Category: искусство

Шесть лет назад

"Никогда не упускайте возможность выставить себя в неблаговидном свете в глазах простаков" -- https://posic.livejournal.com/893745.html

Как работает этот совет? Во первых, он избавляет вас от необходимости иметь дело с простаками, которые, при таком подходе, либо будут вас сторониться, либо начнут проявлять агрессию по отношению к вам. Первый вариант идеален. Во втором случае, вам придется отразить такую агрессию или перебраться жить подальше от мест концентрации агрессивных проявлений. Последнее тоже совсем неплохо.

Во-вторых, если у кого сложилось о вас ошибочное отрицательное впечатление, то следуя этому совету, вы будете способствовать тому, чтобы это его о вас впечатление становилось еще более отрицательным и еще более ошибочным. Постепенно его взгляд на вас будет утрачивать всякую реальную основу; изначальная неадекватность будет перерастать в откровенный гротеск.

В итоге этот гротеск обрушится под собственной тяжестью. В конце концов, для персонажа настанет момент столкновения с реальностью, кардинально отличающейся от сложившихся у него представлений. Это, если вообще что-либо, предоставит ему шанс обнаружить и исправить изначальную, фундаментальную ошибку, лежащую в основе его годами накапливавшихся заблуждений.

Постмодернизм в математике

Один хороший юзер объяснил мне под замком, что это такое. Чтобы не вытаскивать подзамочное, перескажу, что я понял, совсем своими словами.

Автор, пишущий в умеренно постмодернистском стиле, назовет некоторое количество модных терминов и еще пару-тройку менее модных, но более глубокомысленных, сошлется на популярные источники ссылок и на пару менее популярных, даст пару довольно случайных определений, приведет к ним три примера, посчитает что-нибудь несложное и докажет, чего докажется из того, что подвернется под руку.

Стиль не подразумевает необходимости решать открытые проблемы, доказывать или опровергать трудные утверждения, строить продуманные теории, искать правильное понимание или всесторонне обдумывать вопросы.

Это умеренный постмодернизм, примеров которого мы, увы, имеем слишком много наблюдать в последнее время, в том числе, в исполнении образованных и неглупых авторов, способных на лучшее. Радикальный вариант представлен в известной "афере братьев Богдановых", например.

См. на эту тему также постинг http://leblon.livejournal.com/169574.html

Горенштейновы кольца (коммутативные)

Будем называть горенштейновым кольцом то, что обычно называют "горенштейновым кольцом конечной размерности Крулля", т.е. попросту нетерово коммутативное кольцо R, имеющее конечную инъективную размерность как свободный модуль над собой.

Ясно, что над горенштейновым кольцом всякий модуль конечной проективной размерности имеет конечную инъективную размерность (надо учесть, что прямые суммы сохраняют инъективную размерность модулей над нетеровым кольцом). Уже не первый год я явно или неявно пользуюсь в своих текстах обратным утверждением -- что над горенштейновым кольцом всякий модуль конечной инъективной размерности имеет конечную проективную размерность -- известным мне из фольклора, попутно мучаясь, что не знаю ни доказательства его, ни даже ссылки.

И вот наконец с сегодняшнего дня я располагаю комбинацией аргумента и ссылки, в совокупности влекущих это утверждение.

Часть 1: аргумент. Лемма: если в абелевой категории достаточно проективных объектов, все они имеют конечную инъективную размерность, и финитистская инъективная размерность (т.е. максимальная конечная инъективная размерность объекта) этой абелевой категории равна D, то все ее инъективные объекты имеют проективную размерность, не превосходящую D.

Доказательство: рассмотрим какой-нибудь инъективный объект и напишем ему достаточно длинный начальный отрезок левой проективной резольвенты. Поскольку проективные модули имеют конечную инъективную размерность и исходный модуль был инъективен, модуль когомологий этой конечной точной последовательности проективных модулей в ее самом левом члене имеет конечную инъективную размерность. Следовательно, эта инъективная размерность не превосходит D. Если длина нашего отрезка проективной резольвенты равна по крайней мере D, то отсюда следует, что представляемый ею класс Ext из ее правого модуля когомологий в левый тривиален. Тогда исходный инъективный модуль, как объект производной категории модулей, является прямым слагаемым этого отрезка резольвенты. Следовательно, его проективная размерность не превышает D.

Часть 2: ссылка. Согласно статье Bass, Injective dimension in Noetherian rings, Trans. AMS 102 (1962), Corollary 5.5, финитистская инъективная размерность нетерова коммутативного кольца (т.е., категории модулей над ним) не превышает его размерности Крулля, которая в свою очередь не превышает его инъективной размерности, как модуля над собой. (Там и ряд других интересных утверждений есть; вообще это такой предварительный материал к Рейно-Грюзону.)

Как читать математическую статью

Я делаю так -- сначала читаю подряд или почти подряд, начиная с абстракта и введения. Нужно "вчитаться", понять терминологию и обозначения автора, и главное, какие цели он преследует этим своим текстом.

Хорошо самому знать заранее, чего я хочу из этого текста извлечь, но если я этого не знаю, то самое время определиться с этим возникает в тот момент, когда я понимаю, что утверждает автор. Что в этом очевидно и что нетривиально? Как переформулировать это, или какую-то часть этого, чтобы получить то, что меня на самом деле интересует?

Наконец, если это кажется мне нетривиальным, то в чем состоит трудность? Эта трудность должна быть каким-то образом преодолена. Где в авторском тексте данная конкретная трудность преодолевается? Нельзя ли -- теперь, когда я уже вчитался и более-менее понимаю язык автора -- изолировать это место (или цепочку мест) и разобрать отдельно от всего остального?

Последний абзац (про поиск места, где преодолевается трудность) также хорошо описывает искусство "приема задач" (выслушивания и проверки решений) у школьников и студентов.