Category: архитектура

Многочлены пятой степени с циклической группой Галуа (из-под замка)

Вопрос юзера gaz_v_pol:

Ты случайно не знаешь, вот если взять многочлены степени 5 от одной переменной с целыми коэффициентами. У некоторых из них группа Галуа циклическая, C(5). Спрашивается, можно ли это сформулировать в виде условия на коэффициенты многочлена? Или в виде параметризации этих коэффициентов?

Мои ответы в комментах к этому постингу.

Пара старых комментов, из-под замка в чужом журнале

August 11, 2009

Ситуация в России вполне печальная. Может быть, через несколько поколений люди придут в себя, одумаются и т.д. Но на ближайшую перспективу речь может идти только о том, впаяемся ли мы в большую войну (с Украиной, например) или ограничимся малыми.

В том и в другом случае, найдется немало вполне приличных людей, которые будут эти войны одобрять и поддерживать. Пока не увидят, что поражение неминуемо.

December 24, 2009

У меня есть конкретный сценарий разрушительного пути развития: война с Украиной. В этом смысле представляют интерес 1. газотранзитные споры, и 2. надвигающиеся президентские выборы на Украине. Следить за запутанными перипетиями сил, признаться, нет.

Говоря же в целом, мне кажется, что имеет место обычная фрустрация. Хотели вертикаль власти, а получился дестабилизирующий дуумвират. Хотели экономической стабильности и устойчивого роста, а получили импорт всемирного бума с последующим ударом от всемирного кризиса. Конституцию переписали, а перспективы досиживания до 2024 или какого еще года все равно туманны. Маленькая победоносная война не повредит, но на серьезную решаться стремно. Вот и размахивает дурак шашкой.

December 24, 2009

Полная гибель страны -- не очень осмысленное понятие применительно к России. Сколько уже случалось их, этих полных гибелей. Война с Украиной была бы просто обычной катастрофой, с разнообразными бедствиями, многочисленными невинно убиенными на поле боя и вне его, умершими от болезней и лишений, хозяйственной разрухой, диктаторским правлением с репрессиями, и т.д. В конце всего этого можно ожидать возврата к относительной нормальности, как это до сих пор всегда случалось.

Кадыров же потому и предлагает, что предлагаемое выходит далеко за пределы сферы его полномочий. Никто не собирается его слушать, а если, не дай Бог, послушают, не ему отвечать за последствия. В этом смысле это с его стороны просто игра на нервах Медведева-Путина и кого-то еще. Ни к какой войне она прямо не ведет.

---

А вот что обнаруживается у меня (20 апреля 2011): -- http://posic.livejournal.com/593181.html

Про потребность в особом отношении, а также хамство персонала

Этот постинг (с обсуждением под ним) писался чуть меньше года назад под двумя замками. Сейчас я снял один замок, так что, если кто не видел и интересно, можно почитать -- http://posic.livejournal.com/833262.html

Из-под замка

Что у меня есть за душой, кроме моих принципов? И тех, почитай, что и нет; но уж помимо них вообще совсем ничего нет. На них одних и возлагаю надежды свои.

Типовые задачи к экзамену по курсу "Кошулева двойственность"

Замок с постинга может быть в скором времени снят. Чтобы избежать обсуждения решений задач в комментах (экзамен, все-таки), все комменты автоматически прескринятся. Список задач и тем может (и, надеюсь, будет) пополняться.

I. Алгебры с образующими и соотношениями, кошулевы алгебры

1. Пусть A = k ⊕ A1 ⊕ A2 ⊕ … -- положительно градуированная ассоциативная алгебра над полем k. Предположим, что A мультипликативно порождена своей первой компонентой A1. Доказать неравенство dim A5 ≤ (dim A3)2.

2. Пусть A = T(V)/(R), где R ⊂ V⊗V -- квадратичная алгебра над полем k. Размерность векторного пространства V называется числом образующих A, размерность векторного пространства R -- числом соотношений A.
(a) Показать, что всякая квадратичная алгебра с одним соотношением кошулева.
(б) Привести пример некошулевой квадратичной алгебры с двумя образующими и двумя соотношениями.

3. Квадратичной алгеброй общего положения с g образующими и r соотношениями над полем комплексных чисел называется факторалгебра свободной ассоциативной алгебры, порожденной x1, … xg, по соотношениям вида ∑ asij xixj = 0, 1≤s≤r, где все коэффициенты asij алгебраически независимы над полем рациональных чисел. Является ли кошулевой квадратичная алгебра общего положения
(а) с двумя образующими и двумя соотношениями;
(б) c тремя образующими и двумя соотношениями?

4. Назовем положительно градуированную алгебру Ли L = L1 &oplus L2 ⊕ … кошулевой, если ее ассоциативная обертывающая алгебра U(L) кошулева в градуировке, индуцированной градуировкой L. Доказать, что если L -- кошулева алгебра Ли с конечномерными компонентами, то либо L конечномерна, либо lim sup (dim Ln)/an = ∞ для некоторого a > 1.

II. Неоднородная квадратичная двойственность

5. Неоднородной кошулевой алгеброй с g образующими и r соотношениями над полем k называется ассоциативная алгебра A~ с возрастающей фильтрацией F, такая что присоединенная градуированная алгебра A = grF A~ кошулева, dim A1 = g, и dim A2 = g2 − r. Классифицировать (с точностью до изоморфизма, сохраняющего фильтрацию) все неоднородные кошулевы алгебры с
- двумя образующими и одним соотношением
- двумя образующими и двумя соотношениями
- двумя образующими и тремя соотношениями

6. Супералгеброй Ли над полем k называется Z/2-градуированное векторное пространство L = L0 ⊕ L1 вместе с Z/2-градуированной ассоциативной алгеброй A, снабженной возрастающей мультипликативной фильтрацией однородными подпространствами FiA, такой что присоединенная градуированная алгебра grFA изоморфна тензорному произведению симметрической алгебры с образующими в положительной градуировке 1 и Z/2-градуировке 0 и внешней алгебры с образующими в положительной градуировке 1 и Z/2-градуировке 1. Описать структуру супералгебры Ли на языке заданных на ее элементах операций и связывающих их соотношений. Определение должно работать для полей k всех характеристик.

III. Комодули и контрамодули

7. Пусть C -- коассоциативная коалгебра с коединицей над полем k. Контратензорным произведением N ⊗C P [обычно я использую символ "точка в кружочке", но его, кажется, нет в HTML] правого C-комодуля N и левого C-контрамодуля P называется k-векторное пространство, являющееся коядром пары линейных отображений N ⊗k Homk(C,P) → N ⊗k P, одно из которых индуцировано контрадействием C на P, а другое является композицией отображения, индуцированного отображением кодействия C на N и отображения подстановки элементов C в линейные отображения C → P. Доказать, что для любого правого C-комодуля N и k-векторного пространства V имеет место естественный изоморфизм N ⊗C Homk(C,V) ≅ N ⊗k V.

8. Пусть C -- коассоциативная коалгебра с коединицей над полем k. Левый C-комодуль называется коплоским, если функтор котензорного произведения с ним точен (на абелевой категории правых C-комодулей); копроективным, если функтор Cohom из него точен (на абелевой категории левых C-контрамодулей); инъективным, если функтор Hom в него точен (на абелевой категории левых C-комодулей). Показать что классы коплоских, копроективных и инъективных C-комодулей совпадают.

9. Пусть C -- коассоциативная коалгебра с коединицей над полем k. Левый C-контрамодуль называется контраплоским, если функтор контратензорного произведения с ним точен (на абелевой категории правых C-комодулей); коинъективным, если функтор Cohom в него точен (на абелевой категории левых C-комодулей); проективным, если функтор Hom из него точен (на абелевой категории левых C-контрамодулей). Показать, что всякий проективный C-контрамодуль коинъективен, а всякий коинъективный C-контрамодуль является контраплоским. [На самом деле все три свойства эквивалентны, но доказательство этого выходит за пределы уровня типовых задач к настоящему экзамену.]

IV. Производное ко-контра соответствие, производная кошулева двойственность

10. Пусть V -- бесконечномерное векторное пространство над полем k и C = S(V) -- симметрическая коалгебра V (т.е. подкоалгебра в тензорной коалгебре V, состоящая из симметрических тензоров). Показать, что функтор производного комодульного-контрамодульного соответствия переводит тривиальный C-комодуль k в ацикличный комплекс C-контрамодулей.

11. Показать, что любые две ассоциативные DG-алгебры над полем k можно связать цепочкой переходов, некоторые из которых являются квазиизоморфизмами DG-алгебр (в том или ином направлении), а другие -- CDG-изоморфизмами DG-алгебр.

12. Конильпотентная коаассоциативная коалгебра с коединицей C над полем k называется горенштейновой по Артину-Шельтеру степени d, если функтор производного комодульно-контрамодульного соответствия переводит трививальный левый C-комодуль k в тривиальный левый C-контрамодуль k, помещенный в когомологическую градуировку d. Показать, что конильпотентная коалгебра C горенштейнова по Артину-Шельтеру тогда и только тогда, когда градуированная алгебра ExtC(k,k) (посчитанная в абелевой категории левых C-комодулей) фробениусова степени d, т.е. компонента ExtCd(k,k) одномерна и умножения на остальных компонентах, принимающие значения в этой компоненте, являются невырожденными спариваниями.

13. Пусть A -- аугментированная DG-алгебра над полем k. Сопоставим ей ее приведенную бар-конструкцию (т.е. тензорную коалгебру идеала аугментации A, снабженную дифференциалом ∂+d, одна компонента которого строится в терминах умножения на A, а другая индуцирована дифференциалом на A). Пусть DG-коалгебра C получается взятием прямых сумм вдоль диагоналей этого бикомплекса. DG-коалгебре C сопоставим ее кобар-конструкцию (т.е. тензорную алгебру факторпространства C по отображению коаугментации k→C, снабженную аналогичным дифференциалом ∂+d). Пусть DG-алгебра B получается взятием прямых произведений вдоль диагоналей этого бикомплекса (эта DG-алгебра B называется производным адическим пополнением аугментированной DG-алгебры A по ее идеалу аугментации).
а) Вычислить класс квазиизоморфизма DG-алгебры B, если A -- обертывающая алгебра алгебры Ли sl2(k), k -- поле характеристики нуль.
б) Пусть C -- коаугментированная CDG-коалгебра над k; построим по ней DG-алгебру B, как выше (т.е. снабдим тензорную алгебру пространства C/k дифференциалом ∂+d+δ с компонентами, индуцированными умножением, дифференциалом и линейной функцией кривизны C, и возьмем прямые произведения вдоль диагоналей). Показать, что если линейная функция кривизны на C не равна нулю, то алгебра когомологий DG-алгебры B равна нулю.

Из-под замка, о Перельмане как пропагандисте математики

Тут может быть message, что в математике сохраняется гамбургский счет. Вот человек явно с большими странностями, но он доказал гипотезу, и ему присудили премию. Похоже на реальное признание реальных достижений. А не то что междусобойчик, где все делится между своими людьми, а результатов никаких и нет вовсе.

Из-под замка -- о пытках

Вопрос в том, как часто [пыткам] будут подвергаться невиновные. В ситуации тикающей бомбы, по определению, на полноценное расследование времени нет, так что стандарт доказательства для пыток будет ниже, чем для уголовного наказания за преступление небольшой тяжести.

Проблема пыток -- это проблема соотношения этики и целесообразности в условиях, когда механизмы развитой цивилизации не срабатывают. Логически, возможны два случая:
- если ситуация тикающей бомбы крайне редка и исключительна, то проще понести потери, чем разлагать правовые механизмы, встраивая в них пытки;
- если ситуация тикающей бомбы не крайне редка, то это значит, что правоохранительная система и/или общество в целом дисфункциональны, и надо устранять причины дисфункции, а не полагаться на пытки.