вот, и еще один элемент, похоже, достроился. Наверно, это все-таки не мираж. Похоже на правду.

Вот зачем я, к примеру, потратил столько времени-сил на изучение условий конечности в категориях комодулей и контрамодулей? Три статьи уже написал с обсуждением этого сюжета? А например, затем, чтобы мысль о том, что всякий конечно-порожденный подмодуль контрамодуля является подконтрамодулем, приходила в голову в нужный момент времени.

Contra motivation letters

Уж почти два месяца прошло, и я не уверен, что кто-нибудь понял, что я, собственно, хотел сказать этим постингом -- https://posic.livejournal.com/2001488.html . Так что я попробую высказаться более развернуто.

Несколько недель назад я имел беседу с одним замечательным математиком здесь в Праге, и речь почему-то зашла про motivation letters. Такое motivation letter мне пришлось писать как часть заявки на участие в конкурсе на позицию, где я сейчас работаю -- и меня это настолько огорчало, что я чуть было не отказался от подачи заявки. Только в последний момент сообразил, что написать в этом самом чертовом письме, чтобы выйти из положения.

Мой собеседник ответил мне: Motivation is important. Ну, разумеется! Я попытался сформулировать ответ в том ключе, что бюрократизация важных вещей не обязательно является полезной деятельностью. Мотивация -- это то, что у человека в сердце, а не то, что он написал в официальной бумаге.

The importance of motivation в наше время хорошо осознается широкой научной и околонаучной публикой. Люди любят разглагольствовать о своей мотивации в науке; и в особенности очень любят это делать люди, непредвзятый взгляд на которых неизбежно подскажет, что их истинной мотивацией является жажда славы и денег, а научная истина как таковая им глубоко второстепенна.

На поверхностном уровне обсуждения, я бы сказал, что the concept of motivation should be even applied to the activity of composing motivation letters. Мотивацией человека, составляющего официальную бумагу о своей мотивации для целей участия в конкурсе или подобном мероприятии, является достижение желаемых результатов мероприятия, типа получения позиции. Эта мотивация крайне далека от мотивации soul-searching для приближения к истине по вопросу, в чем на самом деле состоит мотивация автора.

Традиционные документы типа резюме и списка публикаций отражают объективные, наблюдаемые, проверяемые факты (даже если автор стремится представить их в наиболее выгодном для себя свете). Research statement -- это квазинаучный документ, который может быть подвергнут квазинаучной критике. Утверждения человека о его мотивации в большинстве случаев напрямую проверить, подтвердить или опровергнуть невозможно. Приглашение человеку поразглагольствовать о его мотивации в процессе приема на работу есть приглашение присочинить чего-нибудь, вообще говоря, весьма удаленное от всякой реальности.

Это поверхностный уровень обсуждения. Настоящая проблема состоит в том, что даже такой гипотетический аппликант, который максимально искренне и добросовестно задастся целью выяснить для себя свою мотивацию и рассказать о ней конкурсной комиссии, наверняка потерпит неудачу. Настоящая мотивация сокрыта от человека, и soul-searching eе не выявляет.

Выясняется она обычно с прошествием времени и накоплением наблюдаемого, проверяемого фактического знания о том, как человек выстроил свою жизнь, научную (или какую там) работу, карьеру и т.д. Какой выбор он сделал на тех или иных развилках, в поворотных точках. Это называется revealed preference, продемонстрированное предпочтение.

Каждый человек куда-то направляется и направляет куда-то свою жизнь, но он не знает и не может знать заранее, куда. Если он не погибнет по не зависящей от него причине прежде, чем успеет что-либо сделать, если у него будет получаться что-то внятное в какой-то из сфер жизни и деятельности и т.д. -- с годами он и другие узнают, куда он направлялся.

Понятие о жизненной стратегии человека имеет смысл, но это абстракция, аналитический инструмент наблюдателя или исследователя. Концептуальная рамка для осмысления фактической информации. Когда человек говорит "моя стратегия состоит в том, что...", он говорит о том, чего он знать не может. То, что он знает и о чем высказывается -- это не "стратегия", а намерения, текущие задумки и планы на будущее. Это могут быть обещания, даваемые самому себе или другим, например. "Если хочешь рассмешить Бога -- расскажи ему о своих планах".

Чтобы узнать, куда человек направляется, надо подождать и посмотреть, куда он приедет. Вернее сказать, куда ведет тут путь, который он выберет.

Итоги года по еврейскому календарю (статистика)

Ср. https://posic.livejournal.com/1819027.html

1. Год -- количество принятых к печати работ:

5772 -- 0
5773 -- 0
5774 -- 1
5775 -- 1
5776 -- 3
5777 -- 5
5778 -- 3
5779 -- 9

В частности, особенно радует принятие к печати (+ электронная публикация) статьи про наклонно-конаклонное соответствие (в IMRN) и статьи про доказательство очень плоской гипотезы (в Annali). А также принятие к печати + публикация статьи про бесконечный наклон (в Pacific J. of Math.).

С другой стороны, помимо сравнительно недавних работ, разгрузка старинного бэклога продолжилась принятием к печати и публикацией длинного текста про слабо искривленные алгебры (в Memoires de la Soc. Math. de France). Это первый из двух книжного размера препринтов 5772 года (см. ниже).

2. Год -- количество впервые обнародованных архивных препринтов:

5772 -- 2
5773 -- 0
5774 -- 1
5775 -- 4
5776 -- 6
5777 -- 4
5778 -- 7
5779 -- 6

Особенно радует написание и обнародование совместной с Я.Ш. работы про топологическую полупростоту и совершенность топологических колец. Мне кажется, что это важный текст.

В частности, я теперь что-то знаю про теорию разложения модулей в бесконечные прямые суммы, и конкретно про модули с совершенным разложением. Про связь этой науки с топологической алгеброй и контрамодулями над топологическими кольцами, и т.д.

Topologically semisimple and topologically perfect topological rings

https://arxiv.org/abs/1909.12203

Можно сказать, что эта статья, появившаяся теперь на Архиве -- часть серии из трех работ про приложения контрамодулей к гипотезе Енокса. Хронологически она последняя, третья -- но логически вторая. Первая и третья статьи серии (с другими коллективами авторов) были обнародованы в июле -- https://arxiv.org/abs/1807.10671 , https://arxiv.org/abs/1907.05537

С другой стороны, можно сказать, что эта имеющая совершенно самостоятельное значение работа поднимает три сюжета: 1. топологическое/контрамодульное обобщение классической теории ассоциативных колец, начиная с теоремы Веддербёрна-Артина и продолжая диссертацией Басса, 2. топологическая интерпретация современных результатов теории разложения модулей в бесконечные прямые суммы, и 3. линейные топологии на аддитивных категориях.

Скажем, есть знаменитая теорема Говорова-Лазара о плоских модулях: модуль над ассоциативным кольцом плоский тогда и только тогда, когда он является направленным прямым пределом проективных модулей (или даже конечно-порожденных свободных модулей). В теории контрамодулей над топологическими кольцами, есть понятие плоского контрамодуля -- это такой, контратензорное произведение с которым является точным функтором на категории дискретных модулей.

Верен ли аналог теоремы Говорова-Лазара для контрамодулей, науке неизвестно. Легко видеть, что направленные прямые пределы проективных контрамодулей плоски, но обратная импликация -- открытый вопрос. Однако в этой только что обнародованной статье доказывается следующее: если над каким-то топологическим кольцом все направленные прямые пределы проективных контрамодулей проективны, то и все вообще плоские контрамодули проективны. Более того, дается полное описание таких топологических колец.

С другой стороны, обсуждается связь между понятиями полупростой и расщепимой абелевой категории: расщепимая -- это в которой все короткие точные последовательности расщепимы, а полупростая (более сильное условие) -- это в которой все объекты являются прямыми суммами неприводимых. Доказывается, что если расщепимая абелева категория топологизируема, то она полупроста.

Оба результата, сформулированные в предыдущих двух абзацах, являются неожиданными примерами "обратных приложений": их доказательства основаны на продвинутых результатах современной теории разложения модулей в бесконечные прямые суммы. Обычно хочется, чтобы новые понятия позволяли решать открытые проблемы старых теорий, но тут старая теория позволяет доказывать красивые теоремы про новые понятия.

"Прямые приложения" (новые, по-видимому, результаты теории разложения модулей в бесконечные прямые суммы, доказанные с помощью топологических колец и контрамодулей) в статье тоже есть.

Это самая важная моя работа, сделанная в 2018-19 учебном году, уже после переезда в Прагу.

Статья про доказательство очень плоской гипотезы (уже почти совсем) опубликована на сайте журнала

На морде журнала Annali di Matematica Pura ed Applicata https://link.springer.com/journal/10231 ее в данный момент еще нет, и в списке статьей Online First https://link.springer.com/journal/10231/onlineFirst она пока еще не появилась, но научным методом копипаста в адресную строку браузера получен секретный линк -- https://link.springer.com/article/10.1007/s10231-019-00905-1

Кроме того, работает несекретная ссылка по DOI -- https://doi.org/10.1007/s10231-019-00905-1

Это тридцать четвертая рецензированная публикация в моей жизни и двадцатая за последние пять с половиной лет. Также, считая "публикацию" по моменту вывешивания статьи на сайте журнала ИЛИ появления окончательных выходных данных, whichever comes first -- это получается у меня седьмая рецензированная публикация за последний год и шестая в 2019 году.

Таким образом, из четырех главных препринтов 2017 года, все четыре уже приняты к печати. Два окончательно вышли из печати, и два опубликованы электронно на сайтах журналов.

Upd.: вот, прислали share link -- https://rdcu.be/bRVF9

Поток рефлексии (научное писательство)

Один из аспектов моей жизни и биографии, размышления над которым всегда мучительны -- это разница между паттернами публикационной активности в первой и во второй половине жизни -- условно, до 2007 года и после. Или даже до 2014 года и после.

В юности я писал и публиковался очень мало и скупо, считая, что большинство тех скромных соображений, которые я мог бы изложить, почти очевидны и мало кому интересны. На вопросы типа "Это у тебя написано?" -- отвечал "Нет, давай я тебе устно расскажу." В результате мне теперь кажется, что мои мысли упустили свой шанс быть воспринятыми и повлиять на кого-то.

Теперь я пишу очень много, работая (как отмечал еще в Москве Саша Е.) в режиме, когда почти в каждый момент времени я пишу какой-то текст. Видимо, мало кто из математиков так работает. В результате мне иногда кажется, что потенциальные читатели могут чувствовать себя потерянными, не зная, за какую из многочисленных статей взяться, тем более, что все они перекрестно ссылаются одна на другую. Про многие из этих новых работ -- к счастью, далеко не про все -- можно сказать, что стандартам оригинальности и нетривиальности, присущим моей юности, они совершенно не соответствуют.

Трудно избавиться от мыслей о том, что в молодости я был дураком, а в старости стал карьеристом. То и другое крайне неприятно.

Возможны разные объяснения, почему так получается. Начиная с того, что в молодости я просто не умел писать (так, как я умею это сейчас) -- и вплоть до того, что в юности человеку естественно предъявлять к себе завышенные требования, поскольку только так он и может узнать, на что он вообще способен. Наверно, отсутствие публикаций в те давние годы служило для меня наглядным символом того, что мои настоящие результаты еще впереди, а то, что есть -- недостаточно и не может меня устроить.

С другой стороны, именно те из моих результатов, которые я для себя нахожу несложными, почти очевидными и т.д., могут иметь наибольшие шансы быть воспринятыми читателями. С наиболее важными из них ситуация обычно такова, что из них что-то выросло, развилось, обобщилось и использовалось. Так что эти простые ранние вещи в каком-то виде входят в состав более поздних и намного более сложных работ. "В каком-то виде" здесь может означать -- в виде, почти неприступном для большинства читателей.

Поэтому время от времени я пишу тексты в жанре "такая-то подсекция из такой-то статьи или книги, развернутая в десять раз в объеме в отдельную статью". К этой категории относится и статья про относительную неоднородную кошулеву двойственность, которую я пытаюсь сочинить сейчас.