Category: история

Category was added automatically. Read all entries about "история".

Publications by Year

Воспользовавшись переходом сервиса Zentralblatt в открытый доступ (ура!), можно дать ссылку:

https://zbmath.org/authors/?q=ai%3Apositselski.leonid

Диаграмма Publications by Year дает представление о моей, с позволения сказать, академической карьере, в ее библиографическом аспекте. (Дисклеймер: в данные Zb вкралась ошибка -- один случай двойного счета. На самом деле, в 1991 году у меня была только одна работа -- русский оригинал заметки и ее английский перевод засчитаны почему-то за две разные публикации.)

Вот данные, очищенные от этой ошибки

Годы -- число публикаций

1991 -- 1
1992 -- 0
1993 -- 1
1994 -- 0
1995 -- 2
1996-01 -- 0
2002 -- 1
2003-04 -- 0
2005 -- 3
2006-09 -- 0
2010 -- 2
2011 -- 2
2012 -- 2
2013 -- 0
2014 -- 1
2015 -- 2
2016 -- 1
2017 -- 4
2018 -- 5
2019 -- 5
2020 -- 6

P.S. Диаграмма Citations by Year тоже дает представление -- двузначное количество цитирований в год начинается с 2010 года (при первой публикации в 1991 году).

Relative nonhomogeneous Koszul duality

Девятая версия, с добавленными ссылками -- https://arxiv.org/abs/1911.07402 . Ровно год назад, в день моего приезда в Падую в ноябре 2019, на Архиве появилась первая версия.

Ну все, все. Эта книжка написана, написана.

Эх, где мои 19-20 лет? Двадцать восемь лет назад, в начале ноября 1992 года, я отнес в редакцию мою первую работу на эту тему. То была тоже неоднородная квадратичная/кошулева двойственность, но не относительная, а над полем, и не производная -- http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=faa&paperid=712&option_lang=rus Весь мир вокруг переменился, а я все о том же. Но старинное, 1993-07 годов, обещание теперь выполнено.

Некоммутативные дифференциальные формы

Я прочитал о них в каком-то тексте по-русски про Алена Конна и некоммутативную геометрию в 1992 году примерно, и решил, что это интересный пример относительной неоднородной квадратичной двойственности. Двойственности с чем? Чему двойственны дифференциальные формы? Дифференциальным операторам. А что такое дифференциальные операторы на некоммутативном кольце? Вот то-то и оно-то.

Двадцать восемь лет прошло, настало мне время писать об этом. А я даже не знаю, на что сослаться. Кому принадлежит конструкция некоммутативных дифференциальных форм, где о них написано? Впрочем, у меня вся глава "Примеры" получилась такая. Многие детали разжеваны, и совсем без внешних ссылок, как будто это учебник. Потом когда-нибудь, может быть, добавлю ссылки.

Ключевыми понятиями

моей "пропущенной классиками половины алгебры" являются:

1. CDG-кольца и другие дифференциальные алгебраические структуры с кривизной (CDG-коалгебры, искривленные А-бесконечность (ко)алгебры) и модули над ними;

2. производные категории второго рода (копроизводные, контрапроизводные и абсолютные производные категории);

3. контрамодули и контрагерентные копучки;

4. относительные и смешанные конструкции на основе вышеперечисленного (полуалгебры, полумодули и полуконтрамодули; полупроизводные категории).

CDG-кольца появились в моей студенческой работе 1993 года, в контексте неоднородной квадратичной двойственности. Потом они подробно обсуждались в книжке про квадратичные алгебры, вышедшей из печати в 2005 году. Тем очень умеренным и относительным, но все же признанием, которым сейчас пользуются искривленные алгебраические структуры, они обязаны матричным факторизациям.

Матричные факторизации впервые появились в статье Эйзенбада 1980 года, но популярность приобрели после того, как оказались востребованы (очень математизированными) физиками в 00-х годах. Я узнал об их существовании где-то около 2008-09 годов. Для меня матричные факторизации всегда оставались очень специальным частным случаем CDG-модулей, настолько, что мне казалось неловко специально на них останавливаться. Но все же я написал про них две работы (задачи про матричные факторизации как стимулы для развития общей теории оказались очень неплохи).

Искривленные А-бесконечность алгебры и категории также появляются в современной матфизике в контексте категорий Фукаи (о чем я тоже написал длинный текст, подчеркивающий важность условия слабой кривизны и объясняющий, как им пользоваться). Так или иначе, самое позднее, к 2012-13 годам уже можно было считать, что CDG-кольца не нуждаются в моих дальнейших усилиях по их популяризации.

Производные категории второго рода я придумал в марте-апреле 1999 года. Важность контрамодулей над коалгебрами, кокольцами и полуалгебрами была осознана летом 2000 года. Идея комодульно-контрамодульного соответствия восходит к 2000-02 годам. Но первые мои архивные препринты на все эти темы были обнародованы только в 2007-09. Определение контрамодуля над топологическим кольцом появилось в 2007-08 годах; контрагерентные копучки родились на свет в 2012.

Главной целью написания моих вышеупомянутых работ про матричные факторизации в 2010-11 годах была популяризация производных категорий второго рода (копроизводных и абсолютных производных категорий). В целом похоже, что это сработало.

Основным направлением моей деятельности в 2015-19 годах стала популяризация контрамодулей и ко-контра соответствия -- поиск приложений и связей с разными алгебраическими сюжетами. На нынешний момент можно сказать, что в этом направлении многое удалось сделать (намного больше в обозримой перспективе вряд ли получится). Кроме того, появились на свет псевдопроизводные (т.е. псевдо-копроизводные и псевдо-контрапроизводные) категории и проч.

Построение пар кокручения в категориях контрамодулей (2013-15) и доказательство очень плоской гипотезы (2017) прокладывают дорогу для теории контрагерентных копучков.

Еще к предыдущему

На самом деле я думаю, что такая стратегия в руках способного человека может быть вполне эффективной в очень длинной перспективе. Скажем, зачем нужно, чтобы лучшие из моих работ публиковались в лучших журналах, нежели менее важные работы? Ответ очевиден -- чтобы, когда кто-нибудь захочет почитать какую-нибудь из моих статей (скажем, определенного периода), то ткнув пальцем в бросающееся в глаза название относительно приличного журнала, он выбрал работу, в большей степени заслуживающую внимания.

<...> Сначала нужно
научиться терять, нежели приобретать,
ненавидеть себя более, чем тирана,
годами выкладывать за комнату половину
ничтожного жалованья – прежде, чем рассуждать
о торжестве справедливости. Которое наступает
всегда с опозданием минимум в четверть века.

Важнейшая из моих ранних работ вышла из печати в 1993 году; мне было 20 лет. Четверть века спустя, в 2018, меня взяли на работу в Математический институт в Праге. Важнейшая из всех моих работ вышла из печати в 2010 году. Следуя этой предположительной закономерности, если я доживу до 2035 года -- что сомнительно, но не исключено (мне будет 62) -- я могу еще увидеть какое-то прижизненное признание моих идей.

Почему так долго (эпилог)

Цифра "15 лет" условная. Да, действительно, от постановки задачи о смешанных мотивах Артина-Тейта с конечными коэффициентами (около 1995) до ее решения (февраль-март 2010) прошло примерно 15 лет. Но это не самая важная из моих работ, скорее смахивающая на неудачу -- надежды, которые я возлагал на эту задачу, в общем, не оправдались. Ничего действительно важного из ее решения (пока что) не выросло.

От постановки задачи о кошулевости когомологий Галуа числовых полей (мы долго обсуждали ее с Сашей В. осенью 1995) до обнародования моего препринта (июль-август 2010) тоже прошло примерно 15 лет. Но эта задача просто не казалась мне входящей в число самых важных. Грубо говоря, я был занят чем-то другим, и у меня много лет руки не доходили додумать и записать решение.

В то же время, важнейшими моими результатами стали производная неоднородная кошулева двойственность (постановка задачи около 1992, решение найдено в марте-апреле 99) и полубесконечная гомологическая алгебра (постановка задачи около 95, ключевые идеи решения -- лето 2000 и лето 2002). Долгие годы, но все же не пятнадцать лет. Почему же эти работы вышли из печати только в 2010-11?

Короткий ответ состоит в том, что в обоих случаях подробно написанное решение задачи представляет собой текст длиной в книгу (130 и 370 страниц, соответственно). А книги не пишутся в одночасье.

Во-первых, писать книги надо уметь. Я не родился с этим умением, а встав перед необходимостью излагать мои математические идеи в текстах такого размера, провел много лет, просто разрабатывая умение писать.

Скажем, эта серия из четырех блог-постингов есть тоже некий (относительно) связный текст (относительно) ненулевого размера. Двадцать лет назад я не мог и не смог бы написать ничего подобного, а теперь это для меня вполне посильная, несложная задача.

Во-вторых, ни в 1999, ни в 2002 году просто не было языка, на котором написаны эти книги. Там сложная терминологическая система (основанная, в частности, на систематическом использовании префиксов "ко", "контра" и "полу"), которую мне не удавалось самому придумать, пока я не нашел подсказку в работе другого, старшего математика. Увидев эту работу и это терминологическое решение, я понял, что задача написания моих текстов переходит в более практическую плоскость.

Ну, и кроме того, есть расстояние между общим пониманием ключевых идей и разработкой технических деталей формулировок теорем и доказательств. В случае с полубесконечной гомологической алгеброй, это расстояние было очень ощутимым, и необходимые детали были доработаны только где-то к лету 2007 года.

Будущее в тумане (начало серии постингов)

В начале 90-х годов я был студентом-старшекурсником мехмата МГУ. Отношения мои с этим небогоугодным заведением состояли в том, что оно предоставляло мне защиту от призыва в армию в настоящем и отчасти будущем времени, требуя взамен, чтобы я просыпался каждый понедельник в шесть утра и ехал отбывать номер на занятии по физкультуре. Отбытие номера имело такой вид, что я медленным шагом расхаживал взад-вперед по площадке, стремясь по возможности уклоняться от попадания в меня мячом, которым другие студенты на этой площадке играли в футбол.

В семь часов вечера в понедельник я с больной после "физкультуры" -- т.е., в смысле, бессонной или почти бессонной ночи -- головой приходил на семинар "имени Гельфанда", которым (за отсутствием уехавшего в Ратгерс И.М. Гельфанда) руководил А.Н.Р. На семинар этот я начал ходить школьником выпускного класса; тогда Гельфанд еще жил в Москве и проводил свой семинар сам.

По другим дням недели, я иногда занимался научной работой. Заметку про доказательство гипотезы Гивенталя о формулах Плюккера я отнес в редакцию "Функционального анализа" в мае 1990 года, статью про неоднородную квадратичную двойственность и кривизну -- в ноябре 92, заметку с контрпримером, показывающим, что формула Фрёберга не влечет кошулевость -- в феврале 94. В марте 94 мне исполнился 21 год.

Голубой мечтой моей об те годы было доказать рациональность рядов Гильберта кошулевых алгебр. Вопрос этот открыт до сих пор. Постепенно нарисовалась и вторая мечта -- построить производную неоднородную кошулеву двойственность. Ее удалось осуществить весной 1999, в год моего первого постдока в Штатах. Еще десять лет ушло на то, чтобы записать это решение -- препринт появился только весной 2009, мемуар вышел из печати в 2011.

Кроме того, занимался я в начале 90-х и неформальным преподаванием. В Главном Здании (где располагался мехмат) было трудно найти свободную аудиторию, поэтому мы обычно собирались в корпусе, где были ВМК и экономфак, и шли искать свободную комнату с доской и мелом там. Не все мои тогдашние преподавательские проекты были удачны, но некоторые были. В 1990-91 учебном году мы разбирали теорему Атьи-Зингера об индексе для операторов Дирака по книжке Гетцлера-Берлин-Вернь, в 1991-92 годах -- локальную и глобальную теорию полей классов по сборнику Касселса-Фрёлиха.

Как можно догадаться из вышеописанного, я бывал об те времена частенько в грустном настроении, и со мной из сочувствия беседовал добрый А.Н.Р. В частности, он предлагал мне представить себе, как я буду жить через пять лет. Я отвечал, что это совершенно невозможно, даже и на год вперед почти полный туман. А.Н. возражал, что на самом деле это не так уж трудно, и в особенности с годами будет становиться легче. У человека чуть постарше обычно уже есть перед глазами картина вероятного будущего.

Наверно, лучше бы я оказался неправ по существу этого спора. Но применительно лично ко мне ошибался А.Н.Р. В каком-нибудь 1992 году действительно невозможно было себе представить, что меня ждет в 1997. Но и в 2002 было столь же невозможно вообразить, как будет устроена моя жизнь в 2007. Да и в 2012 году никакой силой нельзя было догадаться, как я буду жить в 2017.

На дворе лето 2020, мне уже 47. У меня в ящике лежит свеженькая бумажка hosting agreement, по которой мой институт как бы договорился со мной о моем трудоустройстве на пять лет вперед. Вид на жительство в Чехии истекает в конце августа, но это (допустим) мелкая деталь -- можно ожидать, что мне его продлят. Впервые в жизни у меня есть некая разновидность трудового соглашения на пять лет вперед вне России, в стране условного Запада.

Делает ли это мою жизнь в какой-то мере предсказуемой на пять лет вперед? Впервые в жизни, я не отвечу на этот вопрос твердым "нет". Я скажу "не знаю".

Математический арбитраж

Препринт arXiv:1807.12345. Раздел "1. Предварительные сведения", подраздел 1.10.

"Замечание 1.15. В статье И.И. Иванова [Ив08], в третьем абзаце на седьмой странице, можно видеть утверждение <...>. Это утверждение неверно. Контрпример можно найти в книге П.П. Петрова [Пе96], теорема 54.32.10 на странице 765."

К предыдущему

Между прочим, это некоторый рубеж. В каком-то смысле он был достигнут еще в ноябре -- но тогда прошел незамеченным в предотъездной суете (первая версия препринта появилась на Архиве в ночь моего отъезда в Падую). В каком-то другом смысле можно сказать, что он был достигнут неделю назад. Но мы скажем, что он достигнут сейчас.

С появлением сегодняшней версии этого препринта, все существенные, важные мои результаты предшествующих лет -- и прежде всего, ранние (1992 года, 2002 года и т.д.) -- обнародованы и публично доступны.

Неоднородная кошулева двойственность

Мой интерес к заданию алгебраических структур образующими и соотношениями восходит к школьным годам, 1986-87, наверно. Где-то в начале 1990 года, насколько помнится, я начал размышлять про неоднородные квадратичные соотношения. К лету 1990, кажется, я уже значительно продвинулся и понимал разные вещи. Было мне тогда 17 лет.

На дворе поздняя весна 2020. Тридцать лет прошло; я опять пишу про неоднородную кошулеву двойственность. Вполне вероятно, что этот текст, отражающий накопленный за десятилетия опыт, будет последней моей работой на эту тему. По крайней мере, на ближайшие годы у меня в планах стоят другие вещи.

Хотя можно было бы еще написать про что-то вроде D-Omega двойственности в смеси с ко-контра соответствием над неаффинным многообразием, с квазикогерентными D-модулями "на комодульной стороне" и контрагерентными копучками D-модулей "на контрамодульной". Скажем, в виде приложения к книжке про контрагерентные копучки, когда-если она будет написана, или типа того.

Кажущийся почему-то релевантным автобиографический постинг почти двухмесячной давности -- https://posic.livejournal.com/2101162.html