Category: литература

Category was added automatically. Read all entries about "литература".

Тринадцать лет назад

Я не помню уже ничего, но вот есть ссылка http://www.mathnet.ru/php/person.phtml?option_lang=rus&personid=23827 . Или вот по-английски http://www.mathnet.ru/php/person.phtml?&personid=23827&option_lang=eng (но там не все по-английски).

Мне кажется, что на одном из моих докладов в Москве, в Стекловке -- вероятнее всего, самом первом из представленных на этой странице, т.е., если верить ей, то 17 марта 2007 года -- я приводил пример явной интерпретации контрамодулей над коалгеброй, двойственной к кольцу формальных степенных рядов от одной переменной. Ну, и заодно упомянул, что аналогично можно определить контрамодули над целыми p-адическими числами. Последовало возражение, насколько я могу вспомнить, от Димы Каледина -- мол, какое же это определение, руками в одном частном случае.

19 июня 2007 года здесь в этом ЖЖ появляется абстрактное определение контрамодуля над топологическим (ассоциативным) кольцом -- https://posic.livejournal.com/206662.html , за ним сразу следует попытка определить контрамодули над топологическими алгебрами/кольцами Ли -- https://posic.livejournal.com/206902.html .

Той весной и летом я писал длинный текст по полубесконечной гомологической алгебре. Первая, еще сильно неполная -- можно сказать, минимальная архивная версия датирована 27 августа 2007 -- https://arxiv.org/abs/0708.3398v1 , но определения контрамодулей над топологическими алгебраическими структурами в нее еще не вошли, а были в ней только контрамодули над коалгебрами и полуконтрамодули над полуалгебрами. Определения контрамодулей над топологическими кольцами, топологическими алгебрами и топологическими алгебрами Ли впервые появляются в четвертой версии препринта, датированной 19 июня 2008 -- https://arxiv.org/abs/0708.3398v4 .

Если верить ссылке, то тринадцать лет назад, 7 октября 2008 года, состоялся мой доклад про контрамодули в Стекловке, на котором уже было представлено настоящее определение. Вот, кстати, я нашел у себя в почтовом ящике его аннотацию:

"Тема: Контрамодули

Абстракт: В отличие от колец, над коалгебрами существуют модульные категории двух типов: комодули и контрамодули. Категория коалгебр анти-эквивалентна категории про-конечномерных топологических алгебр, и понятие контрамодуля можно обобщить со случая про-конечномерных алгебр на топологические кольца более общего вида. В частности, контрамодули над целыми l-адическими числами известны как "слабо-l-полные" или "Ext-l-полные" абелевы группы. Кроме того, можно определить абелевы категории контрамодулей над топологическими алгебрами Ли и над некоторыми топологическими группами. У контрамодулей над тейтовской алгеброй Ли бывают полубесконечные когомологии."

Мне запомнился этот доклад потому, что на него пришел Василий Алексеевич Исковских (это был последний раз, когда я его видел; В.А. умер в начале января 2009). По-моему, ему понравился мой доклад (чему я был очень рад) -- он был оживлен, шутил про лейбницевы монады и т.д. Наверное, в принципе этот день можно считать днем рождения понятия о контрамодулях в современном смысле слова.

Книжка по полубесконечной гомологической алгебре вышла из печати в Базеле осенью 2010. С тех пор я написал длинный ряд статей и препринтов (включая один мемуар) про контрамодули над топологическими кольцами, и продолжаю размышлять о них, теперь уже в Праге. Очередной мой доклад про контрамодули предполагается здесь на семинаре по алгебре в понедельник -- https://www.mff.cuni.cz/en/math/ka/events/seminars/algebra-seminar

Зиц-председатель Фунт сидел при Александре Втором "Освободителе", при Александре Третьем "Миротворце", ... и потом он сидел при НЭПе. Я нашел определение контрамодуля над коалгеброй в библиотеке в Принстоне весной 1999, я придумал определение контрамодуля над целыми p-адическими числами в Бонне незадолго до возвращения в Москву в сентябре 2003, я занимался контрамодулями в полубесконечной гомологической алгебре в Москве, я занимался контрамодулями в коммутативной алгебре в Москве, Беэр-Шеве, Хайфе, Падуе и Праге, я занимался контрамодулями в кошулевой двойственности в Москве и Праге, я занимался контрамодулями над топологическими кольцами в Москве, Брно, Хайфе, Падуе и Праге...

Три года назад

10 сентября 2018 года я приехал в Прагу, чтобы начать работать научным сотрудником в Математическом институте Чешской академии наук. Две книжные рукописи и цикл статей про топологически совершенные топологические кольца (начатый еще в Хайфе) написаны за три года. Шестнадцать работ (из них пятнадцать статей и один мемуар) вышли из печати за это время.

Доволен ли я? Зарплату мне повысили, денег теперь хватает. Ситуация со свободами в обстановке обуявшей мир паники, разумеется, аховая. Есть и другие проблемы. В общем и в целом по жизни, я давно отчаялся, но призрачная надежда успеть довести задуманные книжки до публикации пока еще сохраняется.

Природа математики

https://posic.livejournal.com/1783330.html

Жизнь вообще полна загадок. В смысле, полны загадок фундаментальные аспекты бытия. Современный человек разучился удивляться и готов принимать на веру первые попавшиеся произвольные и ложные объяснения. Вооружившись таковыми, он разрушает то, чего не может объяснить.

Нет объяснения существованию мира, существованию жизни, разумной жизни и т.д. На мой взгляд, математика стоит в том же ряду. Ее существованию и природе нет объяснения. То есть, могут предлагаться и предлагаются самые разные объяснения, от Божьего промысла до эволюции, но все они, в зависимости от интерпретации, либо ничего не объясняют и прямо признают это, либо предлагаемые — чтоб не сказать навязываемые --- объяснения просто ложны и разрушительны. Я предпочитаю объяснения первого рода, нежели второго.

Можно сказать, что математический мир создан Богом, чтобы люди его изучали. Можно сказать, что математика — это особый род литературы, а числа, узлы и прочие математические объекты — это литературные герои математического повествования. Оба объяснения мало что объясняют, но они скромно признают наличие загадки, а не с наглой самоуверенностью отрицают ее. Этим они мне нравятся.

Полупроизводная категория для неаффинного квазикомпактного плоского морфизма

В развитие постинга https://posic.livejournal.com/2336338.html

Полупроизводная категория -- это смесь производной категории по части переменных (условно, "образующих алгебру") и копроизводной категории по остальным ("образующим коалгебру"). Полупроизводная категория -- это центральное техническое, гомологическое понятие во всяких полубесконечных делах. В этом главное открытие моей книжки по полубесконечной гомологической алгебре.

В контексте алгебраической геометрии, "переменные коалгебры" означают пространство, сложно склеенное из маленьких аффинных схем -- скажем, инд-нетерову инд-схему или инд-нетеров инд-стэк. "Переменные алгебры" означают пространство, просто склеенное из больших аффинных схем -- скажем, бесконечномерную квазикомпактную полуотделимую схему.

Обычно конструкция полупроизводной категории подразумевает относительную ситуацию -- морфизм колец или пространств, "забывающий переменные алгебры". В этом случае понятно, как полупроизводная категория определяется. Бывают и более сложные конструкции, как например в мемуаре про слабо искривленные A-бесконечность алгебры.

Оставляя пока в стороне D-модули, стоит обсудить определение полупроизводной категории в контексте полубесконечной алгебраической геометрии квазикогерентных пучков кручения, как в моем пишущемся сейчас (апрельском 2021 года) препринте. Самое ограничительное из условий, при которых там развивается теория -- это аффинность морфизма инд-схем π: Y → X. Хотелось бы заменить аффинность на квазикомпактность и полуотделимость (понимаемую в том смысле, что прообраз любой аффинной локально замкнутой подсхемы в Х -- квазикомпактная полуотделимая локально замкнутая подсхема в Y).

Аффинность эта нужна для того, чтобы определять полупроизводную категорию в терминах функтора прямого образа квазикогерентных пучков кручения при морфизме инд-схем Y → X. Чтобы прямой образ был точным и строгим функтором, морфизм должен быть аффинным. На этой почве я еще в каком-то 2013 году размышлял о важности аффинных морфизмов в полубесконечной алгебраической геометрии.

Теперь же мне кажется, что аффинность можно ослабить до квазикомпактности и полуотделимости, хотя и ценой существенного усложнения определения. Пусть π: Y → X -- квазикомпактный, полуотделимый, плоский морфизм инд-схем (при этом X предполагается инд-нетеровой инд-схемой). Что значит, что комплекс квазикогерентных пучков кручения N на Y полуацикличен относительно X?

К предыдущему

Два с половиной месяца (с 20-х чисел февраля) ушли у меня на то, чтобы написать эти 114 страниц. Это если не считать тринадцать лет или четверть века предшествовавших размышлений.

Полная версия, если все получится, составит страниц 130-140. Это текст размером с "мемуар" (брошюру). Перспективы публикации крайне туманны, конечно. Но словосочетание "полубесконечная алгебраическая геометрия" получает теперь конкретное наполнение.

Кроме того, признаться, меня тешит надежда, что этот текст может стать чем-то вроде квазиучебника или базового источника ссылок по инд-схемам и (особенно) квазикогерентным пучкам на них. Написанного на как бы до-бесконечность-категорном уровне (с эмфазисом на абелевых и точных, а не только триангулированных категориях и их утончениях).

При этом в нем прописана (в примерах) и связь концепциями полубесконечной гомологической алгебры из моей монографии 2010 года -- коалгебрами, комодулями, контрамодулями, полуалгебрами, полумодулями.

Взаимная ассоциативность котензорного и контратензорного произведения!

Или даже просто котензорного и тензорного произведения! Я начал писать об этом (в математических письмах) летом 2000 года, потом написал в книжке, обзоре, и до сих пор продолжаю. Мне кажется, что сюжет этот, технически важный для полубесконечной гомологической алгебры, за двадцать лет не приблизился к мейнстриму ни на шаг, несмотря на все мои усилия. Останусь ли я первым и последним математиком, что-нибудь про это понимавшим?

Результат участия в конференции на прошедшей неделе

Ссылку на Арнаутова сотоварищи (1996) в моем декабрьском препринте следует заменить (ну или, как минимум, дополнить) ссылкой на Рольке и Дирольф (1981). Та же конструкция, которую я почерпнул в молдавско-русской книжке, появилась в немецкой книжке пятнадцатью годами раньше. (К счастью, обе книжки написаны по-английски -- по-немецки не читаю я, по-русски не читают мои читатели.)

Пятнадцать лет в трехлетних периодах

март 2006 -- февраль 2009: книжка по полубесконечной гомологической алгебре в основном написана, основные результаты ее (теорема сравнения с полубесконечными гомологиями алгебр Ли, полумодульно-полуконтрамодульное соответствие) доказаны

март 2009 -- февраль 2012: мемуар "Two kinds of derived categories...", артин-тейтовские мотивы и мотивные пучки, когомологии Галуа числовых полей, (ко)гомологии Хохшильда второго рода, матричные факторизации, мемуар по слабо искривленным алгебрам в основном написан

март 2012 -- февраль 2015: контрамодули над адическими пополнениями нетеровых коммутативных колец, контрагерентные копучки, постановка и ранние подходы к задаче о парах кокручения в категориях контрамодулей, формулировка очень плоской гипотезы, категорные последовательности Бокштейна и редукции точных категорий

март 2015 -- февраль 2018: важнейшие работы эмигрантского периода (MGM-двойственность, контрамодули в коммутативной алгебре, доказательство очень плоской гипотезы, пары кокручения в категориях контрамодулей, понятие о локально представимых абелевых категориях с достаточным количеством проективных объектов как о классе категорий, ковариантно двойственном к категориям Гротендика, наклонно-конаклонное соответствие, полная строгость контрамодульных забывающих функторов, псевдопроизводные категории/эквивалентности и т.д.)

март 2018 -- февраль 2021: приложения контрамодулей к эпиморфизмам колец и к гипотезе Енокса, топологически совершенные топологические кольца, категории производно полных модулей и комплексов над кольцом с не слабо прорегулярным идеалом, книжка по относительной неоднородной кошулевой двойственности в основном написана (плюс последующая россыпь препринтов периода локдаунов, продолжающих деятельность прежних лет в разных направлениях)

Ну, вот

Депрессивненько так -- зима (снегопады только радуют). Про локдаун проклятущий вообще и говорить нечего. Время тянется медленно. Ан вот, за январь у меня 1. статья в IMRN окончательно вышла из печати, 2. статья в Zeitschrift опубликована электронно на сайте журнала, 3. статья в Nachrichten принята к печати, 4. из JPAA пришла одобрительная рецензия, и теперь 5. новый архивный препринт обнародовался.

...Как и февральский препринт 2020 года, только что принятый к печати в Nachrichten -- сегодняшний новый архивный препринт восходит своим содержанием к 2017 году. Это давно запланированная работа -- с тех самых пор мы собирались ее написать, теперь вот руки дошли. Можно сказать, что подвижки с этими статьями открывают дорогу написанию обещанной в марте 2018 книжки про локально представимые абелевы категории с проективной образующей.

Pseudo-dualizing complexes of bicomodules and pairs of t-structures

Третья версия -- https://arxiv.org/abs/1907.03364 . По содержанию от второй (августовской 2019 года) ничем не отличается; обновлено чисто чтобы похвастаться выходом из печати статей в списке литературы (Pacific J. Math., Rendiconti Padova и особенно Journ. of Lie Theory). Ну, и еще там случился сдвиг нумерации секций при публикации последней из трех работ в скобках; соответственно ссылка поправлена.