Category: история

Category was added automatically. Read all entries about "история".

Взаимная ассоциативность котензорного и контратензорного произведения!

Или даже просто котензорного и тензорного произведения! Я начал писать об этом (в математических письмах) летом 2000 года, потом написал в книжке, обзоре, и до сих пор продолжаю. Мне кажется, что сюжет этот, технически важный для полубесконечной гомологической алгебры, за двадцать лет не приблизился к мейнстриму ни на шаг, несмотря на все мои усилия. Останусь ли я первым и последним математиком, что-нибудь про это понимавшим?

С точки зрения специалиста по коалгебрам

Почти всему моему научному творчеству после 2006 года (местами и с 1994 года) можно предпослать подзаголовок "алгебра с точки зрения специалиста по коалгебрам". Примеры, связанные с коалгебрами и полуалгебрами, занимают заметное место в моих текстах последних лет.

Эти примеры вообще нужны? Коалгебры кого-нибудь интересуют? На какого читателя это рассчитано? Если меня спросят, мол, мотивация твоя непонятна, нельзя ли пояснить -- а я объясню, что мотивацией является перенести какие-то там конструкции с коалгебр и полуалгебр на алгебраические многообразия -- это будет воспринято примерно как? Как злая, издевательская или неуместная шутка?

Посчитал статистику цитирований в разбивке по периодам и тематике

11 лет назад, в конце февраля 2010, я начал записывать эти наблюдения. Это мне было тогда без малого 37 лет, дата первой публикации 1991 год.

Тогда, в феврале 2010, было (по базе MathSciNet) количество публикаций 8, индекс Хирша 3, общее число ссылок 64, из них несамоцитирующих 58 или около того, ссылающихся авторов 60.

5.5 лет назад, в августе 2015, было количество публикаций 16, индекс Хирша 6, общее число ссылок 222, из них несамоцитирующих 195, ссылающихся авторов 203.

Сегодня количество публикаций 39, индекс Хирша 12, общее число ссылок 592, из них несамоцитирующих 425, ссылающихся авторов 391.

На самую цитируемую из ранних работ (статью 1993 года) сегодня 29 несамоцитирующих ссылок. На 22 позднейшие публикации (2016-21 годов выхода из печати) в сумме 18 несамоцитирующих ссылок.

На самую цитируемую работу (книжку 2005 года) сегодня 223 несамоцитирующие ссылки. На 9 работ 1995-2018 годов, которые можно отнести к тематике "группы Галуа и мотивы", в сумме 30 несамоцитирующих ссылок.

Наверно, это где-то правильно. Ранние идеи должны быть популярнее, чем поздние. И тематики должны быть как популярные, так и не очень.

Роковая ошибка

была допущена дважды: в декабре 1994 и в сентябре 1999. Незаслуженно страдают сегодня только те, кто либо в резкой форме возражали тогда, либо были слишком малы, чтобы возражать.

Publications by Year

Воспользовавшись переходом сервиса Zentralblatt в открытый доступ (ура!), можно дать ссылку:

https://zbmath.org/authors/?q=ai%3Apositselski.leonid

Диаграмма Publications by Year дает представление о моей, с позволения сказать, академической карьере, в ее библиографическом аспекте. (Дисклеймер: в данные Zb вкралась ошибка -- один случай двойного счета. На самом деле, в 1991 году у меня была только одна работа -- русский оригинал заметки и ее английский перевод засчитаны почему-то за две разные публикации.)

Вот данные, очищенные от этой ошибки

Годы -- число публикаций

1991 -- 1
1992 -- 0
1993 -- 1
1994 -- 0
1995 -- 2
1996-01 -- 0
2002 -- 1
2003-04 -- 0
2005 -- 3
2006-09 -- 0
2010 -- 2
2011 -- 2
2012 -- 2
2013 -- 0
2014 -- 1
2015 -- 2
2016 -- 1
2017 -- 4
2018 -- 5
2019 -- 5
2020 -- 6

P.S. Диаграмма Citations by Year тоже дает представление -- двузначное количество цитирований в год начинается с 2010 года (при первой публикации в 1991 году).

Relative nonhomogeneous Koszul duality

Девятая версия, с добавленными ссылками -- https://arxiv.org/abs/1911.07402 . Ровно год назад, в день моего приезда в Падую в ноябре 2019, на Архиве появилась первая версия.

Ну все, все. Эта книжка написана, написана.

Эх, где мои 19-20 лет? Двадцать восемь лет назад, в начале ноября 1992 года, я отнес в редакцию мою первую работу на эту тему. То была тоже неоднородная квадратичная/кошулева двойственность, но не относительная, а над полем, и не производная -- http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=faa&paperid=712&option_lang=rus Весь мир вокруг переменился, а я все о том же. Но старинное, 1993-07 годов, обещание теперь выполнено.

Некоммутативные дифференциальные формы

Я прочитал о них в каком-то тексте по-русски про Алена Конна и некоммутативную геометрию в 1992 году примерно, и решил, что это интересный пример относительной неоднородной квадратичной двойственности. Двойственности с чем? Чему двойственны дифференциальные формы? Дифференциальным операторам. А что такое дифференциальные операторы на некоммутативном кольце? Вот то-то и оно-то.

Двадцать восемь лет прошло, настало мне время писать об этом. А я даже не знаю, на что сослаться. Кому принадлежит конструкция некоммутативных дифференциальных форм, где о них написано? Впрочем, у меня вся глава "Примеры" получилась такая. Многие детали разжеваны, и совсем без внешних ссылок, как будто это учебник. Потом когда-нибудь, может быть, добавлю ссылки.

Ключевыми понятиями

моей "пропущенной классиками половины алгебры" являются:

1. CDG-кольца и другие дифференциальные алгебраические структуры с кривизной (CDG-коалгебры, искривленные А-бесконечность (ко)алгебры) и модули над ними;

2. производные категории второго рода (копроизводные, контрапроизводные и абсолютные производные категории);

3. контрамодули и контрагерентные копучки;

4. относительные и смешанные конструкции на основе вышеперечисленного (полуалгебры, полумодули и полуконтрамодули; полупроизводные категории).

CDG-кольца появились в моей студенческой работе 1993 года, в контексте неоднородной квадратичной двойственности. Потом они подробно обсуждались в книжке про квадратичные алгебры, вышедшей из печати в 2005 году. Тем очень умеренным и относительным, но все же признанием, которым сейчас пользуются искривленные алгебраические структуры, они обязаны матричным факторизациям.

Матричные факторизации впервые появились в статье Эйзенбада 1980 года, но популярность приобрели после того, как оказались востребованы (очень математизированными) физиками в 00-х годах. Я узнал об их существовании где-то около 2008-09 годов. Для меня матричные факторизации всегда оставались очень специальным частным случаем CDG-модулей, настолько, что мне казалось неловко специально на них останавливаться. Но все же я написал про них две работы (задачи про матричные факторизации как стимулы для развития общей теории оказались очень неплохи).

Искривленные А-бесконечность алгебры и категории также появляются в современной матфизике в контексте категорий Фукаи (о чем я тоже написал длинный текст, подчеркивающий важность условия слабой кривизны и объясняющий, как им пользоваться). Так или иначе, самое позднее, к 2012-13 годам уже можно было считать, что CDG-кольца не нуждаются в моих дальнейших усилиях по их популяризации.

Производные категории второго рода я придумал в марте-апреле 1999 года. Важность контрамодулей над коалгебрами, кокольцами и полуалгебрами была осознана летом 2000 года. Идея комодульно-контрамодульного соответствия восходит к 2000-02 годам. Но первые мои архивные препринты на все эти темы были обнародованы только в 2007-09. Определение контрамодуля над топологическим кольцом появилось в 2007-08 годах; контрагерентные копучки родились на свет в 2012.

Главной целью написания моих вышеупомянутых работ про матричные факторизации в 2010-11 годах была популяризация производных категорий второго рода (копроизводных и абсолютных производных категорий). В целом похоже, что это сработало.

Основным направлением моей деятельности в 2015-19 годах стала популяризация контрамодулей и ко-контра соответствия -- поиск приложений и связей с разными алгебраическими сюжетами. На нынешний момент можно сказать, что в этом направлении многое удалось сделать (намного больше в обозримой перспективе вряд ли получится). Кроме того, появились на свет псевдопроизводные (т.е. псевдо-копроизводные и псевдо-контрапроизводные) категории и проч.

Построение пар кокручения в категориях контрамодулей (2013-15) и доказательство очень плоской гипотезы (2017) прокладывают дорогу для теории контрагерентных копучков.

Еще к предыдущему

На самом деле я думаю, что такая стратегия в руках способного человека может быть вполне эффективной в очень длинной перспективе. Скажем, зачем нужно, чтобы лучшие из моих работ публиковались в лучших журналах, нежели менее важные работы? Ответ очевиден -- чтобы, когда кто-нибудь захочет почитать какую-нибудь из моих статей (скажем, определенного периода), то ткнув пальцем в бросающееся в глаза название относительно приличного журнала, он выбрал работу, в большей степени заслуживающую внимания.

<...> Сначала нужно
научиться терять, нежели приобретать,
ненавидеть себя более, чем тирана,
годами выкладывать за комнату половину
ничтожного жалованья – прежде, чем рассуждать
о торжестве справедливости. Которое наступает
всегда с опозданием минимум в четверть века.

Важнейшая из моих ранних работ вышла из печати в 1993 году; мне было 20 лет. Четверть века спустя, в 2018, меня взяли на работу в Математический институт в Праге. Важнейшая из всех моих работ вышла из печати в 2010 году. Следуя этой предположительной закономерности, если я доживу до 2035 года -- что сомнительно, но не исключено (мне будет 62) -- я могу еще увидеть какое-то прижизненное признание моих идей.

Почему так долго (эпилог)

Цифра "15 лет" условная. Да, действительно, от постановки задачи о смешанных мотивах Артина-Тейта с конечными коэффициентами (около 1995) до ее решения (февраль-март 2010) прошло примерно 15 лет. Но это не самая важная из моих работ, скорее смахивающая на неудачу -- надежды, которые я возлагал на эту задачу, в общем, не оправдались. Ничего действительно важного из ее решения (пока что) не выросло.

От постановки задачи о кошулевости когомологий Галуа числовых полей (мы долго обсуждали ее с Сашей В. осенью 1995) до обнародования моего препринта (июль-август 2010) тоже прошло примерно 15 лет. Но эта задача просто не казалась мне входящей в число самых важных. Грубо говоря, я был занят чем-то другим, и у меня много лет руки не доходили додумать и записать решение.

В то же время, важнейшими моими результатами стали производная неоднородная кошулева двойственность (постановка задачи около 1992, решение найдено в марте-апреле 99) и полубесконечная гомологическая алгебра (постановка задачи около 95, ключевые идеи решения -- лето 2000 и лето 2002). Долгие годы, но все же не пятнадцать лет. Почему же эти работы вышли из печати только в 2010-11?

Короткий ответ состоит в том, что в обоих случаях подробно написанное решение задачи представляет собой текст длиной в книгу (130 и 370 страниц, соответственно). А книги не пишутся в одночасье.

Во-первых, писать книги надо уметь. Я не родился с этим умением, а встав перед необходимостью излагать мои математические идеи в текстах такого размера, провел много лет, просто разрабатывая умение писать.

Скажем, эта серия из четырех блог-постингов есть тоже некий (относительно) связный текст (относительно) ненулевого размера. Двадцать лет назад я не мог и не смог бы написать ничего подобного, а теперь это для меня вполне посильная, несложная задача.

Во-вторых, ни в 1999, ни в 2002 году просто не было языка, на котором написаны эти книги. Там сложная терминологическая система (основанная, в частности, на систематическом использовании префиксов "ко", "контра" и "полу"), которую мне не удавалось самому придумать, пока я не нашел подсказку в работе другого, старшего математика. Увидев эту работу и это терминологическое решение, я понял, что задача написания моих текстов переходит в более практическую плоскость.

Ну, и кроме того, есть расстояние между общим пониманием ключевых идей и разработкой технических деталей формулировок теорем и доказательств. В случае с полубесконечной гомологической алгеброй, это расстояние было очень ощутимым, и необходимые детали были доработаны только где-то к лету 2007 года.