Category: история

Тридцать лет спустя

Наш проект по приложениям контрамодулей к гипотезе Енокса восходит к январю-февралю 2018 года. Три или четыре архивных препринта были обнародованы с лета 2018 по осень 2019 года в рамках этого проекта.

Проект по приложениям контрамодулей к гипотезе Енокса вырос из проекта по контрамодулям в теории наклонов, который восходит к январю 2016 года. Тот проект, в свою очередь, вырос из статьи про теории кокручения в локально представимых абелевых категориях, написанной осенью 2015 года. Та статья решала задачу, над которой я начал размышлять в 2012-13 годах, она нужна была мне для построения контрагерентных копучков контрамодулей.

Понятие контрагерентного копучка я придумал в апреле 2012 после трех лет размышлений; постановка задачи восходит к весне 2009 года. Задача эта возникла из поиска максимальной естественной общности для конструкции контрапроизводной категории, которую я придумал в марте-апреле 1999 года (термина тогда не было, слово такое появилось только во второй половине 00-х годов). Конструкции копроизводных и контрапроизводных категорий решали задачу, над которой я размышлял с 1992 года. Задачу эту мне подсказали как естественно возникающую в контексте моей конструкции неоднородной кошулевой двойственности, которая была придумана где-то весной 1990 года, мне кажется.

Весной 1990 года мне было 17 лет. Осенью 2019 года мне 46 с половиной лет. Первые сколько-нибудь впечатляющие результаты по приложениям контрамодулей к гипотезе Енокса появились вот только что, в ноябре 2019 года.

Четверть века назад

а точнее сказать, в середине сентября 1994 года, я впервые в жизни пересек границу бывш. СССР, а точнее сказать, пространства, занимаемого территориями европейской части России и Украины. Направлялся я в США, где провел осенний семестр 94-95 учебного года -- три с половиной месяца, до конца декабря.

Служил я там визитором математического департамента Гарвардского университета на каком-то гранте для русских (или бывш. советских) ученых. Мне заплатили гигантские не только по моим тогдашним, но даже и по нынешним меркам деньги (что кажется особенно невероятным, если учесть, что у меня тогда даже не было степени Ph.D., которую я получил только в 1998), я съездил к друзьям и родственникам в Юту и в Калифорнию, и мы с Сашей В. сделали вот эту работу -- https://www.intlpress.com/site/pub/pages/journals/items/mrl/content/vols/0002/0006/a008/

А непосредственно перед отъездом в Штаты, на рубеже августа-сентября 1994 в Москве, я, напрягшись в русле приведения мыслей в порядок для подготовки к поездке, сделал эту работу -- https://arxiv.org/abs/alg-geom/9507014 . Я точно помню, когда это было, поскольку у меня осталось отчетливое воспоминание, что в процессе размышлений у меня очень сильно болела голова -- до такой степени, что я не смог, как тогда собирался, придти 1 сентября к 57-й школе.

Вернувшись в Москву на Новый год, я потерял чуть ли не месяц в неработоспособном состоянии из-за джетлага (с непривычки). Зато я привез себе домой из Америки новенький лазерный принтер Панасоник (так, кажется) -- в дополнение к компьютеру 486 DLC, который у меня был еще с начала 94 года. Потом я провел несколько весенне-летних месяцев, осваивая понятие точной категории, которое было мне нужно, чтобы заниматься мотивами с конечными коэффициентами (естественным продолжением сюжета работы с Сашей В., сделанной в Бостоне). А в сентябре 95 приехал в Гарвард снова -- на этот раз, уже в аспирантуру.

Будущее как отраженное прошлое

Лето 2018 года в основном закончилось в июле 2019. Вообще, от 2018 уже не так много осталось, не считая поздней осени. Лето 2016 подходит к концу, и вместе с ним осень 2017. Да и весь вообще 2016 год уже во многом завершился к исходу лета 2019. С 2014 годом было покончено еще в 2018 году.

Весну 2015 я пытаюсь закончить сейчас. Потом -- несколько неожиданно -- на очередь должен встать 1992 год, за давностью лет не вспомнить уже, какой сезон. Следом идет весна 2017, это большое дело. И самый важный кусок работы -- 2012 год.

Такова сегодня структура моих планов на будущее: они целиком укоренены в прошлом.

Совершенные кольца

Весной 1999 года, придумав определение того, что стало потом называться контрапроизводной категорией, я задался самым естественным, как тогда казалось, в этом контексте вопросом: над какими кольцами бесконечные произведения проективных модулей являются проективными модулями? Я пошел в библиотеку IAS и обнаружил, что вопрос этот распадается на самом деле на два.

Во-первых, над какими кольцами бесконечные произведения плоских модулей плоски? Ответ на этот вопрос дается в статье Чейза 1960 года: такие кольца называются когерентными. Для того, чтобы произведения плоских левых R-модулей были плоски, необходимо и достаточно, чтобы кольцо R было когерентно справа (т.е., всякий конечно порожденный правый идеал был конечно представим).

Во-вторых, над какими кольцами все плоские модули проективны? Ответ на этот вопрос дается в статье Басса 1960 года: такие кольца называются совершенными. Все плоские левые R-модули проективны тогда и только тогда, когда всякий левый R-модуль имеет проективное покрытие (это двойственное понятие к инъективной оболочке), тогда и только тогда, когда все убывающие цепочки главных правых идеалов стабилизируются; в этом случае говорят, что кольцо R совершенно слева.

Из предыдущих двух абзацев ясно, что над всяким когерентным справа и совершенным слева кольцом бесконечные произведения проективных модулей проективны. Верно ли обратное? В статье Чейза доказывается, что ответ на этот вопрос положительный.

Выяснив все это весной 1999, я пришел к выводу, что типичными примерами колец, над которыми произведения проективных левых модулей проективны, являются артиновы справа кольца: они и совершенны с обеих сторон, и когерентны справа. Других примеров в общем-то почти и нет (думал я тогда): класс совершенных колец довольно узкий, там не развернешься. Открытие это было довольно огорчительным, но ничего не поделаешь.

Прошло три года. Летом 2002 я размышлял о том, как построить теорию полубесконечных гомологий и когомологий того, что стало потом называться полуассоциативными полуалгебрами над коалгебрами над полями. Теория эта должна была включать триангулированную эквивалентность между тем, что теперь называется полупроизводными категориями полумодулей и полуконтрамодулей. Доказательство этой эквивалентности требовало некоторой конструкции резольвент.

Вопрос уперся в то, что нужно было обобщить на бесконечномерные коалгебры частный случай теоремы Басса: плоский модуль над конечномерной алгеброй проективен. Требовалось доказать, что контраплоский контрамодуль над произвольной коалгеброй проективен. Доказательство этого мне придумать тогда не удалось. В том, что стало называться моими "летними письмами 2002 года о полубесконечной гомологической алгебре" построение этого куска теории было намечено по модулю соответствующей гипотезы.

Прошло еще почти четыре года, и весной 2006 я вернулся к этому вопросу. К счастью, у меня был тогда доступ в библиотеку Стекловки, куда я и направился снова читать статью Басса. Необходимое доказательство было построено и вошло в монографию по полубесконечной гомологической алгебре, которая вышла из печати еще через четыре года, осенью 2010.

Тем временем, весной 2009 я сообразил, что для целей контрапроизводной категории не обязательно нужно, чтобы произведения проективных модулей были проективны, а достаточно, чтобы произведения проективных модулей имели конечную проективную размерность. Например, нередко бывает, что произведения проективных модулей плоски (т.е., кольцо когерентно) и плоские модули имеют конечную проективную размерность. В частности, нетеровы коммутативные кольца конечной размерности Крулля обладают этим последним свойством. То есть, собственно, для изначальной цели 1999 года совершенные кольца как бы даже и не очень нужны.

На дворе лето 2019. Я по-прежнему размышляю и пишу про совершенные кольца (почти совершенные кольца, просовершенные кольца, топологически совершенные кольца, локально совершенные кольца...) и по-прежнему ссылаюсь на статью Басса. Пора б уж и перестать? Не знаю, возможно. Но всему свое время. Двадцать лет назад совершенные кольца казались мне экзотическим сюжетом. Сегодня я вижу, что в теории колец и модулей они возникают повсюду.

Двадцать семь месяцев назад

Первая журнальная статья, в которой вводится и изучается определение контрамодуля над топологическим кольцом, была принята к печати в Journal of Algebra в начале марта 2017 года, и вышла из печати во второй половине апреля.

Всего два года и три месяца прошли с тех пор. К настоящему моменту, еще две работы, поднимающие эту тему -- одна из них, можно сказать, прямо-таки главным образом на эту тему -- опубликованы в электронном виде на сайтах журналов в ожидании окончательного выхода из печати. Один мемуар, вышедший из печати в этом году, можно с оговорками добавить к этому списку.

Плюс полубесконечная монография, конечно, в которой это определение впервые появилось в замечании. Плюс еще одна опубликованная статья, в которой сюжет затрагивается совсем уж по касательной. Плюс небольшое количество архивных препринтов, где-то четыре-пять штук примерно.

Может показаться, что я только и пишу про контрамодули, и это довольно верно, но контрамодули бывают разные. Контрамодули в коммутативной алгебре -- немного другой сюжет, хотя и связанный. Контрамодули над коалгебрами и кокольцами, и полуконтрамодули над полуалгебрами -- тоже немного другой сюжет (частный случай).

Всего два года назад! При этом я размышляю и пишу про контрамодули с 2000 года, и даже определение контрамодуля над топологическим кольцом появилось еще в 2007-08 годах. Отсюда видно, как медленно развивается процесс. При том, что пишу я в последние 10-12 лет довольно много.

Все еще впереди!

К предыдущему

Мне думается, что эта ситуация имеет две полярные интерпретации. Самая оптимистическая состоит в том, что я просто опережаю свое время.

Книжка про квадратичные алгебры была в основном написана к концу лета 1996 года, но опубликована она была только в 2005 году. Почему именно в 2005? Потому, что к тому времени предмет приобрел достаточную популярность, чтобы рукописью заинтересовалось издательство Американского матобщества.

Работа про производные категории второго рода была в основном сделана весной 1999 года, но препринт был написан только весной 2009. Почему именно тогда? По разным причинам; но начать можно с того, что сама терминология "копроизводные категории" появилась только году в 2004. В той терминологии, которой я пользовался с 1999 года, текст на эту тему вышел бы гораздо тяжелее и неуклюжее. В этом могла состоять одна из причин, по которым я не решился тогда об этом писать.

Еще год или два прошло, пока я узнал о появлении этих слов, которые не умел придумать сам -- после чего сначала была написана толстая монография по полубесконечной гомологической алгебре, где использовалась опиравшаяся на этот способ словообразования терминологическая система -- а там уж и ставший теперь относительно популярным мемуар. При этом популярностью своей он обязан, прежде всего, приложениям к матричным факторизациям, ставшим актуальными к 2009-10 годам.

***

Условно говоря, жизнь каждого человека делится на две части -- в первой он живет в предположении, что самое главное в его жизни еще впереди, во второй -- что главное уже позади. В моей жизни водораздел пришелся на 2004-06 годы. После второй половины 00-х годов мне уже не хотелось откладывать до лучших времен публикацию того, что я считал важными результатами. Откуда я знаю, доживу ли я до этих лучших времен?

Соответственно, с осени 2010 года, после исчерпания бэклога накопившихся за предшествующие пятнадцать лет идей и работ, хранившихся у меня в голове -- новые работы записывались и обнародовались немедленно, "с колес". Может быть, именно поэтому тексты про контрамодули не очень популярны пока что? Может быть, лет через десять настанет их время?

***

Самая пессимистическая интерпретация состоит в том, что меня просто отталкивает популярность и социальные издержки, с ней связанные -- как в смысле тех компромиссов, на которые обычно идут люди для ее достижения, так и в смысле социальных последствий, которые она за собой влечет. Соответственно, я предпочитаю работать в "недооцененных" областях -- а когда такая область начинает входить в моду, я ухожу оттуда в какую-нибудь еще более недооцененную область.

В результате, я готов много писать про контрамодули именно потому, что они непопулярны -- и на мой взгляд, совершенно неадекватно, несправедливо непопулярны. Написание новых текстов про контрамодули становится формой протеста против того обращения, которому подверглись предыдущие тексты про контрамодули, плюс я как их автор и т.д. По мере того, как контрамодули начинают, сколь угодно медленно и трудно, но все-таки входить в какой-то оборот, моя мотивация уменьшается.

Упражнение по линейной алгебре и теории множеств

Пусть X -- бесконечное множество и k -- поле. Докажите, что k-векторное пространство всех функций из X в k имеет размерность, равную мощности множества всех функций X → k. Другими словами, существует линейно независимое над k множество функций из X в k, мощность которого равна мощности множества всех функций X → k.

Краткая автобиография

Первую половину жизни я думал, что есть на свете вещи поважнее отношений власти во взаимодействиях между частными лицами. Последствия этого заблуждения оказались настолько тяжелыми, что всю вторую половину жизни мне пришлось с ними разбираться.

P.S. Вышесказанное не следует понимать в том смысле, что я был наивен и считал, что это неважный вопрос. Я не был наивен и хорошо осознавал, что вопрос это имеет немалое значение. Но я был легкомыслен и полагал, именно, что есть более важные вопросы. Пока не оказался надолго в положении, когда вопрос этот стал если не сингулярно самым важным, то уж точно входящим в очень короткий список важнейших вопросов.