Category: авто

Category was added automatically. Read all entries about "авто".

Дедуализирующий комплекс для аффинной нетеровой формальной схемы

Продолжение сентябрьского постинга http://posic.livejournal.com/1105166.html , декабрьского http://posic.livejournal.com/1153742.html и январского http://posic.livejournal.com/1157340.html , см. также февральский http://posic.livejournal.com/1160333.html

Пусть R -- нетерово коммутативное кольцо с идеалом I. Конечный комплекс R-модулей I-кручения (т.е., в которых каждый элемент аннулируется некоторой степенью I) B называется дедуализирующим комплексом для (R,I), если

- B имеет конечную проективную размерность как комплекс объектов в абелевой категории R-модулей I-кручения;
- естественное отображение R^ = proj limn R/In → RHomR(B,B) является квазиизоморфизмом (комплексов абелевых групп);
- для любого n, подмодули элементов, аннулируемых In в R-модулях когомологий комплекса B являются конечно-порожденными R/In-модулями.

Теорема. Для любого (в обозначениях препринта Contraherent cosheaves) символа * = b, +, −, ∅, abs+, abs− или abs, производные функторы RHomR(B,−) и B⊗LR− задают эквивалентность "обычных" производных категорий D*((R,I)-tors) и D*((R,I)-contra) R-модулей I-кручения и R^-контрамодулей.

Доказательство: согласно рассуждениям из декабрьского постинга по ссылке выше, достаточно показать, что морфизмы сопряжения R^[[X]] → RHomR(B, B⊗LRR^[[X]]) = RHomR(B,B[X]) и B ⊗LR HomR(B,J) → J являются квазиизоморфизмами для всех множеств X и всех инъективных R-модулей I-кручения J.

Пусть K -- ограниченный снизу комплекс инъективных R-модулей I-кручения, снабженный квазиизоморфизмом B → K. Тогда HomR(K,K) -- неограниченный с обеих сторон комплекс плоских R-модулей кокручения, вычисляющий RHomR(B,B). Более того, комплекс R-модулей HomR(K,K) гомотопически плоский, поскольку для любого ацикличного конечного комплекса конечно-порожденных R-модулей С комплекс C ⊗R HomR(K,K) = HomR(HomR(C,K),K) ацикличен. Поэтому квазиизоморфизм R^ → HomR(K,K) индуцирует квазиизоморфизмы R/In → HomR(K,K)/In(K,K) = HomR/In((In)K, (In)K).

Далее, ввиду последнего третьего условия на комплекс B, комплекс R/In-модулей (In)K имеет конечно-порожденные R/In-модули когомологий.

(Продолжение следует.)

Экстраординарный обратный образ Делиня для матричных факторизаций

Теорема Делиня (из приложения к Residues and Duality) состоит в том, что для (по крайней мере, компактифицируемых) отделимых морфизмов конечного типа нетеровых схем можно определить функтор f+ между копроизводными категориями квазикогерентных пучков, который будет согласован с композициями морфизмов f, и при этом для открытых вложений будет совпадать с обычным обратным образом, а для собственных морфизмов -- сопряжен справа к прямому образу. (Делинь, конечно, писал об ограниченных снизу производных категориях, но утверждение верно для неограниченных копроизводных категорий, как впервые заметил, кажется, Гайцгори, и неверно для обычных неограниченных производных категорий, как показал раньше Нееман.)

Пусть теперь f: Y → X -- морфизм нетеровых схем, L -- линейное расслоение на X, и w -- его глобальное сечение. Нас интересуют копроизводные категории квазикогерентных матричных факторизаций потенциала w на X и потенциала f*w (являющегося сечением линейного расслоения f*L) на Y. Можно ли определить в такой ситуации функтор f+?

Надо бы посмотреть, проходит ли прямое (в духе приложения Делиня) доказательство этого утверждения для комплексов пучков, прописанное в моем контрагерентном препринте, в случае матричных факторизаций. С другой стороны, есть следующее альтернативное рассуждение, использущее ковариантную двойственность. Оно требует дополнительных предположений: полуотделимости обеих схем X и Y и существования дуализирующего комплекса DX на X. Дуализирующий комплекс DY тогда определяется как f+DX.

Теорема. Пусть f: Y → X -- собственный морфизм полуотделимых нетеровых схем, и пусть w -- сечение линейного расслоения L на X. Тогда эквивалентности производных категорий второго рода плоских и произвольных квазикогерентных матричных факторизаций Dabs((X,w)-flat) = Dco((X,w)-qcoh) и Dabs((Y,f*w)-flat) = Dco((Y,f*w)-qcoh), связанные с выбором дуализирующих комплексов DX и DY, преобразуют функтор обратного образа плоских квазикогерентных матричных факторизаций f*: Dabs((X,w)-flat) → Dabs((Y,f*w)-flat) в функтор f!, сопряженный справа к функтору прямого образа квазикогерентных матричных факторизаций Rf*: Dco((Y,f*w)-qcoh) → Dco((X,w)-qcoh).

Отметим, что в случае открытого вложения f (или даже, этального морфизма, а с известной поправкой и в случае гладкого) те же эквивалентности переводят функтор f* плоских матричных факторизаций в такой же обычный обратный образ f* произвольных квазикогерентных (коммутация очевидна для функтора D⊗O− из плоских м.ф. в произвольные квазикогерентные, являющегося локальным по построению). Так что таким образом действительно можно получить функтор типа f+.

Доказательство теоремы: для любой плоской матричной факторизации F на X, построим морфизм DY ⊗ f*F → f!(DX⊗F) в категории Dco((Y,f*w)-qcoh). Ввиду сопряженности, для этого достаточно построить морфизм f*(DY⊗f*F) → DX ⊗ F в Dco((X,w)-qcoh). Здесь нужно воспользоваться формулой проекции f*(DY⊗f*F) = f*DY ⊗ F и морфизмом сопряжения f*DY → DX.

Основной частью рассуждения является доказательство того, что построенный морфизм -- изоморфизм. Поскольку когерентные матричные факторизации являются компактными образующими в копроизводной категории квазикогерентных, достаточно показать, что функтор Hom из любой когерентной м.ф. N потенциала f*w на Y переводит наш морфизм в изоморфизм. Другими словами, речь идет об изоморфизме HomY(N, DY⊗f*F) = HomX(f*N, DX⊗F), где группы Hom берутся в копроизводных категориях квазикогерентных матричных факторизаций.

Та же самая конструкция доставляет естественное отображение из левой части желаемого изоморфизма групп Hom в правую: достаточно рассмотреть композицию HomY(N, DY⊗f*F) → HomX(f*N, f*(DY⊗f*F)) = HomX(f*N, f*DX ⊗ F) → HomX(f*N, DX⊗F). Далее, с обеих сторон во втором аргументе функтора Hom стоит объект, представленный, по построению, инъективной квазикогерентной матричной факторизацией. Поэтому функтор Hom можно считать в гомотопической категории вместо копроизводной.

Наконец, объект f*N можно строить по Чеху как тотализацию конечного комплекса матричных факторизаций, получающегося почленным применением конструкции комплекса Чеха к каждой из компонент матричной факторизации N. Аналогично, тензорные произведения во вторых аргументах функтора Hom строятся как тотализации конечных комплексов инъективных матричных факторизаций, строящихся как почленные тензорные произведения дуализирующих комплексов и плоских матричных факторизаций.

Зафиксировав входящие компоненты матричных факторизаций N и F (соответствующие каким-то двум вычетам по модулю 2), мы получаем морфизм конечных комплексов абелевых групп Hom, являющийся квазиизоморфизмом согласно теореме 5.15.3 из препринта 1209.2995. Остается отметить, что тотализация ацикличного конечного комплекса (неограниченных) комплексов абелевых групп ациклична.

Update: когерентность матричной факторизации N не используется в этом рассуждении (в отличие от рассуждения из 1209.2995, на которое приходится ссылаться). Поэтому можно просто считать N инъективной м.ф., и строить f*N соответственно (без всякого Чеха), что в такой ситуации тоже будет покомпонентной конструкцией (тривиальным образом).

Контрагерентные копучки - 5

Продолжение http://posic.livejournal.com/823272.html?mode=reply


V. Ко-контра соответствие над нетеровой схемой с дуализирующим
комплексом

V.1. Ко-контра соответствие над регулярной схемой

Collapse )

V.2. Ко-контра соответствие над горенштейновой схемой

Collapse )

V.3. Контрагерентное тензорное произведение

Collapse )

V.4. Ко-контра соответствие над схемой с дуализирующим комплексом

Collapse )

V.5. Производные функторы прямого и обратного образа


A. Ко-контра соответствие для матричных факторизаций

B. D-\Omega двойственность и ко-контра соответствие


Часть 2. Контрагерентные копучки контрамодулей над нетеровыми
формальными схемами


C. Ко-контра соответствие над плоским кокольцом


Предполагаемые улучшения: Collapse )

Список возможных символов в верхнем индексе

Заметил, что все старания моей жизни сводятся во многом к тому, что там, где в классических источниках в формулировках базовых теорем о производных категориях писали "для любого символа * из набора b, +, − или ∅", примерно в тех же случаях, теперь по науке можно писать "для любого символа * из набора b, +, −, ∅, +abs, −abs, co, ctr или abs" или что-то в этом роде.

Контрагерентные копучки - 3

Продолжение http://posic.livejournal.com/790374.html?mode=reply


IV. Квазикомпактные полуотделимые схемы

IV.1. Квазикогерентные пучки кокручения и контраприспособленные

Collapse )

IV.2. Приспособленные классы локально контрагерентных копучков

Collapse )

IV.3. Гомологии локально контрагерентных копучков

Collapse )

IV.4. Производно и локально контрагерируемые копучки

Collapse )

IV.5. Производные категории точных категорий и резольвенты

Collapse )

Еще один хороший вопрос про экзотические производные категории матричных факторизаций

Нельзя ли доказать, что пересечение Dabs(w-coh) и Dabs(w-qcohlf) внутри Dabs(w-qcoh) равно Dabs(w-cohlf)?

Если внутри Dco(w-qcoh) пересечение брать, то такое вряд ли будет верно: в случае горенштейновой объемлющей схемы X, это означало бы просто, что Dabs(w-coh) = Dabs(w-cohlf), что otherwise ниоткуда не следует и вообще мало похоже на правду. Да и функтор Dco(w-qcohlf) → Dco(w-qcoh) вряд ли в общем случае вполне строгий.

Когерентные CDG-модули, открытая подсхема, замкнутое дополнение - 1

Пусть (B,d,h) -- нетерова квазикогерентная CDG-алгебра на нетеровой схеме X, и пусть T⊂X -- замкнутое подмножество, U⊂X -- дополнение к T, рассматриваемое как открытая подсхема, Т⊂X. Пусть B-coh обозначает точную DG-категорию CDG-модулей над B, а B-cohT -- точную подкатегорию в B-coh, состоящую из CDG-модулей, подлежащие градуированные B-модули (или даже, лучше сказать, OX-модули) которых имеют теоретико-множественный носитель в T. Обозначения B-qcoh и B-qcohT имеют аналогичный смысл применительно к квазикогерентным CDG-модулям.

Пусть B-qcohinj обозначает DG-категорию квазикогерентных CDG-модулей над B, подлежащие градуированные B-модули которых инъективны; B-qcohT,inj -- DG-категорию квазикогерентных CDG-модулей над B, подлежащие градуированные B-модули которых имеют теоретико-множественный носитель в Т и инъективны по отношению к абелевой категории градуированных B-модулей с таким носителем.

Лемма 1. a) H0(B-qcohinj) → Dco(B-qcoh) -- эквивалентность триангулированных категорий.
б) H0(B-qcohT,inj) → Dco(B-qcohT) -- эквивалентность триангулированных категорий.

Доказательство: см. раздел 3.7 книжки Two kinds of derived categories... Важно только, что прямые суммы градуированных B-модулей соответствующего класса точны и сохраняют инъективность. Последнее имеет место в силу локальной нетеровости категории квазикогерентных градуированных B-модулей (с ограничением на носитель или без такового).

Лемма 2. a) Dabs(B-coh) → Dco(B-qcoh) -- вполне строгий функтор, образ которого является множеством компактных образующих во второй категории.
б) Dabs(B-cohT) → Dco(B-qcohT) -- вполне строгий функтор, образ которого является множеством компактных образующих во второй категории.

Доказательство: аналогично разделу 3.11 книжки Two kinds of derived categories...

Следующая лемма доказывается в предположении, что свойство инъективности квазикогерентных градуированных модулей является локальным для всех квазикогерентных градуированных алгебр, для которых нам это может понадобиться (см.)

Лемма 3. а) Dabs(B-cohT) → Dabs(B-coh) -- вполне строгий функтор.
б) Dco(B-qcohT) → Dco(B-qcoh) -- вполне строгий функтор.

Доказательство: пункт а) следует из леммы 2 + пункта б), а пункт б) следует из леммы 1 + того факта, что инъективный объект в категории квазикогерентных градуированных B-модулей с носителем в T является в то же время и инъективным объектом в категории произвольных квазикогерентных градуированных B-модулей.

Последний факт выводится из леммы Артина-Риса следующим образом. Во-первых, вазикогерентный градуированный B-модуль J с носителем в T является инъективным объектом в своей категории тогда и только тогда, когда для любой структуры Z замкнутой подсхемы на T максимальный подпучок J, аннулируемый пучком идеалов Z, является инъективным квазикогерентным градуированным модулем над ограничением B на Z. Поэтому локальность инъективности квазикогерентных модулей над ограничениями B на замкнутые подсхемы (вместе с возможностью продолжения структур замкнутой подсхемы на данном замкнутом подмножестве с его пересечений с открытыми подсхемами) влечет локальность инъективности квазикогерентных градуированных B-модулей с носителем в Т. Поэтому вопрос сводится к случаю аффинной схемы.

Пусть теперь имеется коммутативное нетерово кольцо R, в нем идеал a, над ним алгебра B, над B модуль J с теоретико-множественным носителем в множестве нулей a, инъективный в классе таких. Пусть имеется конечно-порожденный B-модуль N и его подмодуль M, и гомоморфизм B-модулей φ: M → J. Поскольку M и a конечно порождены, найдется такое натуральное m, что φ факторизуется через M/amM. Согласно лемме Артина-Риса для идеалов, порожденных центральными элементами в некоммутативных нетеровых кольцах (см.), найдется такое натуральное n, что M ∩ anN ⊂ amM. Теперь остается продолжить гомоморфизм B-модулей в J с M/(M∩anN) на N/anN; оба последних B-модуля имеют теоретико-множественный носитель в множестве нулей a, так что это можно сделать.

Любопытствующее-2

Интересно, как будет развиваться ситуация с автомобильными пробками в Москве?

Для того, чтобы поехать куда-то на автомобиле, нужен сам автомобиль, бензин и дорога. Автомобиль и бензин продаются за деньги; государство облагает их таможенными пошлинами и акцизами, увеличивая их цену сверх той, которая была бы на свободном рынке. Зато проезд по дорогам государство постановило сделать бесплатным.

Ранее советское государство постановило продавать по очень низким ценам многие виды еды. В результате мяса и сыра не было в продаже или за ними выстраивались длиннейшие очереди (подобно тому как сейчас машины стоят в очередях-пробках на городских улицах). Дешевым печеным хлебом люди кормили скот, и т.д. Кончилось все это, как известно, тем, что из продажи исчезло не только мясо, но и молоко, потом и хлеб, и когда в продовольственных магазинах Москвы уже окончательно нельзя было купить ничего, цены на еду освободили.

Как же будет развиваться ситуация с бесплатными дорогами? За три года, что я прожил заграницей, многое изменилось. Три года назад пойманные на улице водилы возили меня так: шоссе -- Садовое кольцо -- другое шоссе. Впечатление было, что в пробках на Садовом стоят все машины города (за исключением тех, которые стоят на Бульварном). Редкие отдельные водители сворачивали с проспектов на маленькие улочки, хвастаясь при этом, что ездят по Москве уже тридцать лет.

То, на что некоторым понадобилось тридцать лет, все остальные водители (кроме самых недавних приезжих) выучили за последние три года. На маленьких тихих улочках появились бампы. Теперь в пробках стоит не одно только Садовое и центр, а почти весь город. Показательно, что ввод в действие крупнейшей городской магистрали (Третьего транспортного кольца) сопровождается быстрым ухудшением ситуации с пробками.

По всей Москве строятся новые многоэтажные дома. Дома строят на месте закрываемых предприятий. Сносят пятиэтажки и строят на их месте 17-этажки. Население города растет, и еще быстрее растет число автомобилей. Невозможность за разумное время доехать в центр города из ближнего Подмосковья стала ключевым фактором, препятствующим переезду автовладельцев из Москвы в пригороды. Когда на Носовихинском шоссе случается авария, маршрутки Железнодорожный--Москва едут в объезд по каким-то лесным тропам.

Додумается ли кто-нибудь ввести плату за проезд по улицам и дорогам раньше, чем попытка проехать по Москве на автомобиле станет подобна попытке купить хлеб в декабре 91-го года?