Category: литература

Про доказательства

https://www.facebook.com/ilyaschurov/posts/10215101784517649
https://www.facebook.com/posic/posts/3057789224235891

Илья Щуров пишет:

"Текст доказательства — это карта с маршрутом восхождения на вершину. Подняться на вершину без карты может быть очень сложно, так что карта очень полезна. Но если вы будете просто смотреть в карту, даже очень внимательно, вы не подниметесь на вершину, и даже не приблизитесь к ней. Чтобы подняться, вам нужно начать идти самому. Это тяжело, и этого никто не сделает, кроме вас самих. Но это единственный способ.

(Когда-то хотел написать книжку «Путеводитель по матанализу для горного туриста» — это, видимо, оттуда.)"

Навстречу славной годовщине

Год назад мой бэклог сырых, неполных или устаревших архивных препринтов 2012 и 15-18 годов, требовавших существенной доработки перед подачей в редакции, составлял 6 позиций. Теперь одна из этих работ уже не только дописана, но и принята к печати; одна разбита на три части (из которых одна подана в печать); одна работа более чем вдвое расширена и подана в печать.

В общем, из 6 недоделанных препринтов в бэклоге остались 3. Еще над одним (это длинная обзорная статья) я сейчас работаю, еще из одного предполагается сделать книгу, и еще один является книжного размера препринтом, требующим существенной доработки.

Двенадцать лет назад

Двенадцать лет назад, 28 августа 2007 года, на Архиве появилась первая версия препринта, из которого выросла монография по полубесконечной гомологической алгебре. Через год, к концу июня 2008, текст уже содержал доказательство теоремы сравнения с полубесконечными когомологиями алгебр Ли. Почти девять лет назад, в сентябре 2010, книжка вышла из печати.

Так мало времени прошло! Что такое для математики двенадцать лет? Да и не для математики. Как писал Бродский, торжество справедливости наступает всегда с опозданием минимум в четверть века. Четверть века от 2007 года -- это... это мне будет тогда... в общем, не надеюсь дожить.

Но по крайней мере, я не сидел сложа руки все эти двенадцать или девять лет. Кой-какие имеются с тех пор продвижения.

Двадцать семь месяцев назад

Первая журнальная статья, в которой вводится и изучается определение контрамодуля над топологическим кольцом, была принята к печати в Journal of Algebra в начале марта 2017 года, и вышла из печати во второй половине апреля.

Всего два года и три месяца прошли с тех пор. К настоящему моменту, еще две работы, поднимающие эту тему -- одна из них, можно сказать, прямо-таки главным образом на эту тему -- опубликованы в электронном виде на сайтах журналов в ожидании окончательного выхода из печати. Один мемуар, вышедший из печати в этом году, можно с оговорками добавить к этому списку.

Плюс полубесконечная монография, конечно, в которой это определение впервые появилось в замечании. Плюс еще одна опубликованная статья, в которой сюжет затрагивается совсем уж по касательной. Плюс небольшое количество архивных препринтов, где-то четыре-пять штук примерно.

Может показаться, что я только и пишу про контрамодули, и это довольно верно, но контрамодули бывают разные. Контрамодули в коммутативной алгебре -- немного другой сюжет, хотя и связанный. Контрамодули над коалгебрами и кокольцами, и полуконтрамодули над полуалгебрами -- тоже немного другой сюжет (частный случай).

Всего два года назад! При этом я размышляю и пишу про контрамодули с 2000 года, и даже определение контрамодуля над топологическим кольцом появилось еще в 2007-08 годах. Отсюда видно, как медленно развивается процесс. При том, что пишу я в последние 10-12 лет довольно много.

Все еще впереди!

Двадцать лет назад

Двадцать лет назад, плюс-минус несколько недель -- точно уж не вспомнить, но в общем, где-то между апрелем и июнем 1999 года -- я нашел в библиотеке IAS мемуар AMS 1965 года, а в нем -- определение контрамодуля.

Между прочим, этого наверняка не случилось бы, если бы примитивная версия нынешней базы данных MathSciNet не была тогда доступна там, в библиотеке, на компакт-дисках. Я, конечно, все давно забыл, да и сразу не запомнил, но думаю, что сначала я увидел слово "контрамодуль" в Math. Review этого старинного мемуара, в компьютере, а там уж пошел листать бумажную подшивку. А на review мемуара я вышел, просматривая reviews всей серии работ Эйленберга-Мура и Хьюзмоллера-Мура-Сташефа 1962-74 годов.

О чем напоминает нам этот условный юбилей? О том, что процесс идет. Медленно, да. Но, типа, это фундаментальная наука и вообще даже математика, а не гонка за морковками денег и славы. Двадцать лет назад я и сам не поверил в контрамодули. В то, что они имеют смысл и нужны зачем-то. Не поверил -- но запомнил. Поверил через год, летом 2000. С тех пор имеется гигантский прогресс: мощность множества людей, верящих в контрамодули, превышает единицу. Больше, чем один я, то есть.

Быстро, вдруг случается то, что уже незаметно, подспудно произошло. Приблизилось к поверхности -- и вот, наконец пересекает ее, открываясь невооруженному взгляду. Настоящие, глубокие изменения происходят медленно. Контрамодульная революция может стать таким настоящим, глубоким изменением.

К предыдущему

Мне думается, что эта ситуация имеет две полярные интерпретации. Самая оптимистическая состоит в том, что я просто опережаю свое время.

Книжка про квадратичные алгебры была в основном написана к концу лета 1996 года, но опубликована она была только в 2005 году. Почему именно в 2005? Потому, что к тому времени предмет приобрел достаточную популярность, чтобы рукописью заинтересовалось издательство Американского матобщества.

Работа про производные категории второго рода была в основном сделана весной 1999 года, но препринт был написан только весной 2009. Почему именно тогда? По разным причинам; но начать можно с того, что сама терминология "копроизводные категории" появилась только году в 2004. В той терминологии, которой я пользовался с 1999 года, текст на эту тему вышел бы гораздо тяжелее и неуклюжее. В этом могла состоять одна из причин, по которым я не решился тогда об этом писать.

Еще год или два прошло, пока я узнал о появлении этих слов, которые не умел придумать сам -- после чего сначала была написана толстая монография по полубесконечной гомологической алгебре, где использовалась опиравшаяся на этот способ словообразования терминологическая система -- а там уж и ставший теперь относительно популярным мемуар. При этом популярностью своей он обязан, прежде всего, приложениям к матричным факторизациям, ставшим актуальными к 2009-10 годам.

***

Условно говоря, жизнь каждого человека делится на две части -- в первой он живет в предположении, что самое главное в его жизни еще впереди, во второй -- что главное уже позади. В моей жизни водораздел пришелся на 2004-06 годы. После второй половины 00-х годов мне уже не хотелось откладывать до лучших времен публикацию того, что я считал важными результатами. Откуда я знаю, доживу ли я до этих лучших времен?

Соответственно, с осени 2010 года, после исчерпания бэклога накопившихся за предшествующие пятнадцать лет идей и работ, хранившихся у меня в голове -- новые работы записывались и обнародовались немедленно, "с колес". Может быть, именно поэтому тексты про контрамодули не очень популярны пока что? Может быть, лет через десять настанет их время?

***

Самая пессимистическая интерпретация состоит в том, что меня просто отталкивает популярность и социальные издержки, с ней связанные -- как в смысле тех компромиссов, на которые обычно идут люди для ее достижения, так и в смысле социальных последствий, которые она за собой влечет. Соответственно, я предпочитаю работать в "недооцененных" областях -- а когда такая область начинает входить в моду, я ухожу оттуда в какую-нибудь еще более недооцененную область.

В результате, я готов много писать про контрамодули именно потому, что они непопулярны -- и на мой взгляд, совершенно неадекватно, несправедливо непопулярны. Написание новых текстов про контрамодули становится формой протеста против того обращения, которому подверглись предыдущие тексты про контрамодули, плюс я как их автор и т.д. По мере того, как контрамодули начинают, сколь угодно медленно и трудно, но все-таки входить в какой-то оборот, моя мотивация уменьшается.

"Вы же умный человек"

Есть такая фраза. "Я думаю, вы, конечно, умный человек." Так мне говорил сотрудник отдела абсорбции ученых-репатриантов, приезжавший беседовать со мной в Хайфу в сентябре прошлого года. Говорил он это, косясь на толстую книгу "Homological algebra of semimodules...", которую я принес с собой, чтобы ему показать.

Мы говорили по-английски. Речь шла о том, что, по его мнению, я мог бы претендовать на преподавательскую работу в одном из второстепенных технических колледжей, находящихся в каких-то там израильских городах, я уж не помню, в каких. Я мягко возражал, что не уверен, что тамошним студентам была бы польза от моего преподавания. "Какая разница? Конечно, глупые студенты. Платите этот налог, а в остальное время занимайтесь своими исследованиями. Вы же, я вижу, умный человек..."

***

Дорогие благонамеренные чиновники израильских министерств, злонамеренные чиновники российских министерств, трусливые чиновники американских министерств и прочая публика! Вы ничего не понимаете в научных работниках. Один уже вид толстой книги с надписью по-польски ("Математические монографии польской академии наук") в сочетании со словами "Ph.D. из Гарварда" должен был немедленно донести мысль, с кем вы имеете дело. Не говоря о, собственно, разговоре, да?

Умный человек -- это John Kovac, см. https://www.facebook.com/avorobey/posts/10155668096829624 . Вот он -- умный человек, в вашем понимании. А я глупый человек. Очень, очень глупый человек, и упрямый, как бык, упершийся рогом. На почве чего я с удовольствием разнесу вашу халабуду вдребезги пополам, если на то будет Господня воля, и сочту за честь быть похороненным под ее обломками.

Безо всякого уважения,
и проч.

Лемма о подъеме идемпотентов по модулю ниль-идеала

Правда, поразительное доказательство -- второе по ссылке https://stacks.math.columbia.edu/tag/00J9 ? Такое впечатление, что его придумали в какую-то другую эпоху, от нас очень далекую. Откуда взялись эти формулы, со всеми этими двойками, тройками, четверками? Как такое можно придумать, исходя из чего? Почему никто этого не объясняет?

Это -- очень хорошее доказательство. Авторов Stacks Project по ссылке интересует случай коммутативного кольца, но это доказательство никакой коммутативности не использует, конечно. (Точнее сказать, коммутативность не используется в интересующей нас части рассуждения по ссылке, касающейся существования подъема -- единственности нет в некоммутативном случае.)

Поиск на "lifting idempotents modulo nil ideal" выводит на разные рассуждения, такие как, например, http://www.math.hawaii.edu/~lee/algebra/idempotent.pdf . Это второе доказательство на первый взгляд кажется лучше -- прозрачнее, все формулы более-менее очевидные и никаких недоуменных вопросов не вызывают. Легче придумать, легче запомнить.

Но на самом деле лучше доказательство по первой ссылке, с загадочными формулами. Потому, что в нем нет произвольного выбора момента остановки процесса. Зависимости от показателя нильпотентности нет. Просто -- однозначно определенный, сходящийся итерационный процесс, дающий "канонический", функториальный ответ. Автоматически согласованный с гомоморфизмами колец, и легко обобщаемый на случай топологического кольца с топологически-ниль идеалом, например.

То же доказательство (с теми же странными формулами, слегка по-другому записанными) обнаруживается в Proposition 10.3.1 на странице 233 в книжке Hazewinkel, Gubareni, Kirichenko "Algebras, Rings and Modules" vol.1, Kluwer, 2004. Жалко, что никто не цитирует оригинальный первоисточник. Кто это придумал-то? Интересно же.

Михаил Литвак об умирании от рака

Из книги "Похождения Вечного Принца". Идет монолог Вечного Принца (его длинное письмо к М.Л.) с комментариями М.Л.:

"В начале 1996 года у нас на кафедре случилось несколько несчастий. Тяжело заболел Артист. Это было злокачественное заболевание. Ему об этом не сказали, поэтому он не давал согласие на оперативное лечение. А когда сказали, то делать операцию уже было поздно. Зато он дал согласие на химеотерапию. Его состояние настолько улучшилось, что он поехал с нами летом на море, был на жаре и даже ходил в парную, чего уж никак делать было нельзя. Более того, мы с ним вместе стали писать монографию, где его роль была первой. Я там писал всего одну главу. Вот бы он так всегда трудился. Оставил бы большой след в психиатрии. Ведь он был очень талантлив, если не гениален.

<...>

Летом 1996 года за рубежом скоропостижно скончался Оптимист. Кандидатом на его место был Зевс. Как похороны Оптимиста, так и назначение Зевса заведующим кафедрой затянулось. Похороны затягивалось из-за того, что смерть была скоропостижной, и по законам страны, где он умер, похороны возможны только после окончания следствия. А оно тянулось месяца два. Назначение Зевса затягивалось из-за откровенного нежелания руководства института делать его заведующим кафедрой в силу открытой конфликтности его натуры. В конце концов, заведующим кафедрой он стал. Сплетники доложили, что это было при поддержке верхов.

<...>

К сожалению, у Артиста в начале 1997 года появились метастазы в позвонках. И опять ему не сказали правды, а объяснили это пневмонией и радикулитом. И он опять не дал согласие на специфическое лечение. Больно было смотреть на его муки, но меня к лечению не привлекали и к моему мнению не прислушивались, да и не спрашивали. Затем ему сказали, что у него метастазы. Тогда он дал согласие на повторную химиотерапию. Вновь настудило улучшение. Лечение дало эффект, боли исчезли, но позвонки рассосались, и он стал лежачим больным. Лежал он у нас в клинике. Чувствовал себя хорошо. Мы его проведывали ежедневно. И вообще многие его проведывали ежедневно, приносили всякие передачи и почти не разговаривали о делах. А вот я говорил с ним о делах и поедал эти угощения.

Комментарий:

Как вести себя, когда рядом с вами неизлечимый больной

Я думаю, что Вечный Принц вел себя более грамотно, чем остальные его друзья. Я обратил внимание, что неизлечимый больной является очень желанным объектом, на котором можно выразить свою гуманность, преданность, любовь и еще большое количество положительных чувств, которые удовлетворяют чувство собственной значительности.

Пришел, проведал человека, сунул ему передачу на энное количество рублей (бананы, апельсины, соки и пр.), подбодрил стандартными словами, что все обойдется (когда сам великолепно знаешь, что не обойдется!), и уходишь довольный собой с чувством выполненного долга и стараешься какой-то деятельностью заглушить черный осадок этого посещения. Сам больной при этом чувствует себя отвратительно. От вида здоровых людей самочувствие его еще более ухудшается. После ухода посетителей возникает тоска. А если бы не посещали, то было бы чувство злости, которое больше мобилизует силы, чем тоска.

В общем, не умеет у нас народ правильно вести себя с хроническими, тяжелыми больными. Особенно тяжело от этого неумения близким, которые действительно любят больного, а больной их. Здесь идет двойной обман. Больного родственники обманывают, не говорят, что у него неизлечимое заболевание. Вскоре больной начинает понимать, что его обманывают. Как-то считается, что в присутствии неизлечимого больного нужно все время сохранять постный вид. Но все время постный вид сохранять невозможно. Бывают моменты радости, улыбки, смех, и вот в это время входит неожиданно сам больной. Внезапно смех замолкает, все надевают на себя скорбную мину. И больной понимает, что от него скрывают истинный диагноз. Но он любит своих близких. Он хочет им добра и делает вид, что верит им, что у него легкое заболевание.

Хочу вас спросить, дорогой мой читатель, чем отличается раковый больной от нас, здоровых. Он отличается тем, что он знает примерно дату своей смерти, а мы не знаем. Кстати, Оптимист, уезжая на карнавал, знал, что Артист умрет. Но ведь умер он раньше Артиста. Так, как следует общаться с онкологическим больным? Да так же, как со здоровым, но с небольшими поправками. То есть продолжать сотрудничать. Да тело его уже не может кое-что делать, но ведь мозги в порядке.

Вот Вечный Принц и заставлял его работать над монографией. А когда съедал его передачи, он тоже оказывал ему благо. Ведь в это время Артист был радушным хозяином. Он всегда угощал своих близких. И здесь он вел себя, как здоровый человек, и делал здоровое дело. Более того, я знаю, что иногда Вечный Принц жаловался и рассказывал о своих бедах. А когда Артист помогал хотя бы советами Вечному Принцу, то он в это время чувствовал себя лучше.

В общем, дорогие читатели, не выключайте на 100% из активной жизни тех, кто тяжело и безнадежно болен. Вы скрасите их последние дни, а может быть, и продлите им жизнь, наполнив ее глубоким смыслом.

У меня есть небольшой, но успешный опыт общения с раковыми больными, хотя он не носит характера статистической достоверности. Поэтому я не решаюсь его опубликовать. Пусть немногим, но в моей практике такой психологический подход продлил жизнь на несколько лет. А некоторые живут и до сих пор, хотя оперировали их по поводу рака лет 15 назад.

Впрочем, об одном все-таки расскажу. Это был врач, которого оперировали по поводу рака щитовидной железы. Он боялся рецидивов. Я его не успокаивал. Я предложил ему наладить довольно напряженные отношения с женой и двумя сыновьями. Он в качестве пациента прошел полный курс лечения в клинике и одновременно посещал наш 1,5-месячный психотерапевтический цикл. В заключительном слове он сказал, что доволен, что заболел раком щитовидной железы, что позволило ему наладить отношения в семье и разобраться в жизни. Сказал, что знает, что осталось ему мало жить, но это и есть настоящая жизнь. Так ведь до сих пор живет.

Дорогие онкологи, я не хочу отбивать у вас ваши лавры. Конечно, если бы вы плохо оперировали, то возник бы рецидив. А вот то, что не возникло раковой опухоли у него в другом месте, есть доля и наша.

[Конец комментария.]

<...>

Шло редактирование нашей монографии. Я торопил Артиста с редактированием. Это он мог делать и лежа. Редактирование моих книг шло успешно. Но мои книги выпускало издательство за свой счет. Нашу общую монографию мы выпускали за свои деньги. У Артиста их не было. Вкладывали их я и еще один соавтор. Когда он закончил редактирование, то был поражен, как быстро был сделан сигнальный экземпляр.

Начался отпускной период. Артист в это время лежал дома, чувствовал себя хорошо. Жена говорила, что это был здоровый человек во всем, только ходить не мог. Но в конце августа 1997 года опять объявились метастазы и все прелести, которые бывают у больного с разрушенными поясничными позвонками и нарушенными тазовыми функциями. Опять он был помещен в клинику, где сносное его существование поддерживалось наркотиками. Вышли четыре мои книги и одна наша общая. Мы понимали, что он может умереть в любой момент, и хотели, чтобы он увидел свою книгу.

Я торопил издателей и типографию, объяснил, в чем суть ситуации. Они пошли нам навстречу. Первые 20 экземпляров должны были доставить утром 15 ноября. Зевс, подняв скандал, добился, что их привезли 14-го вечером. Потом на меня косо смотрели люди, которые сделали мне одолжение в ускоренном выпуске книг. Но на кафедре все с восхищением отозвались об энергии Зевса. 15-го тоже не было бы поздно. Итак, книга была доставлена. Я запомнил, с каким вдохновением и волнением он рассматривал свою первую книгу, вышедшую в твердом переплете. Он откровенно радовался. Эта радость продолжалась несколько дней. Он раздаривал книгу своим друзьям. Гонорар, который он получил книгами, быстро превратился в деньги, которые он с гордостью передал жене. Нет, чудес не произошло. Он потихоньку уходил от нас. Наконец, с моей стратегией согласились, и некоторые конференции, которые были посвящены методическим педагогическим вопросам, мы проводили в его палате. Он давал очень ценные советы. Клиницистом он был великолепным.

Вышли и мои четыре книги. Артисту я об этом не сказал, да он и не интересовался. <...>"

http://padaread.com/?book=61114&pg=174