Когомологии Хохшильда когерентных матричных факторизаций
Развитие постингов http://posic.livejournal.com/706049.html , http://posic.livejournal.com/904142.html и др.
Пусть X -- алгебраическое многообразие с особенностями над полем k, и пусть w -- глобальная регулярная функция на X, локально нигде не являющаяся делителем нуля [на самом деле нужно чуть более сильное условие, см. P.P.P.S. ниже]. Нас интересуют (ко)гомологии Хохшильда DG-категории, соответствующей абсолютной производной категории когерентных матричных факторизаций потенциала w.
Первый вопрос состоит в том, как сформулировать условие отсутствия ненулевых критических значений у w. На самом деле, это вопрос о том, при каких условиях на потенциал триангулированная категория относительных особенностей его локуса нулей равна нулю (примененный к потенциалу w1 − w2 на X × X минус декартов квадрат локуса нулей w, что-то такое).
Скажем, естественное слабое условие состояло бы в том, чтобы дифференциал w являлся ненулевым элементом кокасательного пространства Зарисского в каждой точке x ∈ X, где w не зануляется. Достаточно ли этого, непонятно, но есть следующее сильное условие "трансверсальности к особенностям", которого, видимо, достаточно. Потребуем, чтобы у X существовала гладкая стратификация, такая что ограничения w на все страты не имеют ненулевых критических значений. (Заметим, что даже в таком расширенном определении число "критических значений" w заведомо конечно, если характеристика поля k равна нулю.)
В этих предположениях, похоже, получается такой ответ. Пусть DX обозначает дуализирующий комплекс на X, полученный как !-обратный образ структурного пучка на спектре поля k. Тогда
- когомологии Хохшильда есть Ext в абс. производной категории м.ф. потенциала w1 − w2 на X × X между двумя копиями DX, помещенными на диагональ в X × X;
- гомологии Хохшильда есть Ext в абс. производной категории м.ф. потенциала w1 − w2 на X × X из OX в DX, которые оба помещены на диагональ в X × X.
Если у w несколько критических значений, вышеописанный Ext должен быть изоморфен прямой сумме (ко)гомологий Хохшильда когерентных матричных факторизаций потенциалов w − ci, где ci пробегают критические значения.
Комментарии к доказательству: дуализирующий комплекс используется для того, чтобы отождествить категорию, противоположную к абс. производной категории матричных факторизаций потенциала w, с абс. производной категорией матричных фактризаций потенциала −w. Как объясняется по второй ссылке выше, тензорное произведение абс. производных категорий м.ф. потенциалов w и −w вкладывается в абс. производную категорию м.ф. потенциала w1 − w2. Условие типа отсутствия ненулевых критических значений нужно, чтобы гарантировать существенную сюръективность предтриангулированного расширения этого вполне строгого функтора (пользуясь эквивалентностью с триангулированными категориями относительных особенностей).
На тензорном произведении любой DG-категории и противоположной к ней имеется "диагональный" функтор Hom. Изоморфизм HomMF(X,w)(M, HomOX(N,DX)) = HomMF(X×X, w1−w2)(M⊠N, Δ*DX) позволяет отождествить этот функтор Hom с контравариантным функтором на MF(X,w) × MF(X,−w), представляемым матричной факторизацией Δ*DX, где Δ: X → X×X -- диагональ. Этого достаточно, чтобы посчитать когомологии Хохшильда.
Чтобы вычислить гомологии Хохшильда, в дополнение к вышесказанному, нужно научиться вычислять HomMF(X,w)(HomOX(N,DX), M) в терминах какого-нибудь функтора, примененного к матричной факторизации M⊠N на X×X (чтобы потом подставить в этот функтор матричную факторизацию Δ*DX). Речь идет о функторе типа (глобальных сечений) котензорного произведения квазикогерентных пучков, зависящем от выбора дуализирующего комплекса; если дуализирующий комплекс выбран указанным выше образом, этот функтор вычисляется как !-ограничение внешнего произведения на диагональ.
P.S. Вот еще определение: регулярная функция f на схеме конечного типа X над полем k называется не имеющей критических точек, если для любой регулярной функции g на схеме Y конечного типа над k триангулированная категория относительных особенностей локуса нулей функции f1 − g2 на X ×k Y зануляется. Нужно проверять, что это локальное (как по X, так и по Y) условие, что оно позволяет определить понятие открытой подсхемы некритических значений f в Ak1, и что эта открытая подсхема непуста, если характеристика k равна нулю.
P.P.S. Кстати, прежде всего здесь надо разобраться с таким условием на функцию f на схеме X конечного типа над k: что значит, что для любой функции g на схеме Y конечного типа над k функция f1 − g2 на X ×k Y не является локальным делителем нуля. Без этого предыдущий абзац не имеет смысла (да и основной постинг, отчасти, тоже). Например, в случае приведенной схемы X, насколько ослабнет это условие, если предполагать схему Y тоже приведенной? и т.д.
P.P.P.S. Условие в P.P.S. более-менее эквивалентно тому, чтобы f: X → Ak1 было плоским морфизмом (т.е., чтобы все функции f − c не были локальными делителями нуля при c ∈ k, если k алгебраически замкнуто). Во всяком случае, плоскости достаточно (пропустить функцию f1 − g2 через плоский морфизм X×kY → AY1 и заметить, что многочлен x − g не делит ноль в B[x] для любого кольца B и элемента g∈B).
Пусть X -- алгебраическое многообразие с особенностями над полем k, и пусть w -- глобальная регулярная функция на X, локально нигде не являющаяся делителем нуля [на самом деле нужно чуть более сильное условие, см. P.P.P.S. ниже]. Нас интересуют (ко)гомологии Хохшильда DG-категории, соответствующей абсолютной производной категории когерентных матричных факторизаций потенциала w.
Первый вопрос состоит в том, как сформулировать условие отсутствия ненулевых критических значений у w. На самом деле, это вопрос о том, при каких условиях на потенциал триангулированная категория относительных особенностей его локуса нулей равна нулю (примененный к потенциалу w1 − w2 на X × X минус декартов квадрат локуса нулей w, что-то такое).
Скажем, естественное слабое условие состояло бы в том, чтобы дифференциал w являлся ненулевым элементом кокасательного пространства Зарисского в каждой точке x ∈ X, где w не зануляется. Достаточно ли этого, непонятно, но есть следующее сильное условие "трансверсальности к особенностям", которого, видимо, достаточно. Потребуем, чтобы у X существовала гладкая стратификация, такая что ограничения w на все страты не имеют ненулевых критических значений. (Заметим, что даже в таком расширенном определении число "критических значений" w заведомо конечно, если характеристика поля k равна нулю.)
В этих предположениях, похоже, получается такой ответ. Пусть DX обозначает дуализирующий комплекс на X, полученный как !-обратный образ структурного пучка на спектре поля k. Тогда
- когомологии Хохшильда есть Ext в абс. производной категории м.ф. потенциала w1 − w2 на X × X между двумя копиями DX, помещенными на диагональ в X × X;
- гомологии Хохшильда есть Ext в абс. производной категории м.ф. потенциала w1 − w2 на X × X из OX в DX, которые оба помещены на диагональ в X × X.
Если у w несколько критических значений, вышеописанный Ext должен быть изоморфен прямой сумме (ко)гомологий Хохшильда когерентных матричных факторизаций потенциалов w − ci, где ci пробегают критические значения.
Комментарии к доказательству: дуализирующий комплекс используется для того, чтобы отождествить категорию, противоположную к абс. производной категории матричных факторизаций потенциала w, с абс. производной категорией матричных фактризаций потенциала −w. Как объясняется по второй ссылке выше, тензорное произведение абс. производных категорий м.ф. потенциалов w и −w вкладывается в абс. производную категорию м.ф. потенциала w1 − w2. Условие типа отсутствия ненулевых критических значений нужно, чтобы гарантировать существенную сюръективность предтриангулированного расширения этого вполне строгого функтора (пользуясь эквивалентностью с триангулированными категориями относительных особенностей).
На тензорном произведении любой DG-категории и противоположной к ней имеется "диагональный" функтор Hom. Изоморфизм HomMF(X,w)(M, HomOX(N,DX)) = HomMF(X×X, w1−w2)(M⊠N, Δ*DX) позволяет отождествить этот функтор Hom с контравариантным функтором на MF(X,w) × MF(X,−w), представляемым матричной факторизацией Δ*DX, где Δ: X → X×X -- диагональ. Этого достаточно, чтобы посчитать когомологии Хохшильда.
Чтобы вычислить гомологии Хохшильда, в дополнение к вышесказанному, нужно научиться вычислять HomMF(X,w)(HomOX(N,DX), M) в терминах какого-нибудь функтора, примененного к матричной факторизации M⊠N на X×X (чтобы потом подставить в этот функтор матричную факторизацию Δ*DX). Речь идет о функторе типа (глобальных сечений) котензорного произведения квазикогерентных пучков, зависящем от выбора дуализирующего комплекса; если дуализирующий комплекс выбран указанным выше образом, этот функтор вычисляется как !-ограничение внешнего произведения на диагональ.
P.S. Вот еще определение: регулярная функция f на схеме конечного типа X над полем k называется не имеющей критических точек, если для любой регулярной функции g на схеме Y конечного типа над k триангулированная категория относительных особенностей локуса нулей функции f1 − g2 на X ×k Y зануляется. Нужно проверять, что это локальное (как по X, так и по Y) условие, что оно позволяет определить понятие открытой подсхемы некритических значений f в Ak1, и что эта открытая подсхема непуста, если характеристика k равна нулю.
P.P.S. Кстати, прежде всего здесь надо разобраться с таким условием на функцию f на схеме X конечного типа над k: что значит, что для любой функции g на схеме Y конечного типа над k функция f1 − g2 на X ×k Y не является локальным делителем нуля. Без этого предыдущий абзац не имеет смысла (да и основной постинг, отчасти, тоже). Например, в случае приведенной схемы X, насколько ослабнет это условие, если предполагать схему Y тоже приведенной? и т.д.
P.P.P.S. Условие в P.P.S. более-менее эквивалентно тому, чтобы f: X → Ak1 было плоским морфизмом (т.е., чтобы все функции f − c не были локальными делителями нуля при c ∈ k, если k алгебраически замкнуто). Во всяком случае, плоскости достаточно (пропустить функцию f1 − g2 через плоский морфизм X×kY → AY1 и заметить, что многочлен x − g не делит ноль в B[x] для любого кольца B и элемента g∈B).
