Category: авто

Category was added automatically. Read all entries about "авто".

Дедуализирующий комплекс для аффинной нетеровой формальной схемы

Продолжение сентябрьского постинга http://posic.livejournal.com/1105166.html , декабрьского http://posic.livejournal.com/1153742.html и январского http://posic.livejournal.com/1157340.html , см. также февральский http://posic.livejournal.com/1160333.html

Пусть R -- нетерово коммутативное кольцо с идеалом I. Конечный комплекс R-модулей I-кручения (т.е., в которых каждый элемент аннулируется некоторой степенью I) B называется дедуализирующим комплексом для (R,I), если

- B имеет конечную проективную размерность как комплекс объектов в абелевой категории R-модулей I-кручения;
- естественное отображение R^ = proj limn R/In → RHomR(B,B) является квазиизоморфизмом (комплексов абелевых групп);
- для любого n, подмодули элементов, аннулируемых In в R-модулях когомологий комплекса B являются конечно-порожденными R/In-модулями.

Теорема. Для любого (в обозначениях препринта Contraherent cosheaves) символа * = b, +, −, ∅, abs+, abs− или abs, производные функторы RHomR(B,−) и B⊗LR− задают эквивалентность "обычных" производных категорий D*((R,I)-tors) и D*((R,I)-contra) R-модулей I-кручения и R^-контрамодулей.

Доказательство: согласно рассуждениям из декабрьского постинга по ссылке выше, достаточно показать, что морфизмы сопряжения R^[[X]] → RHomR(B, B⊗LRR^[[X]]) = RHomR(B,B[X]) и B ⊗LR HomR(B,J) → J являются квазиизоморфизмами для всех множеств X и всех инъективных R-модулей I-кручения J.

Пусть K -- ограниченный снизу комплекс инъективных R-модулей I-кручения, снабженный квазиизоморфизмом B → K. Тогда HomR(K,K) -- неограниченный с обеих сторон комплекс плоских R-модулей кокручения, вычисляющий RHomR(B,B). Более того, комплекс R-модулей HomR(K,K) гомотопически плоский, поскольку для любого ацикличного конечного комплекса конечно-порожденных R-модулей С комплекс C ⊗R HomR(K,K) = HomR(HomR(C,K),K) ацикличен. Поэтому квазиизоморфизм R^ → HomR(K,K) индуцирует квазиизоморфизмы R/In → HomR(K,K)/In(K,K) = HomR/In((In)K, (In)K).

Далее, ввиду последнего третьего условия на комплекс B, комплекс R/In-модулей (In)K имеет конечно-порожденные R/In-модули когомологий.

(Продолжение следует.)

С медицинским страхованием что-то?

В день оформления частной медстраховки в университете Бен-Гуриона в июне, проходя по улице на кампусе и сокрушаясь об очередном забытом при заполнении анкеты preexisting condition (ну, там, в 9 лет у меня болел живот, и т.д., как обычно), напоролся в рассеянности на резьбу винта, торчавшего из столба. Широкая длинная царапина на плече около шеи. Зажила, конечно, сама. Шрам остался, украшение мужчины.

Направляясь выбирать медицинскую кассу как новый репатриант, был ударен автомобилем при выходе с железнодорожной станции. Так и не понял, кто из нас нарушил правила дорожного движения (оба, наверное). Ушиб мягких тканей на локте, могло быть хуже. От предложенного внимания водителя отмахнулся (езжай себе, ничего не случилось). Третье по значению ДТП в моей жизни (после села Фастовец в августе 2004 и гор. Железнодорожного в первой половине 80-х).

Первые два были 100% по моей вине, между прочим. В фастовской больничке я даже специальное заявление подписывал, менты приходили: "В происшествии виновен я сам, претензий к водителю не имею." В этот раз врачи вряд ли понадобятся, так все проще.

MGM-двойственность и ко-контра соответствие

http://posic.livejournal.com/1073557.html

В простейшем виде, производное комодульно-контрамодульное соответствие -- это эквивалентность триангулированных категорий между копроизводной категорией левых комодулей и контрапроизводной категорией левых контрамодулей над одной и той же коалгеброй (или CDG-комодулей и CDG-контрамодулей над CDG-коалгеброй) над полем. В более сложных вариантах рассматриваются алгебраические структуры, соединяющие в себе черты ко/контрамодулей и обычных модулей -- "ко/контрамодули по части переменных и обычные модули вдоль остальных". В зависимости от того, каким образом происходит это "соединение" и какие экзотические производные категории рассматриваются, результаты типа производного ко-контра соответствия известны в следующих вариантах:

- для полумодулей и полуконтрамодулей над полуалгеброй ("алгеброй над коалгеброй") -- естественная эквивалентность полупроизводных ("ко/контрапроизводных вдоль переменных в коалгебре и обычных производных в дополнительном направлении) категорий
- для комодулей и контрамодулей над кокольцом ("коалгеброй над кольцом"), в случае базового кольца конечной гомологической размерности -- эквивалентность между ко- и контрапроизводными категориями
- для комодулей и контрамодулей над парой коколец над парой колец с дуализирующим комплексом, снабженным поднятием до комплекса бикомодулей -- эквивалентность между ко- и контрапроизводными категориями, зависящая от выбора дуализирующего комплекса
- для комодулей и контрамодулей над кокольцом конечной относительной гомологической размерности (в подходящем смысле) над своим базовым кольцом -- эквивалентность между обычными производными категориями

Из этих четырех вариантов, последний не рассматривался у меня пока что в сколько-нибудь общем виде (в отличие от первых трех). Единственный, кажется, прописанный пример -- это "наивное соответствие" между обычными производными категориями квазикогерентных пучков и контрагерентных копучков на квазикомпактной полуотделимой схеме (а также на произвольной нетеровой схеме). Условия на топологию схемы нужны здесь, чтобы гарантировать искомую "конечность относительной гомологической размерности".

Характерным свойством такого "наивного ко-контра соответствия" можно считать то, что оно равно применимо более-менее ко всем разновидностям экзотических производных категорий, определенным для произвольной абелевой/точной категории и не зависящим от наличия бесконечных прямых сумм или произведений. Т.е., можно с равным успехом рассматривать обычные ограниченные или неограниченные с тех или иных сторон производные категории Db, D, D+, D, абсолютную производную категорию Dabs, ее ограниченные сверху или снизу версии, и т.п. (Только ко- и контрапроизводные категории здесь использовать нельзя.) Причина тому, конечно, в том, что производные функторы, осуществляющие соответствие, имеют конечную гомологическую размерность. В этом как бы проявляется "наивность" этих конструкций.

Похоже, что классическая MGM-двойственность является еще одним примером такого "наивного ко-контра соответствия". Первое, что здесь приходит в голову -- поскольку речь идет об аффинной формальной схеме -- это обобщить сформулированное выше наивное соответствие между квазикогерентными пучками и контрагерентными копучками на случай формальных схем. Но обсуждавшаяся выше теория тривиализуется в случае аффинной схемы (поскольку кокольцо там описывает склейку аффинных открытых подсхем в покрытии, а в случае покрытия из одной аффинной (открытой под)схемы оно совпадает со своим базовым кольцом).

На самом деле, правильный взгляд, видимо, следующий. Аффинная нетерова формальная схема, в этом контексте -- это дополнение до открытой подсхемы в спектре нетерова кольца. MGM-двойственность получается из сравнения двух наивных соответствий между пучками и копучками -- на аффинной нетеровой схеме (тривиального) и на ее открытой подсхеме (нетривиального, если эта открытая подсхема не аффинна).

Продолжение/окончание в в следующем математическом постинге.

Экстраординарный обратный образ Делиня для матричных факторизаций

Теорема Делиня (из приложения к Residues and Duality) состоит в том, что для (по крайней мере, компактифицируемых) отделимых морфизмов конечного типа нетеровых схем можно определить функтор f+ между копроизводными категориями квазикогерентных пучков, который будет согласован с композициями морфизмов f, и при этом для открытых вложений будет совпадать с обычным обратным образом, а для собственных морфизмов -- сопряжен справа к прямому образу. (Делинь, конечно, писал об ограниченных снизу производных категориях, но утверждение верно для неограниченных копроизводных категорий, как впервые заметил, кажется, Гайцгори, и неверно для обычных неограниченных производных категорий, как показал раньше Нееман.)

Пусть теперь f: Y → X -- морфизм нетеровых схем, L -- линейное расслоение на X, и w -- его глобальное сечение. Нас интересуют копроизводные категории квазикогерентных матричных факторизаций потенциала w на X и потенциала f*w (являющегося сечением линейного расслоения f*L) на Y. Можно ли определить в такой ситуации функтор f+?

Надо бы посмотреть, проходит ли прямое (в духе приложения Делиня) доказательство этого утверждения для комплексов пучков, прописанное в моем контрагерентном препринте, в случае матричных факторизаций. С другой стороны, есть следующее альтернативное рассуждение, использущее ковариантную двойственность. Оно требует дополнительных предположений: полуотделимости обеих схем X и Y и существования дуализирующего комплекса DX на X. Дуализирующий комплекс DY тогда определяется как f+DX.

Теорема. Пусть f: Y → X -- собственный морфизм полуотделимых нетеровых схем, и пусть w -- сечение линейного расслоения L на X. Тогда эквивалентности производных категорий второго рода плоских и произвольных квазикогерентных матричных факторизаций Dabs((X,w)-flat) = Dco((X,w)-qcoh) и Dabs((Y,f*w)-flat) = Dco((Y,f*w)-qcoh), связанные с выбором дуализирующих комплексов DX и DY, преобразуют функтор обратного образа плоских квазикогерентных матричных факторизаций f*: Dabs((X,w)-flat) → Dabs((Y,f*w)-flat) в функтор f!, сопряженный справа к функтору прямого образа квазикогерентных матричных факторизаций Rf*: Dco((Y,f*w)-qcoh) → Dco((X,w)-qcoh).

Отметим, что в случае открытого вложения f (или даже, этального морфизма, а с известной поправкой и в случае гладкого) те же эквивалентности переводят функтор f* плоских матричных факторизаций в такой же обычный обратный образ f* произвольных квазикогерентных (коммутация очевидна для функтора D⊗O− из плоских м.ф. в произвольные квазикогерентные, являющегося локальным по построению). Так что таким образом действительно можно получить функтор типа f+.

Доказательство теоремы: для любой плоской матричной факторизации F на X, построим морфизм DY ⊗ f*F → f!(DX⊗F) в категории Dco((Y,f*w)-qcoh). Ввиду сопряженности, для этого достаточно построить морфизм f*(DY⊗f*F) → DX ⊗ F в Dco((X,w)-qcoh). Здесь нужно воспользоваться формулой проекции f*(DY⊗f*F) = f*DY ⊗ F и морфизмом сопряжения f*DY → DX.

Основной частью рассуждения является доказательство того, что построенный морфизм -- изоморфизм. Поскольку когерентные матричные факторизации являются компактными образующими в копроизводной категории квазикогерентных, достаточно показать, что функтор Hom из любой когерентной м.ф. N потенциала f*w на Y переводит наш морфизм в изоморфизм. Другими словами, речь идет об изоморфизме HomY(N, DY⊗f*F) = HomX(f*N, DX⊗F), где группы Hom берутся в копроизводных категориях квазикогерентных матричных факторизаций.

Та же самая конструкция доставляет естественное отображение из левой части желаемого изоморфизма групп Hom в правую: достаточно рассмотреть композицию HomY(N, DY⊗f*F) → HomX(f*N, f*(DY⊗f*F)) = HomX(f*N, f*DX ⊗ F) → HomX(f*N, DX⊗F). Далее, с обеих сторон во втором аргументе функтора Hom стоит объект, представленный, по построению, инъективной квазикогерентной матричной факторизацией. Поэтому функтор Hom можно считать в гомотопической категории вместо копроизводной.

Наконец, объект f*N можно строить по Чеху как тотализацию конечного комплекса матричных факторизаций, получающегося почленным применением конструкции комплекса Чеха к каждой из компонент матричной факторизации N. Аналогично, тензорные произведения во вторых аргументах функтора Hom строятся как тотализации конечных комплексов инъективных матричных факторизаций, строящихся как почленные тензорные произведения дуализирующих комплексов и плоских матричных факторизаций.

Зафиксировав входящие компоненты матричных факторизаций N и F (соответствующие каким-то двум вычетам по модулю 2), мы получаем морфизм конечных комплексов абелевых групп Hom, являющийся квазиизоморфизмом согласно теореме 5.15.3 из препринта 1209.2995. Остается отметить, что тотализация ацикличного конечного комплекса (неограниченных) комплексов абелевых групп ациклична.

Update: когерентность матричной факторизации N не используется в этом рассуждении (в отличие от рассуждения из 1209.2995, на которое приходится ссылаться). Поэтому можно просто считать N инъективной м.ф., и строить f*N соответственно (без всякого Чеха), что в такой ситуации тоже будет покомпонентной конструкцией (тривиальным образом).

Контрагерентные копучки - 5

Продолжение http://posic.livejournal.com/823272.html?mode=reply


V. Ко-контра соответствие над нетеровой схемой с дуализирующим
комплексом

V.1. Ко-контра соответствие над регулярной схемой

Collapse )

V.2. Ко-контра соответствие над горенштейновой схемой

Collapse )

V.3. Контрагерентное тензорное произведение

Collapse )

V.4. Ко-контра соответствие над схемой с дуализирующим комплексом

Collapse )

V.5. Производные функторы прямого и обратного образа


A. Ко-контра соответствие для матричных факторизаций

B. D-\Omega двойственность и ко-контра соответствие


Часть 2. Контрагерентные копучки контрамодулей над нетеровыми
формальными схемами


C. Ко-контра соответствие над плоским кокольцом


Предполагаемые улучшения: Collapse )

Список возможных символов в верхнем индексе

Заметил, что все старания моей жизни сводятся во многом к тому, что там, где в классических источниках в формулировках базовых теорем о производных категориях писали "для любого символа * из набора b, +, − или ∅", примерно в тех же случаях, теперь по науке можно писать "для любого символа * из набора b, +, −, ∅, +abs, −abs, co, ctr или abs" или что-то в этом роде.

Контрагерентные копучки - 3

Продолжение http://posic.livejournal.com/790374.html?mode=reply


IV. Квазикомпактные полуотделимые схемы

IV.1. Квазикогерентные пучки кокручения и контраприспособленные

Collapse )

IV.2. Приспособленные классы локально контрагерентных копучков

Collapse )

IV.3. Гомологии локально контрагерентных копучков

Collapse )

IV.4. Производно и локально контрагерируемые копучки

Collapse )

IV.5. Производные категории точных категорий и резольвенты

Collapse )

Еще один хороший вопрос про экзотические производные категории матричных факторизаций

Нельзя ли доказать, что пересечение Dabs(w-coh) и Dabs(w-qcohlf) внутри Dabs(w-qcoh) равно Dabs(w-cohlf)?

Если внутри Dco(w-qcoh) пересечение брать, то такое вряд ли будет верно: в случае горенштейновой объемлющей схемы X, это означало бы просто, что Dabs(w-coh) = Dabs(w-cohlf), что otherwise ниоткуда не следует и вообще мало похоже на правду. Да и функтор Dco(w-qcohlf) → Dco(w-qcoh) вряд ли в общем случае вполне строгий.

Когерентные CDG-модули, открытая подсхема, замкнутое дополнение - 2

Продолжение постинга http://posic.livejournal.com/665530.html (который я начал писать днем в четверг, а закончил только сегодня вечером, сохраняя под глазом черновые варианты, поскольку все время вылезали неожиданные проблемы, решения которых обсуждались в последующих постингах). Сохраняются обозначения и предположения постинга по ссылке.

Теорема. а) функтор ограничения на открытую подсхему Dco(B-qcoh) → Dco(B|U-qcoh) является функтором локализации Вердье по толстой подкатегории Dco(B-qcohT).
б) Функтор ограничения на открытую подсхему Dabs(B-coh) → Dabs(B|U-coh) является функтором локализации Вердье по триангулированной подкатегории Dabs(B-cohT). В частности, ядро этого функтора ограничения совпадает с толстой оболочкой этой триангулированной подкатегории.

Доказательство: чтобы доказать пункт а), рассмотрим функтор, сопряженный справа к функтору ограничения. Это будет производный функтор прямого образа с открытого вложения, который строится с помощью инъективных резольвент (см. лемму 1 из постинга по ссылке). Поскольку если применить сначала прямой образ, а потом ограничение, получится тождественный функтор, функтор ограничения является локализацией Вердье. Поскольку ядро и коядро морфизма сопряженности из инъективного CDG-модуля на X в прямой образ на X его ограничения на U имеют теоретико-множественный носитель в T, ядро нашего функтора локализации совпадает с Dco(B-qcohT). (NB: здесь мы опять воспользовались сохранением инъективности при ограничении квазикогерентных B-модулей на открытую подсхему.)

Существенная сюрьективность функтора ограничения в пункте б), очевидно, имеет место уже на уровне DG-категорий когерентных CDG-модулей (взять прямой образ на X когерентного CDG-модуля на U и выбрать в результате достаточно большой когерентный CDG-подмодуль). С учетом этого замечания, пункт б) следует пункта а) и стандартных общих результатов о компактно порожденных триангулированных категориях (см. лемму 2 из постинга по ссылке). Мы имеем компактно порожденную триангулированную категорию, и в ней триангулированную подкатегорию, порожденную некоторым множеством компактных образующих большой категории; в такой ситуации факторкатегория компактных объектов большой категории по компактным объектам подкатегории вполне строго отображается в компактные объекты факторкатегории (и всякий объект последней является прямым слагаемым объекта из образа этого функтора).

Таким образом, мы решили задачу, поставленную в постинге http://posic.livejournal.com/665106.html , для случая когерентных матричных факторизаций (и отчасти для когерентных CDG-модулей вообще). Как решать аналогичную задачу для локально свободных матричных факторизаций конечного ранга, по-прежнему непонятно. Является ли всякая локально свободная м.ф. конечного ранга, ограничение которой на дополнение к замкнутому подмножеству T абсолютно ациклично (= локально стягиваемо), прямым слагаемым, в абсолютной производной категории, когерентной м.ф. конечной плоской размерности, теоретико-множественный носитель которой содержится в T?

Когерентные CDG-модули, открытая подсхема, замкнутое дополнение - 1

Пусть (B,d,h) -- нетерова квазикогерентная CDG-алгебра на нетеровой схеме X, и пусть T⊂X -- замкнутое подмножество, U⊂X -- дополнение к T, рассматриваемое как открытая подсхема, Т⊂X. Пусть B-coh обозначает точную DG-категорию CDG-модулей над B, а B-cohT -- точную подкатегорию в B-coh, состоящую из CDG-модулей, подлежащие градуированные B-модули (или даже, лучше сказать, OX-модули) которых имеют теоретико-множественный носитель в T. Обозначения B-qcoh и B-qcohT имеют аналогичный смысл применительно к квазикогерентным CDG-модулям.

Пусть B-qcohinj обозначает DG-категорию квазикогерентных CDG-модулей над B, подлежащие градуированные B-модули которых инъективны; B-qcohT,inj -- DG-категорию квазикогерентных CDG-модулей над B, подлежащие градуированные B-модули которых имеют теоретико-множественный носитель в Т и инъективны по отношению к абелевой категории градуированных B-модулей с таким носителем.

Лемма 1. a) H0(B-qcohinj) → Dco(B-qcoh) -- эквивалентность триангулированных категорий.
б) H0(B-qcohT,inj) → Dco(B-qcohT) -- эквивалентность триангулированных категорий.

Доказательство: см. раздел 3.7 книжки Two kinds of derived categories... Важно только, что прямые суммы градуированных B-модулей соответствующего класса точны и сохраняют инъективность. Последнее имеет место в силу локальной нетеровости категории квазикогерентных градуированных B-модулей (с ограничением на носитель или без такового).

Лемма 2. a) Dabs(B-coh) → Dco(B-qcoh) -- вполне строгий функтор, образ которого является множеством компактных образующих во второй категории.
б) Dabs(B-cohT) → Dco(B-qcohT) -- вполне строгий функтор, образ которого является множеством компактных образующих во второй категории.

Доказательство: аналогично разделу 3.11 книжки Two kinds of derived categories...

Следующая лемма доказывается в предположении, что свойство инъективности квазикогерентных градуированных модулей является локальным для всех квазикогерентных градуированных алгебр, для которых нам это может понадобиться (см.)

Лемма 3. а) Dabs(B-cohT) → Dabs(B-coh) -- вполне строгий функтор.
б) Dco(B-qcohT) → Dco(B-qcoh) -- вполне строгий функтор.

Доказательство: пункт а) следует из леммы 2 + пункта б), а пункт б) следует из леммы 1 + того факта, что инъективный объект в категории квазикогерентных градуированных B-модулей с носителем в T является в то же время и инъективным объектом в категории произвольных квазикогерентных градуированных B-модулей.

Последний факт выводится из леммы Артина-Риса следующим образом. Во-первых, вазикогерентный градуированный B-модуль J с носителем в T является инъективным объектом в своей категории тогда и только тогда, когда для любой структуры Z замкнутой подсхемы на T максимальный подпучок J, аннулируемый пучком идеалов Z, является инъективным квазикогерентным градуированным модулем над ограничением B на Z. Поэтому локальность инъективности квазикогерентных модулей над ограничениями B на замкнутые подсхемы (вместе с возможностью продолжения структур замкнутой подсхемы на данном замкнутом подмножестве с его пересечений с открытыми подсхемами) влечет локальность инъективности квазикогерентных градуированных B-модулей с носителем в Т. Поэтому вопрос сводится к случаю аффинной схемы.

Пусть теперь имеется коммутативное нетерово кольцо R, в нем идеал a, над ним алгебра B, над B модуль J с теоретико-множественным носителем в множестве нулей a, инъективный в классе таких. Пусть имеется конечно-порожденный B-модуль N и его подмодуль M, и гомоморфизм B-модулей φ: M → J. Поскольку M и a конечно порождены, найдется такое натуральное m, что φ факторизуется через M/amM. Согласно лемме Артина-Риса для идеалов, порожденных центральными элементами в некоммутативных нетеровых кольцах (см.), найдется такое натуральное n, что M ∩ anN ⊂ amM. Теперь остается продолжить гомоморфизм B-модулей в J с M/(M∩anN) на N/anN; оба последних B-модуля имеют теоретико-множественный носитель в множестве нулей a, так что это можно сделать.