Category: дача

Category was added automatically. Read all entries about "дача".

Когомологии Хохшильда когерентных матричных факторизаций

Развитие постингов http://posic.livejournal.com/706049.html , http://posic.livejournal.com/904142.html и др.

Пусть X -- алгебраическое многообразие с особенностями над полем k, и пусть w -- глобальная регулярная функция на X, локально нигде не являющаяся делителем нуля [на самом деле нужно чуть более сильное условие, см. P.P.P.S. ниже]. Нас интересуют (ко)гомологии Хохшильда DG-категории, соответствующей абсолютной производной категории когерентных матричных факторизаций потенциала w.

Первый вопрос состоит в том, как сформулировать условие отсутствия ненулевых критических значений у w. На самом деле, это вопрос о том, при каких условиях на потенциал триангулированная категория относительных особенностей его локуса нулей равна нулю (примененный к потенциалу w1 − w2 на X × X минус декартов квадрат локуса нулей w, что-то такое).

Скажем, естественное слабое условие состояло бы в том, чтобы дифференциал w являлся ненулевым элементом кокасательного пространства Зарисского в каждой точке x ∈ X, где w не зануляется. Достаточно ли этого, непонятно, но есть следующее сильное условие "трансверсальности к особенностям", которого, видимо, достаточно. Потребуем, чтобы у X существовала гладкая стратификация, такая что ограничения w на все страты не имеют ненулевых критических значений. (Заметим, что даже в таком расширенном определении число "критических значений" w заведомо конечно, если характеристика поля k равна нулю.)

В этих предположениях, похоже, получается такой ответ. Пусть DX обозначает дуализирующий комплекс на X, полученный как !-обратный образ структурного пучка на спектре поля k. Тогда

- когомологии Хохшильда есть Ext в абс. производной категории м.ф. потенциала w1 − w2 на X × X между двумя копиями DX, помещенными на диагональ в X × X;

- гомологии Хохшильда есть Ext в абс. производной категории м.ф. потенциала w1 − w2 на X × X из OX в DX, которые оба помещены на диагональ в X × X.

Если у w несколько критических значений, вышеописанный Ext должен быть изоморфен прямой сумме (ко)гомологий Хохшильда когерентных матричных факторизаций потенциалов w − ci, где ci пробегают критические значения.

Комментарии к доказательству: дуализирующий комплекс используется для того, чтобы отождествить категорию, противоположную к абс. производной категории матричных факторизаций потенциала w, с абс. производной категорией матричных фактризаций потенциала −w. Как объясняется по второй ссылке выше, тензорное произведение абс. производных категорий м.ф. потенциалов w и −w вкладывается в абс. производную категорию м.ф. потенциала w1 − w2. Условие типа отсутствия ненулевых критических значений нужно, чтобы гарантировать существенную сюръективность предтриангулированного расширения этого вполне строгого функтора (пользуясь эквивалентностью с триангулированными категориями относительных особенностей).

На тензорном произведении любой DG-категории и противоположной к ней имеется "диагональный" функтор Hom. Изоморфизм HomMF(X,w)(M, HomOX(N,DX)) = HomMF(X×X, w1−w2)(M⊠N, Δ*DX) позволяет отождествить этот функтор Hom с контравариантным функтором на MF(X,w) × MF(X,−w), представляемым матричной факторизацией Δ*DX, где Δ: X → X×X -- диагональ. Этого достаточно, чтобы посчитать когомологии Хохшильда.

Чтобы вычислить гомологии Хохшильда, в дополнение к вышесказанному, нужно научиться вычислять HomMF(X,w)(HomOX(N,DX), M) в терминах какого-нибудь функтора, примененного к матричной факторизации M⊠N на X×X (чтобы потом подставить в этот функтор матричную факторизацию Δ*DX). Речь идет о функторе типа (глобальных сечений) котензорного произведения квазикогерентных пучков, зависящем от выбора дуализирующего комплекса; если дуализирующий комплекс выбран указанным выше образом, этот функтор вычисляется как !-ограничение внешнего произведения на диагональ.

P.S. Вот еще определение: регулярная функция f на схеме конечного типа X над полем k называется не имеющей критических точек, если для любой регулярной функции g на схеме Y конечного типа над k триангулированная категория относительных особенностей локуса нулей функции f1 − g2 на X ×k Y зануляется. Нужно проверять, что это локальное (как по X, так и по Y) условие, что оно позволяет определить понятие открытой подсхемы некритических значений f в Ak1, и что эта открытая подсхема непуста, если характеристика k равна нулю.

P.P.S. Кстати, прежде всего здесь надо разобраться с таким условием на функцию f на схеме X конечного типа над k: что значит, что для любой функции g на схеме Y конечного типа над k функция f1 − g2 на X ×k Y не является локальным делителем нуля. Без этого предыдущий абзац не имеет смысла (да и основной постинг, отчасти, тоже). Например, в случае приведенной схемы X, насколько ослабнет это условие, если предполагать схему Y тоже приведенной? и т.д.

P.P.P.S. Условие в P.P.S. более-менее эквивалентно тому, чтобы f: X → Ak1 было плоским морфизмом (т.е., чтобы все функции f − c не были локальными делителями нуля при c ∈ k, если k алгебраически замкнуто). Во всяком случае, плоскости достаточно (пропустить функцию f1 − g2 через плоский морфизм X×kY → AY1 и заметить, что многочлен x − g не делит ноль в B[x] для любого кольца B и элемента g∈B).

Ко-контра соответствие для конструктивных (ко)пучков? - 2

Оставим пока в стороне известную проблему, что производная категория конструктивных пучков на фиксированной стратификации может отличаться от полной подкатегории в производной категории всех пучков, состоящей из комплексов с соответственно конструктивными когомологиями. Будем просто предполагать, что речь идет о стратификации, для которой эти две триангулированные категории совпадают.

Тогда имеются сразу две очевидных конструкции. Во-первых, есть функтор двойственности Вердье, контравариантно отображающий комплексы конструктивных пучков в другие такие же комплексы. Можно надеяться, что этот функтор в принципе допускает описание в условно-комбинаторных терминах, т.е., слой нового комплекса как-то выражается через слои исходного комплекса над тем же стратом и примыкающим к нему стратами, в терминах отображений между этими слоями, входящих в структуру пучка.

Поскольку такая конструкция контравариантна и (можно продолжать надеяться) переводит комплексы пучков с конечномерными слоями в аналогичные, ее, может быть, можно разложить в композицию функтора линейной дуализации, переводящего пучок с некоторыми слоями в копучок с двойственными слоями (или наоборот, смотря, с какой стороны) и ковариантной эквивалентности между комплексами пучков и комплексами копучков. Может быть, даже имеющей смысл для пучков и копучков бесконечномерных пространств.

Во-вторых, попробуем рассуждать чуть более формально. Рассмотрим абелеву категорию конструктивных пучков с конечныомерными слоями на фиксированной стратификации. Выберем произвольно по одной точке на каждом страте и рассмотрим "функтор слоя" со значениями в конечномерных пространствах, сопоставляющий пучку прямую сумму его слоев в выбранных точках. Получится точный консервативный функтор. Ввиду обычных результатов, наша абелева категория оказывается эквивалентной категории конечномерных комодулей над некоторой коалгеброй C над полем коэффициентов.

Будем теперь понимать под "конструктивными пучками" C-комодули, а под "конструктивными копучками" C-контрамодули. Тогда общая теорема о ко-контра соответствии доставляет эквивалентность экзотических производных категорий пучков и копучков. На самом деле, конечно, лучше начинать такую конструкцию с категории не всех конструктивных пучков с конечномерными слоями (которых слишком много), а, скажем, таких, в которых фундаментальные группы стратов действуют в слоях унипотентными операторами, что-нибудь в этом роде. Тогда на одиночном страте получится коалгебра, связанная с проунипотентным пополнением фундаментальной группы.

Ко-контра соответствие для конструктивных (ко)пучков?

Понятие копучка абелевых групп/векторных пространств (в аналитической, этальной и т.п. топологиях) вообще выглядит проблематичным, но представляется, что конструктивные копучки можно определить. За отсутствием сейчас степени понимания, необходимой для строгих определений, приведу два смутных аргумента.

Во-первых, если рассматривать конструктивные пучки по отношению к фиксированной стратификации, то слои таких пучков во всех точках оказываются стабилизирующимися прямыми пределами групп сечений (все достаточно малые разумные окрестности любой точки одинаковы). Соответственно, кослои таких копучков будут стабилизирующимися обратными пределами, в связи с которыми проблема неточности обратного предела не встает.

Во-вторых, интуитивно кажется, что конструктивный пучок можно описать как набор данных более-менее комбинаторного толка (по векторному пространству на каждом страте + действия фундаментальных групп стратов + отображения, связанные с примыканиями стратов). И такое описание можно формально дуализировать, обратив все стрелки.

Можно ли построить естественную эквивалентность между производными категориями конструктивных пучков и конструктивных копучков на фиксированной стратификации?

Правильная задача про мотивы с конечными коэффициентами и группы Галуа

видимо, выглядит примерно так. Будем рассматривать гладкие и/или компактные многообразия X над полем F, такие что соответствующее многообразие над сепарабельным замыканием F допускает стратификацию, в которой все страты -- аффинные пространства (т.е. является клеточным, cellular). Описать в терминах абсолютной группы Галуа поля F триангулированную подкатегорию в производной категории DM(F,Z/m) мотивов над F с конечными коэффициентами, порожденную мотивами таких многообразий X.

В таком виде эта задача может быть очень трудной, но можно попробовать порешать ее по кусочкам, начиная с подкатегории, порожденной мотивом какой-нибудь коники и его тейтовскими сдвигами, потом мотивом многообразия Севери-Брауэра и т.д. Кстати, в статье Triangulated categories of motives over a field есть какие-то слова про триангулированную категорию 1-мотивов (мотивов кривых), но что-то мне они не очень внятны.