Category: наука

Category was added automatically. Read all entries about "наука".

В конце концов, в чем разница

между новым текстом про полубесконечности и предыдущим? Тем, который 11-13 летней давности?

Разница в том, что новый текст ближе к мейнстриму. Можно сказать, что он заполняет собой промежуток между предыдущим текстом и более-менее отчасти мейнстримными сюжетами; может служить таким мостом. В общем, он увеличивает связность.

Кроме того, он реалистичнее в социальном плане. Вряд ли специалисты по геометрической теории представлений могут выучить коалгебры, полумодули и контрамодули. Это практически невозможно себе представить. Коалгебры -- вообще такая вещь в себе, контринтуитивная и неблагодарная, типа лунного пейзажа или пустыни. Усилий вложить в их освоение нужно много, перспектива их окупаемости сомнительна.

Целевой аудитории у монографии 2010 года по полубесконечной гомологической алгебре никогда не существовало и не существует. Была и остается только (контр)социальная цель -- поднять алгебру до уровня, когда такая аудитория появится. Но те же специалисты по геометрической теории представлений могут выучить, что на некой экзотической производной категории определена операция, соединяющая *-ограничение и !-ограничение на диагональ, одно из них по слою, а другое по базе.

Целью монографии 2010 года было занятие концептуальных, технических высот, господствующих над местностью. Поднявшись на эту вершину, можно было спуститься в богатую долину матричных факторизаций. Дальше, перевалив через контрагерентные копучки, можно было попасть в Беэр-Шеву (в смысле, MGM-двойственность), Брно и Прагу, Падую и т.д. Целью многих последующих текстов, и в особенности недавних, видится мне прокладка коммуникаций по очерченной таким образом территории.

Мои работы периода эмиграции менее оригинальны, чем препринты 2007-14 годов -- даже если мерять оригинальность сравнительно с работами других авторов, тем более -- с моими предшествующими работами. Так и новый длинный текст про полубесконечности кажется существенно менее оригинальным, чем старый. В частности, и потому, что он ближе к престижной, "столичной" области, где работают сильные люди.

Очень много усилий

конечно, вложено на протяжении многих лет в продумывание и написание всех этих текстов. Тем более, если учесть вложенные за годы жизни усилия в защиту своей независимости, т.е., в частности, возможности писать так, как я считаю нужным о том, что считаю нужным. И я талантливый человек, при этом, что тоже важно.

Само изобилие и разнообразие математического текста, который я произвожу на этом позднем этапе своей научно-исследовательской деятельности, отражает сумму проделанных размышлений за предшествующие годы.

Эффективность всех этих усилий пока выглядит очень низкой. То есть, если хотя бы малая доля моих идей получит разумное развитие в длинной перспективе, это будет уже хороший результат. Что ж, такова участь тех, кто пытается изменить направление течения, а не просто плыть по течению.

Чувство ответственности

не позволяет предаваться беспочвенным спекуляциям (по крайней мере, в математике). Хочешь спекулировать -- предъяви корректно построенные теории, леммы, теоремы и доказательства, за этими спекуляциями стоящие. Предоставь необходимые материалы, дающие читателю возможность сформировать его собственное суждение о том, насколько твои же теоремы подтверждают, или не подтверждают, или опровергают твою философию или что у тебя там.

С другой стороны, написав сотню страниц определений, теорем и доказательств, самое время немножко поразглагольствовать во введении. Ведь читателю интересно что? Спекуляции, общие разговоры вокруг да около. Это то, что впечатляет и запоминается. До доказательств девять из десяти читателей не дочитают, но надо же им что-то предложить, чтобы они не ушли совсем уж с пустыми руками.

(Нет, конечно, наиболее массовому читателю интересно не это. Хоть какие бы ни были зажигательные спекуляции, это все неважно и неинтересно, а интересно, когда упоминаются модные ключевые слова, которые на каждом заборе, вперемежку с именами суперзвезды Имярек1 и суперзвезды Имярек2. Но тут уж мне нечего предложить такому читателю. Потому, что мне это неинтересно. )

Re Fauci и "уважение к науке" (из-под замка в Фейсбуке)

Вообразим себе, что некий Икс, специалист по бесконечность-категориям, начал заявлять и рассказывать, как из бесконечность-категорий следует, что люди не имеют права больше жить нормальной жизнью, а надо превратить весь мир в тюрьму. В такой ситуации было бы более чем уместно дворникам, водопроводчикам и медикам порассуждать о бесконечность-категориях. Особенно в плане, что Икс мудак и все бесконечности егойные -- ахинея.

Полупроизводная категория "не над базой"

Нижеследующее вдохновлено недавним открытием, что полупроизводная категория квазикогерентных пучков кручения на инд-схеме, связанной с тейтовским топологическим векторным пространством, не зависит от выбора компактной решетки (т.е., сохраняется всеми линейными заменами координат). Хотя определяется она именно в терминах проекции на факторпространство по компактной решетке (являющееся инд-схемой инд-конечного типа).

Кажется, что в квазикогерентной алгебраической геометрии, где всякое негладкое многообразие гомологически бесконечномерно, на этом открытии далеко не уедешь -- но в контексте топологии алгебраических многообразий, например и в частности в контексте D-модулей, где гомологическая размерность правильно определенной категории D-модулей на негладком конечномерном пространстве конечна (я правильно понимаю?) -- может быть надежда построить теорию на этой основе.

***

Пусть Y -- разумная (в смысле Бейлинсона) инд-схема инд-бесконечного типа над полем характеристики 0. Представим себе, что нам удалось придать смысл понятию D-модуля кручения (т.е., как бы "инд-D-модуля") на Y.

Рассмотрим копроизводную категорию "в смысле Беккера" D-модулей кручения на Y, т.е. попросту гомотопическую категорию неограниченных комплексов инъективных объектов. Я предполагаю, что D-модули кручения образуют категорию Гротендика, так что такая копроизводная категория хорошо себя ведет. В частности, она является стороной полуортогонального разложения гомотопической категории D-модулей кручения, так что у каждого комплекса D-модулей кручения есть такая инъективная резольвента. Подразумевается, что конус морфизма в инъективную резольвенту "коацикличен в смысле Беккера", т.е., ортогонален слева ко всем комплексам инъективных объектов в гомотопической категории.

Будем говорить, что неограниченный комплекс инъективных D-модулей кручения полуацикличен (ужасная терминология, конечно -- полуацикличность сильнее ацикличности, хотя слабее коацикличности), если его !-ограничение на всякую разумную замкнутую подсхему в Y ациклично. Произвольный комплекс D-модулей кручения полуацикличен, если его инъективная резольвента полуациклична. Полупроизводной категорией D-модулей кручения на Y называется факторкатегория гомотопической категории (инъективных или произвольных) D-модулей кручения по толстой подкатегории полуацикличных комплексов.

Можно ли сшить из этого определения дерамовскую полубесконечную алгебраическую геометрию? Или, как там ее назвать, полубесконечную топологию алгебраических многообразий?

К предыдущему

Что дальше? Дальше можно было бы попробовать заменить в этой теории квазикогерентные пучки на D-модули. Или даже на DG-модули над комплексом де Рама (что в сущности то же самое, но технически может быть чем-то лучше).

При этом, конечно, могут возникнуть разные проблемы. Тут надо вспоминать теорию D-модулей, которую я так навскидку обычно в деталях не помню, поэтому мало что могу сказать. Но прежде всего приходит в голову проблема гладкости. Все-таки квазикогерентные пучки на негладком многообразии -- вещь простая и привычная, а D-модули на нем -- это что-то существенно более сложное.

Думал, я уже все подготовил

и дописываю последнюю главу. Мол, могу уже писать доказательство основной теоремы. Но приглядываясь повнимательней, нет, еще кое-чего не хватает. Почему производный функтор композиции (обратных образов при композиции морфизмов) изоморфен композиции производных функторов? Такие вещи не автоматичны, их доказывать надо.

К предыдущему

Есть природное или научное явление, и есть теории, его объясняющие. Типа, я не знаю, гравитации или кошулевой двойственности. Теории меняются, а явление остается.

Есть поступок, и есть слова, которые вокруг него говорятся -- объяснения целей, причин и мотивов. Объяснения меняются -- в ретроспективе, цели выглядят всегда не так, как в момент совершения действия. Поступок имеет последствия, формирующие будущую реальность.

На данный момент, основное объяснение целей рецензионного бойкота такое. Журнал Representation Theory, самим фактом своего существования, оказывает на меня давление в направлении приведения моей продукции к виду, публикабельному в этом журнале. С момента, когда они без убедительных оснований и объяснений отвергли мою работу, я больше не хочу испытывать такое давление с их стороны. Мой рецензионный бойкот является способом отразить, отвергнуть это давление.

Я заявляю о том, что считаю этот журнал для себя несуществующим, заведомо отказываюсь от всяких возможных перспектив публикации моих работ в нем -- и тем самым, не позволяю ему оказывать давление на мое научное творчество. Я не хочу знать, в чем состоят их "высокие" "стандарты", чтобы такое знание не интерферировало с моим собственным способом заниматься математикой.

Полный цикл завершился

MathSciNet опубликовал review статьи про доказательство очень плоской гипотезы. У кого есть доступ, вот его можно видеть здесь -- https://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4102795 . Review представляет собой попытку дать полную формулировку основной теоремы. Попытка почти успешна: только слова "прямое слагаемое" пропущены. Но нельзя ожидать слишком многого: по сравнению с их же review статьи 2005 года про гипотезу Богомолова https://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=2171198 (где вместо "корней из всех элементов поля" написано "корни из единицы") -- большой научный прогресс.

Постановка задачи "придумать определение контракогерентных пучков" появилась в начале мая 2009 года -- https://posic.livejournal.com/290276.html . Определение контрагерентного копучка родилось в апреле 2012 -- https://posic.livejournal.com/771746.html ; тогда же в связи с ним появилось определение очень плоского модуля -- https://posic.livejournal.com/780534.html . Препринт об этом был обнародован в сентябре 2012 -- https://arxiv.org/abs/1209.2995 . Формулировка очень плоской гипотезы появилась в февральской, 2014 года, версии этого препринта. Доказательство было придумано в июне 2017 и обнародовано в виде препринта в августе того же года -- https://arxiv.org/abs/1708.00846 . Препринт этот был принят к печати в сентябре 2019 и окончательно вышел из печати в мае-июне 2020 года -- https://doi.org/10.1007/s10231-019-00905-1 .

Итого, в данном случае, полный цикл = двенадцать лет. Это если начинать с постановки задачи о контрагерентных копучках. Если начинать с контрапроизводной категории (ради которой, собственно, так сильно хотелось придумать контрагерентные копучки), то она появилась в марте-апреле 1999 года в контексте решения задачи, поставленной в 1992 году.

Семь лет назад (полубесконечная алгебраическая геометрия)

Идея написать эту статью, которую я сейчас пишу, возникла у меня в августе-октябре 2015 года, но собственно в содержании ее нет почти ничего такого, чего я не знал еще в 2013. Ну, кроме некоторых мелких деталей, примеров со ссылками на более поздние работы.

В общем, в принципе все это можно было написать семь лет назад, скажем, летом 2014 года в Беэр-Шеве и Реховоте. Свободное время у меня тогда было; идей, как его правильно использовать -- не было.

Другой вопрос, зачем. Кто прочел бы такую статью, если бы она была тогда написана? Что выросло бы из нее? Из препринта про контрагерентные копучки выросли моя работа про MGM-двойственность, задача о парах кокручения в категориях контрамодулей, очень плоская гипотеза... в конечном итоге, почти все мои занятия 2015-20 годов.

Что вырастет из этого текста теперь, тоже совершенно непонятно. Но творческим людям свойственна своя, особая смесь идеализма и прагматизма. По состоянию на 2013 год, у меня было более чем достаточно препринтов по алгебраической геометрии. Были трудности с их публикацией. В перспективе предстояла эмиграция и поиски работы.

Летом 2014 года вопрос вряд ли стоял о том, будет ли у меня к осени препринтом больше или препринтом меньше. Вопрос стоял о принятии жизненных решений и выстраивании стратегии на предстоявшие годы. Решение, которое было в итоге принято, подразумевало разворот от геометрии к алгебре и теории категорий.

При этом я продолжал вписывать проект "полубесконечной алгебраической геометрии" в планы своих исследований, составлявшиеся с административными целями и посылавшиеся в разные конторы. Теперь настало время, и я выполняю это обещание.