Category: космос

Category was added automatically. Read all entries about "космос".

К предыдущему

Первая версия этой статьи была в основном придумана в марте 2017 в Хайфе под влиянием полученной из журнала Journal of Algebra and its Applications рецензии на предыдущую мою работу про эквивалентности Матлиса. В апреле 2017 в Падуе эти соображения были записаны в моем любимом жанре математического письма, и вопрос написания статьи на основе этих заметок встал на повестку дня.

Летом 2018 года этот сюжет попал в орбиту нашей более широкой совместной деятельности. В июле 2018 в Хайфе текст был переработан (концепция усовершенствована, результаты обобщены, один новый важный результат добавился) -- и включен в состав длиннющего препринта "про все на свете". Теперь, наконец, эта работа оформилась в виде отдельного архивного препринта, который мы надеемся вскоре послать в какой-нибудь журнал. Под конец добавился пример с колчаном Кронекера.

Что мне дороже всего в этой работе? Что в ней появляется слово "u-комодуль", где u обозначает гомологический эпиморфизм ассоциативных колец, имеющий плоскую размерность единица с подходящей стороны. Тем самым фундаментальный, как мне кажется, вопрос "что такое комодульная категория, в абстрактном общем виде?" встает в повестку дня. Для контрамодулей это по нынешним временам гораздо более понятно.

Полупроизводная категория квазикогерентных пучков кручения на инд-схеме - 2

Копроизводная категория квазикогерентных пучков кручения на инд-схеме определяется обычным образом. Если инд-схема инд-нетерова (или хотя бы инд-когерентна с подходящим условием (локальной) конечной порожденности пучков идеалов замкнутых вложений -- кажется, это последнее называется reasonable ind-scheme, определение принадлежащит Бейлинсону), копроизводная категория квазикогерентных пучков кручения эквивалентна гомотопической категории комплексов инъективных квазикогерентных пучков кручения.

Пользуясь конструкцией гомотопического прямого предела последовательности ("телескопа"), можно показать, что комплекс инъективных квазикогерентных пучков кручения на инд-схеме коацикличен (и, следовательно, стягиваем), если стягиваемы его ограничения с носителем на замкнутые подсхемы. Отсюда следует, что если инд-схема инд-нетерова (или инд-когерентна и ее замкнутые подсхемы квазикомпактны), то комплекс квазикогерентных пучков кручения на ней коацикличен, если коацикличны его ограничения на открытые инд-подсхемы, образующие (пусть даже и бесконечное) открытое покрытие.

Пусть теперь π: Y → X -- плоский морфизм инд-схем, квазикомпактный в более сильном смысле из нулевого постинга этой серии. Тогда если схема X инд-нетерова (или инд-когерентная и ее замкнутые подсхемы квазикомпактны), то полупроизводная категорию квазикогерентных пучков кручения на Y относительно X определяется как факторкатегория гомотопической категории комплексов квазикогерентных пучков кручения на Y по полной подкатегории таких комплексов, что для любой открытой инд-подсхемы V ⊂ Y, которую π отображает аффинным морфизмом в открытую подсхему U ⊂ X, прямой образ ограничения этого комплекса V будет коацикличен как квазикогерентный пучок кручения на U.

Альтернативным образом, пусть π: Y → X -- плоский морфизм инд-схем, квазикомпактный в слабом смысле из того же постинга. Тогда полупроизводную категорию квазикогерентных пучков кручения на Y относительно X можно определить как факторкатегорию гомотопической категории комплексов квазикогерентных пучков кручения на Y по полной подкатегории комплексов, которые для любой квазикомпактной локально замкнутой подсхемы Z ⊂ X переводятся композицией функторов ограничения с носителем на открытую подсхему в Z ×X Y, аффинную над Z, и прямого образа при морфизме из этой подсхемы в Z в коацикличные комплексы квазикогерентных пучков на Z.

Эти рассуждения показывают, что определение полупроизводной категории квазикогерентных пучков кручения на инд-схеме, плоско и квазикомпактно расслоенной над другой инд-схемой, как таковое не представляет проблемы даже при довольно слабом определении квазикомпактности морфизма инд-схем. Хотя нужно отметить, что мы здесь ограничивались морфизмами со слоями-схемами; случай, когда в слое оказывается (допустим, слабо прорегулярная в каком-то там смысле) формальная схема, не рассматривался.

Похоже, что намного более серьезные трудности в полубесконечной алгебраической геометрии неаффинных морфизмов инд-схем π возникают при попытке построения плоских резольвент пучков в послойном направлении.

К предыдущему подзамочному

В целом ситуация такая. За последние семь-восемь лет (с осени 2006) было написано и (с лета 2007) обнародовано 12 текстов общей длиной почти 1300 страниц. Из них 7 текстов общей длиной почти 700 страниц были приняты к печати (5 с первой и 2 с третьей попытки) и к настоящему времени опубликованы в виде статей и книг, 5 текстов общей длиной почти 600 страниц остаются препринтами.

Опубликованные работы в целом покрывают результаты 1995-2003 годов (аспирантско-постдоковских лет), остававшиеся не записанными с той поры, а также 2006 -- весны 2010 годов, приблизительно. По лету 2010 проходит как раз рубеж, на котором основные результаты 95-03 годов оказались обнародованы в качестве препринтов и доступны на Архиве. Остающиеся сейчас неопубликованными препринты содержат результаты осени 2010 -- весны 2014 годов.

Все эти работы дополняют и развивают идеи, восходящие к 1990-94-99-2002 годам. Другими словами: я почти четверть века думал об одном и том же (ну, или 24 года об одном одном и том же и 20 лет о другом одном и том же), почти не публикуясь бОльшую часть этого времени; а то немногое, что я публиковал на эти темы, практически никто не читал, за исключением самых последних лет.

История остающихся пяти препринтов складывалась так: Collapse )

Профессиональное - I

1. Вчера или позавчера был ровно год с момента подачи моей статьи Coherent analogues of matrix factorizations... http://arxiv.org/abs/1102.0261 в журнал Algebra and Number Theory. Переписка с редакцией -- http://posic.livejournal.com/1087449.html

2. Предыдущий сопоставимый эпизод был с работой про когомологии Галуа числовых полей http://arxiv.org/abs/1008.0095 , поданной в Crelle's Journal 6 августа 2010 года. На мое письмо 20 марта 2011 с вопросом о статусе от редактора Marc Levine пришел ответ

"I am sorry that it has taken so long to reach a decision on your paper. Unfortunately, in spite of a number of reminders, I still do not have a report. I have just sent the referee one more reminder; if I do not hear anything in say a week I will send your paper out to another referee with a request for a speedy review."

На мой повторный инквест от 6 августа 2011 ответа не последовало. Под впечатлением, был написан (через три недели) этот постинг с "алгоритмом" -- http://posic.livejournal.com/649307.html

2 февраля 2012 года, без нескольких дней через полтора года после дня подачи, редактор прислал свое решение:

"I'm sorry that the refereeing process has taken so long. I tried for some time to get a response out of the referee, who had indeed agreed to write a report on your paper but then stopped communicating with me. I eventually did find another referee who recently sent in a report. However, in the end the recommendation was to not accept your paper for Crelle. Although the referee found that results in you paper are interesting and well worth publishing, there were questions as to the level of interest of these results at this stage in your program for those not directly involved in a study of Milnor K-theory. In addition, your paper did seem to be difficult to read; the referee has given some suggestions for improving the exposition. I therefore have decided not to accept your paper for publication in Crelle. I suggest that you take a look at the referee's report and try revising your manuscript following the suggestions contained therein. I think that if you submit your revised paper to a more specialized journal, you will find it easier to get it accepted for publication. I've attached the report for your reference."

Выдержка из рецензии + обсуждение в ЖЖ -- http://posic.livejournal.com/737789.html , и еще -- http://posic.livejournal.com/749726.html

3. Посланная впоследствии (20 апреля) в Israel Journal of Math. и там тоже отвергнутая (25 июня 2012, см. общую таблицу http://posic.livejournal.com/977937.html ), эта же работа с минимальными изменениями (несколько опечаток + конструкций фраз) была подана в ночь на 23 декабря 2013 года в Journal of Number Theory, где ее приняли к печати в исправленном виде в конце июня http://posic.livejournal.com/1075612.html -- и к настоящему времени уже издали электронно в декабрьском номере за 2014 год http://posic.livejournal.com/1076473.html , https://www.facebook.com/posic/posts/906055476075954

Таким образом, эта статья, принятая к печати в JNT после восьми отказов подряд, полученных из восьми редакций на три работы, посылавшиеся по кругу -- http://posic.livejournal.com/977937.html , http://posic.livejournal.com/1047300.html -- стала первой моей публикацией, вышедшей из печати в рецензируемом издании после лета-осени 2012 года (когда были напечатаны статьи в Trans. AMS http://arxiv.org/abs/1010.0982 и "Функциональном анализе" http://arxiv.org/abs/1007.5010 ).

4. Статья Coherent analogues... является в настоящее время единственной моей работой, поданной в редакцию. Это один из пяти моих недавних (декабрь 2010 -- июль 2014) архивных препринтов, суммарной длиной в почти 600 страниц, остающихся к сегодняшнему дню неопубликованными. Подача каких-либо из остальных четырех работ в печать не планируется и в целом маловероятна до получения ответа на эту длинную статью, с большим отрывом самую популярную (17 несамоцитирующих ссылок в базе данных NASA по Архиву http://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?arXiv:1102.0261 в настоящий момент) из пяти.

Все эти работы (включая и ту, что год лежит в редакции) воспринимаются сейчас как в разной мере недописанные. Две -- в очень существенной степени; еще в одну, отвергнутую уже четырьмя редакциями ( http://arxiv.org/abs/1012.3735 ), предполагается теперь вставка, опирающаяся на одну из тех двух (http://arxiv.org/abs/1404.5011 ). Последняя, в свою очередь, должна опираться отчасти на четвертую (http://arxiv.org/abs/1202.2697 ), которую можно было бы быстро довести до ума, но вряд ли стоит куда-либо подавать до получения ответа на ту, что год лежит в редакции.

Две темы - 2

Ср. http://posic.livejournal.com/630177.html

Индексы цитирования препринтов в Архиве, по базе NASA ADS (в скобках -- исключая самоцитирования):

1209.2995 [math.CT] -- 2 (0)
1202.2697 [math.CT] -- 3 (2)
1102.0261 [math.CT] -- 19 (16)
1012.3735 [math.KT] -- 1 (0)
1010.0982 [math.CT] -- 8 (6)
1008.0095 [math.KT] -- 2 (0)
1007.5010 [math.KT] -- 0 (0)
1006.4343 [math.KT] -- 6 (1)
0905.2621 [math.CT] -- 30 (24)
0803.3252 [math.QA] -- 1 (0)
0708.3398 [math.CT] -- 11 (4)
0209037 [math.KT] -- 1 (0)
0104114 [math.RT] -- 0 (0)
alg-geom/9507014 -- 1 (1)
alg-geom/9507010 -- 4 (0)

Согласно этим индексам, можно сказать, что есть два моих архивных препринта, привлекших заметное внимание других авторов, и еще один-два (на самом деле, скорее один, чем два...), привлеченное внимание к которым можно назвать отличимым от нуля. Характерно, что:

1. из двух наиболее цитируемых препринтов, один (более поздний), будучи отвергнут тремя редакциями, остается до сих пор не опубликованным (он подан сейчас в четвертую; самый цитируемый препринт был в свое время отвергнут двумя редакциями, прежде чем быть принятым третьей);
2. все четыре вышеупомянутых препринта, привлекших внимание, относятся к одной тематике (традиционно публикуемой у меня по разделу math.CT);
3. последние два (очень длинных, кстати -- 167 и 215 стр. в текущих версиях -- и до оба до сих пор не дописанных) препринта по этой тематике привлекают уже почти столь же мало внимания, сколько и тексты по второй тематике (math.KT), внимания никогда не привлекавшие.

Сравнение с другими данными позволяет предположить, что приведенная статистика, похоже, недооценивает влияние коротенького старинного препринта alg-geom/9507014 (в редакции журналов никогда не подававшегося). Это "спорадическая" работа по теме, на которую до и после нее писали многие авторы, но не я.

Справедливости ради, можно еще отметить, что наиболее популярная из моих работ по условной "тематике math.KT" ("Koszul property and Bogomolov's conjecture", IMRN-2005) никогда не была выложена в Архив (а доступна вместо этого в K-theory preprint archives, ныне уже почти переставшем функционировать).

Спалтенштейновщина в точных категориях - 2

Продолжение предыдущего постинга, обозначения которого сохраняются.

Лемма. Пусть B -- ограниченный сверху комплекс над F, а C -- комплекс над F, ацикличный над E. Тогда группа Hom(B,C) в производной категории D(F) равна нулю.

Доказательство: пусть имеется морфизм комплексов B → C; покажем, что он становится тривиальным в производной категории комплексов над F. Морфизм B → C факторизуется как B → A → C, где A -- каноническое обрезание комплекса C в подходящем месте (так что A является комплексом над E, причем ацикличным). Пусть G → A -- почленный E-допустимый эпиморфизм комплексов в A из ограниченного сверху ацикличного комплекса G над F (отметим, что в наших предположениях всякий E-ацикличный ограниченный сверху комплекс над F является и F-ацикличным).

Пусть K -- почленное расслоенное произведение комплексов G и B над комплексом A; тогда K → B -- почленный E-допустимый эпиморфизм и E-квазиизоморфизм. Пусть L → K -- почленный E-допустимый эпиморфизм и E-квазиизоморфизм комплексов в К из ограниченного сверху комплекса L над F. Тогда композиция L → K → B является почленно F-допустимым эпиморфизмом и F-квазиизоморфизмом ограниченных сверху комплексов над F. Теперь композиция L → B → C факторизуется через G, что доказывает искомое утверждение.

Теорема. Допустим, что в наших предположениях точная категория E на самом деле абелева. Пусть D(F)hf обозначает минимальную полную триангулированную подкатегорию в D(F), содержащую все ограниченные сверху комплексы и замкнутую относительно бесконечных прямых сумм. Тогда композиция триангулированных функторов D(F)hf → D(F) → D(E) является эквивалентностью категорий.

Доказательство: мы покажем, что во всякий комплекс над E бьет квазиизоморфизм из комплекса, принадлежащего D(F)hf. В частности, отсюда будет немедленно следовать, ввиду известной леммы 1.6 из Two kinds..., примененной к гомотопической категории Hot(E) с подкатегориями Hot(F) и Acycl(E), что D(E) эквивалентна локализации D(F) по толстой подкатегории E-ацикличных комплексов над F. Далее, согласно лемме выше, последняя подкатегория полуортогональна справа D(F)hf внутри D(F). Ввиду того же утверждения о существовании квазиизоморфизма, эти две подкатегории образуют полуортогональное разложение D(F), откуда желаемое утверждение немедленно вытекает.

Чтобы построить искомый квазиизоморфизм в комплекс C над E, рассмотрим все его подкомплексы канонического обрезания, и для каждого выберем почленно E-сюръективный E-кваизиизоморфизм в него из ограниченного комплекса над F. Возьмем прямую сумму B(0) всех построенных комплексов над F и рассмотрим естественный морфизм из нее в C. Это почленно сюръективный морфизм комплексов, действующий также сюръективно на всех объектах кограниц (заведомо), коциклов и когомологий (эквивалентным образом). Возьмем ядро этого морфизма комплексов, подставим на место C и применим ту же конструкцию, и так далее, бесконечно итерируя.

Мы построили точный комплекс комплексов ... → B(2) → B(1) → B(0) → С → 0, остающийся также точным при замене всех этих комплексов на их градуированные объекты когомологий (в абелевой категории E). Все комплексы B(i) принадлежат D(F)hf по построению. Остается показать, что тотализация бикомплекса B с помощью бесконечных прямых сумм тоже принадлежит D(F)hf и Е-квазиизоморфно отображается в C.

Тотализация бикомплекса B есть прямой предел тотализаций его подкомплексов глупой фильтрации B(n) → B(n−1) → ... → B(1) → B(0). Более этого, это прямой предел последовательсти комплексов и морфизмов между ними, являющихся в каждом члене комплексов вложениями прямого слагаемого. В любой аддитивной категории со счетными прямыми суммами, прямой предел последовательности вложений прямых слагаемых X0 → X1 → ... существует и включается в расщепимую точную тройку телескопа 0 → ⊕ Xn → ⊕ Xn → lim Xn → 0. В случае с тотализациями подкомплексов глупой фильтрации бикомплекса B, мы получаем почленно расщепимую точную тройку комплексов, в которой первые два члена суть прямые суммы тотализаций таких подкомплексов, а третий член есть тотализация всего бикомплекса B. Поэтому тотализацию бикомплекса B можно получить из комплексов B(n) с помощью операций итерированного конуса и перехода к счетной прямой сумме.

Рассмотрим теперь бикомплекс, полученный аугментированием бикомплекса B с помощью комплекса C, и напишем для него аналогичную расщепимую точную тройку комплексов. Перейдем к длинной точной последовательности когомологий этой точной тройки комплексов над абелевой категорией E. Морфизмы в этой длинной точной последовательности, индуцированные левым морфизмом в точной тройке комплексов, представляют собой дифференциал в двучленном комплексе для вычисления производного функтора прямого предела когомологий тотализаций подкомплексов глупой фильтрации нашего аугментированного бикомплекса с помощью конструкции телескопа. Из условий точности, наложенных на бикомплекс B, легко следует, что отображения в когомологиях, индуцированные вложениями соседних подкомплексов глупой фильтрации аугментированного комплекса, равны нулю. Поэтому дифференциал в двучленном телескопическом комплексе, вычисляющем прямой предел когомологий, является изоморфизмом по построению. Ввиду точности длинной последовательности, отсюда следует, что когомологии тотализации аугментированного бикомплекса зануляются. (Ср. Eilenberg-Moore, Limits and spectral sequences.)

Астрономия (личное)

http://nataly-demina.livejournal.com/1102689.html

Школьный курс физики я еще мог кое-как осмыслить, и даже химии. В чем я никогда не мог ничего понять, это в астрономии. Там Земля вращается вокруг своей оси, вращается вокруг Солнца, ось первого вращения наклонена к плоскости второго, с Солнцем тоже что-то там происходит, с Луной что-то происходит. У меня просто не хватало пространственного воображения, чтобы все это себе представить и сопоставить (типа, что в результате видит земной наблюдатель и т.д.) При взгляде в учебник астрономии я чувствовал себя Винни-Пухом, которого огорчают длинные слова. Ну, я конечно мог чего-то там выучить наизусть, написать контрольную, и тут же забыть, но это всякий может.

К знаменитой дискуссии о положении в науке

http://flying-bear.livejournal.com/625266.html

Почти банальное соображение: есть ощущение, что наблюдается стандартный цикл развития отрасли, получившей государственное финансирование. Последовательность развертывания событий такова. Вначале имеется новая или старая, но быстро развивающаяся область деятельности. В некоторый момент энтузиасты этого дела выбивают государственное финансирование для воплощения своих любимых задумок. В результате некоторое время происходит бурный рост, совершаются выдающиеся достижения. На место энтузиастов приходят широкие слои трудового народа. Они умеют делать то, что они умеют делать, но не обязательно хотят или могут научиться делать что-то существенно лучшее, а стимулов к отбору и внедрению инноваций в огосударствленной отрасли нет, как нет и механизмов. Эти люди не мыслят себя вне любимого дела и быстро учатся выдавать за заботу о процветании своей отрасли то, что на самом деле является заботой о своем личном процветании. На смену разговору о штурме сияющих вершин приходит разговор о сохранении накопленного потенциала. То, что было когда-то передовой отраслью, постепенно превращается в разновидность собеса, со временем все более откровенного. Бурный прогресс сменяется стагнацией, потом деградацией.

Хороший пример -- космическая отрасль. Пилотируемые полеты и высадка на Луне были, разумеется, выдающимися достижениями. Нынешнее состояние NASA и т.д. люди, далекие от космонавтики, справедливо воспринимают как вполне жалкое. Нынешнее состояние РАН воспринимают так и люди, там непосредственно работающие. В Америке фундаментальная наука была огосударствлена в меньшей степени, чем космическая отрасль, соответственно, и разрушительный эффект не настолько велик. Если реакцией на нынешнее замедление прогресса в науке станет увеличение госфинансирования, можно ожидать, что через полвека или век ситуация в фундаментальной науке во всем мире будет отчасти напоминать нынешние NASA и РАН.