Category: авто

Комодули и контрамодули - 2

Продолжение постинга http://posic.livejournal.com/1294642.html

Пусть C -- коассоциативное, коунитальное кокольцо над ассоциативным кольцом A, являющееся проективным левым A-модулем. Рассмотрим три категории:

(i) категория правых C-комодулей comod-C;
(ii) категория дискретных правых модулей discr-R над топологическим ассоциативным кольцом R = HomC(C,C)op (кольцо эндоморфизмов левого C-комодуля C с топологией, описанной в постинге http://posic.livejournal.com/1287429.html и далее по ссылкам);
(iii) категория Rex(C-contra) всех функторов из категории левых C-контрамодулей С-contra в категорию абелевых групп Ab, сохраняющих копределы.

Утверждается, что три категории (i)-(iii) естественным образом эквивалентны. Естественные функторы между ними образуют круговую диаграмму:

(i) → (ii): чтобы определить структуру правого R-модуля на правом C-комодуле N, нужно использовать изоморфизм N □C C = N. Ввиду этого изоморфизма, ясно, что эндоморфизмы левого C-комодуля C действуют слева на N. Поскольку образ каждого элемента из N в N □C C ⊂ N ⊗A C выражается в виде тензора, в который входит только конечное число элементов из C, это действие дискретно.

(ii) → (iii): категория C-contra отождествляется с категорией R-contra, как по ссылке (достаточно отождествить категории проективных объектов, для чего достаточно отождествить монады на категории множеств), после чего дискретному правому R-контрамодулю N сопоставляется функтор контратензорного произведения левых R-контрамодулей с ним N ⊙R −.

(iii) → (i): пусть F: C-contra → Ab -- функтор, сохраняющий копределы. Тогда F(HomC(C,C)) ⊗A C = F(HomC(C, C⊗AC)), поскольку ко-контра соответствие HomC(C,−) переводит прямые суммы копроективных C-комодулей в прямые суммы проективных C-контрамодулей. Теперь морфизм коумножения C → С ⊗A C индуцирует искомое отображение C-кодействия N → N ⊗A C на правом A-модуле N = F(HomC(C,C)).

Пусть теперь S -- полуассоциативная, полуунитальная полуалгебра над кокольцом C, являющаяся копроективным левым C-комодулем. Тогда аналогичные три категории тоже эквивалентны между собой:

(i) категория правых S-полумодулей simod-S;
(ii) категория дискретных правых модулей discr-R над топологическим ассоциативным кольцом R = HomS(S,S)op (кольцо эндоморфизмов левого S-полумодуля S с топологией, описанной по ссылке выше);
(iii) категория Rex(S-sicntr) всех функторов из категории левых S-полуконтрамодулей S-sicntr в категорию абелевых групп, сохраняющих копределы.

Круговая диаграмма функторов между ними строится так же, как выше; выпишем подробнее только первую и третью (самую интересную) конструкцию:

(i) → (ii): чтобы определить структуру правого R-модуля на правом S-полумодуле N, нужно использовать изоморфизм N ◊S S = N. Ввиду этого изоморфизма, ясно, что эндоморфизмы левого S-полумодуля S действуют слева на N.

Чтобы убедиться, что это действие дискретно, достаточно заметить, что (эндоморфизмы левого S-полумодуля определяются своими ограничениями на C, а) действие эндоморфизма S на конкретном элементе n из N определяется его действием на образах при отображении полуединицы в S тех элементов из C, которые входят в какое-нибудь выражение для тензора в N ⊗A C, являющегося образом элемента n при отображении правого C-кодействия.

(iii) → (i): пусть G: S-sicntr → Ab -- функтор, сохраняющий копределы. Компонуя ко-контра/полуко-полуконтра соответствие с функтором индуцирования полупроективных левых S-полумодулей с копроективных левых C-комодулей, получаем функтор из категории проективных левых C-контрамодулей в категорию проективных левых S-полуконтрамодулей, сохраняющий бесконечные прямые суммы и переводящий HomC(C,C) в HomS(S,S). Функтор этот можно однозначно продолжить до сохраняющего копределы функтора C-contra → S-sicntr. Компонуя полученный функтор с функтором G, получаем сохраняющий копределы функтор F: C-contra → Ab и связанный с ним правый C-комодуль N.

Теперь абелева группа/правый A-модуль N = G(HomS(S,S)) = F(HomC(C,C)) оказывается правым C-комодулем. Далее, имеем G(HomS(S,S)) □C S = G(HomS(S, S□CS)), поскольку полуко-полуконтра соответствие HomS(S,−) переводит прямые суммы полупроективных S-полумодулей в прямые суммы проективных S-полуконтрамодулей. Наконец, морфизм полуумножения S □C S → S индуцирует искомое отображение S-полудействия N □C S → N.

Контрагерентные копучки - 5

Продолжение http://posic.livejournal.com/823272.html?mode=reply


V. Ко-контра соответствие над нетеровой схемой с дуализирующим
комплексом

V.1. Ко-контра соответствие над регулярной схемой

Collapse )

V.2. Ко-контра соответствие над горенштейновой схемой

Collapse )

V.3. Контрагерентное тензорное произведение

Collapse )

V.4. Ко-контра соответствие над схемой с дуализирующим комплексом

Collapse )

V.5. Производные функторы прямого и обратного образа


A. Ко-контра соответствие для матричных факторизаций

B. D-\Omega двойственность и ко-контра соответствие


Часть 2. Контрагерентные копучки контрамодулей над нетеровыми
формальными схемами


C. Ко-контра соответствие над плоским кокольцом


Предполагаемые улучшения: Collapse )

Список возможных символов в верхнем индексе

Заметил, что все старания моей жизни сводятся во многом к тому, что там, где в классических источниках в формулировках базовых теорем о производных категориях писали "для любого символа * из набора b, +, − или ∅", примерно в тех же случаях, теперь по науке можно писать "для любого символа * из набора b, +, −, ∅, +abs, −abs, co, ctr или abs" или что-то в этом роде.

Контрагерентные копучки - 3

Продолжение http://posic.livejournal.com/790374.html?mode=reply


IV. Квазикомпактные полуотделимые схемы

IV.1. Квазикогерентные пучки кокручения и контраприспособленные

Collapse )

IV.2. Приспособленные классы локально контрагерентных копучков

Collapse )

IV.3. Гомологии локально контрагерентных копучков

Collapse )

IV.4. Производно и локально контрагерируемые копучки

Collapse )

IV.5. Производные категории точных категорий и резольвенты

Collapse )

Обозначения Свидлера для коумножения + знаки

составляют совершенную гремучую смесь. В формуле

(-1)|c(1)| c(1)a ⊗ c(2) = (-1)|c(1)| c(1) ⊗ ac(2),

где a -- нечетный оператор, сокращать знаковые множители, абсолютно одинаковые на вид слева и справа, ни в коем случае нельзя. Иначе смысл формулы поменяется на противоположный и вы будете битый час искать ошибку в ваших вычислениях.

Вообще обозначения Свидлера уродливы и дики, и все же они оказываются несопоставимо лучше любых приходящих в голову альтернатив. На изобретение современных обозначений для сложения и умножения ушли века; сколько-то времени понадобится, чтобы придумать хорошие обозначения для коумножения?