Category: образование

Category was added automatically. Read all entries about "образование".

Будущее в тумане (начало серии постингов)

В начале 90-х годов я был студентом-старшекурсником мехмата МГУ. Отношения мои с этим небогоугодным заведением состояли в том, что оно предоставляло мне защиту от призыва в армию в настоящем и отчасти будущем времени, требуя взамен, чтобы я просыпался каждый понедельник в шесть утра и ехал отбывать номер на занятии по физкультуре. Отбытие номера имело такой вид, что я медленным шагом расхаживал взад-вперед по площадке, стремясь по возможности уклоняться от попадания в меня мячом, которым другие студенты на этой площадке играли в футбол.

В семь часов вечера в понедельник я с больной после "физкультуры" -- т.е., в смысле, бессонной или почти бессонной ночи -- головой приходил на семинар "имени Гельфанда", которым (за отсутствием уехавшего в Ратгерс И.М. Гельфанда) руководил А.Н.Р. На семинар этот я начал ходить школьником выпускного класса; тогда Гельфанд еще жил в Москве и проводил свой семинар сам.

По другим дням недели, я иногда занимался научной работой. Заметку про доказательство гипотезы Гивенталя о формулах Плюккера я отнес в редакцию "Функционального анализа" в мае 1990 года, статью про неоднородную квадратичную двойственность и кривизну -- в ноябре 92, заметку с контрпримером, показывающим, что формула Фрёберга не влечет кошулевость -- в феврале 94. В марте 94 мне исполнился 21 год.

Голубой мечтой моей об те годы было доказать рациональность рядов Гильберта кошулевых алгебр. Вопрос этот открыт до сих пор. Постепенно нарисовалась и вторая мечта -- построить производную неоднородную кошулеву двойственность. Ее удалось осуществить весной 1999, в год моего первого постдока в Штатах. Еще десять лет ушло на то, чтобы записать это решение -- препринт появился только весной 2009, мемуар вышел из печати в 2011.

Кроме того, занимался я в начале 90-х и неформальным преподаванием. В Главном Здании (где располагался мехмат) было трудно найти свободную аудиторию, поэтому мы обычно собирались в корпусе, где были ВМК и экономфак, и шли искать свободную комнату с доской и мелом там. Не все мои тогдашние преподавательские проекты были удачны, но некоторые были. В 1990-91 учебном году мы разбирали теорему Атьи-Зингера об индексе для операторов Дирака по книжке Гетцлера-Берлин-Вернь, в 1991-92 годах -- локальную и глобальную теорию полей классов по сборнику Касселса-Фрёлиха.

Как можно догадаться из вышеописанного, я бывал об те времена частенько в грустном настроении, и со мной из сочувствия беседовал добрый А.Н.Р. В частности, он предлагал мне представить себе, как я буду жить через пять лет. Я отвечал, что это совершенно невозможно, даже и на год вперед почти полный туман. А.Н. возражал, что на самом деле это не так уж трудно, и в особенности с годами будет становиться легче. У человека чуть постарше обычно уже есть перед глазами картина вероятного будущего.

Наверно, лучше бы я оказался неправ по существу этого спора. Но применительно лично ко мне ошибался А.Н.Р. В каком-нибудь 1992 году действительно невозможно было себе представить, что меня ждет в 1997. Но и в 2002 было столь же невозможно вообразить, как будет устроена моя жизнь в 2007. Да и в 2012 году никакой силой нельзя было догадаться, как я буду жить в 2017.

На дворе лето 2020, мне уже 47. У меня в ящике лежит свеженькая бумажка hosting agreement, по которой мой институт как бы договорился со мной о моем трудоустройстве на пять лет вперед. Вид на жительство в Чехии истекает в конце августа, но это (допустим) мелкая деталь -- можно ожидать, что мне его продлят. Впервые в жизни у меня есть некая разновидность трудового соглашения на пять лет вперед вне России, в стране условного Запада.

Делает ли это мою жизнь в какой-то мере предсказуемой на пять лет вперед? Впервые в жизни, я не отвечу на этот вопрос твердым "нет". Я скажу "не знаю".

Трудные задачи

Будем называть математическую задачу трудной (для данного решившего ее математика), если на ее решение ушло больше года. Т.е., больше года расстояния по времени между началом размышлений и получением желаемого результата. Следуя этому определению, первую свою трудную задачу я решил в начале 1993 года, т.е., в возрасте около двадцати лет. Вторую -- наверно, весной 1999 года. Потом летом 2000 и летом 2001.

В годы американской аспирантуры (1995-98) я не решил никаких трудных задач, но над несколькими начал размышлять (и решил позже). А самой трудной в моей жизни в этой метрике оказывается задача, которую я безуспешно пытался решить в аспирантуре (около 1996), а решил в итоге в начале 2010.

Автобиографическое

Я был воспитанником (полуподпольной в СССР) московской математической школы, и научные интересы мои формировались под влиянием общения с ее представителями, как в Москве, так и за границей. В период, предшествовавший американской аспирантуре (но включавший предварительную визиторскую поездку в США) -- где-то в 1992-95 годах -- я подобрал себе некий круг задач, или два несколько отдельных круга задач, показавшихся мне красивыми и увлекательными. Возраст мой был тогда 19-22 года.

Основные результаты были обнародованы в период 2007-2011 годов, или самое позднее (если иначе считать) к весне 2012. То есть, на это ушло двенадцать-пятнадцать -- до двадцати лет. Соответственно, к тому времени мне было уже 39. Поскольку публикаций, которые можно было бы предъявить, на протяжении всех этих лет почти не было -- мне пришлось вернуться из американского и европейских постдоков в Москву, где я на протяжении ряда лет был безработным почти без источников дохода, и т.д.

Когда же все это, наконец, обнародовалось и было подано в печать -- выяснилось, что идеи и результаты мои (на мой взгляд, замечательные) никого так уж особенно не впечатляют. Ни в Москве, ни в редакциях международных изданий. Жизнь ушла куда-то там вперед или назад, и суетливое "математическое сообщество" давно утратило (если когда-либо имело) какой-то особенный интерес к задачам, полюбившимся мне в юности. Новые большие, масштабные задачи, которые я подобрал себе в 2009-12 годах, никого в Москве не впечатляли тем более. Обстановка в России быстро детериорировала, как в общеполитическом смысле, так и вокруг меня лично.

Тогда я объявил международным изданиям ответный рецензионный бойкот и уехал из Москвы в эмиграцию, искать по свету, кому и где могли бы быть интересны мои наработки. И как ни странно, довольно быстро нашел. Или даже не нашел, а угадал: правильно ткнул пальцем в карту мира. Здесь я занимаюсь развитием и популяризацией моих идей, хотя и в несколько стесненных бытовых условиях: страна небогатая.

Я эмигрировал не только из Москвы, но и из московской математической школы. Мои нынешние соавторы никакого отношения к России не имеют, и тематика -- совершенно не московская. Конечно, Москва была во времена моей юности (и до сих пор в какой-то мере остается) одной из мировых математических столиц. Бостон, Принстон, Париж и Бонн, где я проводил время в аспирантуре и постдоках -- тем более. А Прага -- место более провинциальное (хотя здесь сильная группа специалистов по кольцам и модулям, с которыми я сотрудничаю). Но в последние годы я был готов заниматься любыми осмысленными математическими задачами, в которых можно существенным образом использовать или развить мои ключевые идеи предшествующих лет.

idealistic

А.Й. развел шикарную терминологию: бывает sequential derived completion, и бывает idealistic derived completion. Так и хочется сказать, что idealistic оно потому, что не realistic (хотя, конечно, имелся в виду всего лишь идеал в коммутативном кольце). Получается очень suggestive (и suggestiveness эта очень адекватна суровой реальности).

Однако, мне выпало переделывать мои записки на эту тему, написанные в последние дни декабря и в первых числах января, чтобы придать им форму, подобающую архивному препринту. Вот сейчас уже семь разделов готовы, но надо бы еще вставить восьмой. С этим придется подождать: завтра я иду слушать доклад на семинаре, послезавтра мне нужно готовить свою лекцию, а в среду -- читать ее.

... Ах, впрочем, нет. Ничего не бывает вполне готово на этой стадии. Но, скажем, пять разделов из семи готовы и шестой-седьмой частично.

Тридцать лет назад

https://www.facebook.com/grigory.sapov/posts/10212125012879954

Постинг Гр.С. навеял идею -- рассказать, что я делал в 1990 году.

В том году мне исполнилось 17 лет. В весеннем семестре (т.е., в первом полугодии) я был студентом второго курса, в осеннем -- третьего. На мехмате МГУ, будь он неладен.

Как раз в декабре 89 -- январе 90 года случился известный инцидент, когда некий доцент поставил мне незачет по курсу обыкновенных дифференциальных уравнений, с мотивировкой, что я решил выданную мне задачу, но из моего решения он увидел, что я не владею методом, для проверки владения которым эта задача была мне выдана. Пришлось пересдавать. А, кажется, с сентября 1990 и на последующие два года сложилась ситуация с занятиями по физкультуре, когда я вставал каждый понедельник в 6 утра, чтобы приехать к 8 часам на Воробьевы горы и там, переодевшись в спортивную форму, на протяжении полутора часов неспешно прогуливаться по площадке, на которой другие студенты играли в футбол. Стараясь по возможности уклоняться от попадания ими в меня мячом -- а то неприятно, в лицо может прилететь или еще куда. В общем, обычная тоскливая белиберда, но на что только не пойдешь ради военной кафедры (не бежать же на десять лет за границу от угрозы призыва в армию).

История сохранила точную дату -- 10 мая 1990 года я отнес в редакцию московского журнала "Функциональный анализ и его приложения" первую в своей жизни научную работу. Это была заметка на две странички, с доказательством, разбитым на шаги, нумерованные римскими цифрами от I до VII. Содержание заметки было придумано где-то в конце осени 1989, текст написан не позже начала весны 1990, но еще некоторое время потребовалось, чтобы дойти до редакции. Доказывалась в той работе гипотеза, сформулированная в такой же короткой заметке Саши Гивенталя (совершенно взрослого тогда уже математика, а впоследствии, пожалуй, даже и знаменитого). Фокус состоял в том, что в 1986-87 учебном году я прочел очень хороший аспирантский учебник по алгебраическим группам и алгебрам Ли, в 1988 году сдал по нему неформальный экзамен, и, в общем, действительно немножко владел материалом. Для человека, владевшего этим материалом, данная конкретная гипотеза была вполне разрешимой задачей.

В отличие от предыдущего сюжета, следующий я помню более смутно. Т.е., помнить-то я его помню, но привязка ко времени не настолько очевидна. Но все же мне кажется, что заниматься квадратичными алгебрами я начал где-то в начале 1990 года. Дело было так: мы А.В. беседовали у него дома, и он вдруг сказал, что надо бы придумать теорему Пуанкаре-Биркгофа-Витта для квадратичных алгебр. Имелись в виду, как мне помнится, алгебры с неоднородными квадратичными соотношениями.

"Понятно, что у обертывающей алгебры алгебры Ли квадратичные соотношения; но ведь квадратичные соотношения могут иметь самый разный вид. Что, собственно, должна утверждать теорема ПБВ для произвольных квадратичных соотношений?" -- не понял я. Аркаша на минуту задумался и объяснил, что надо ввести лексикографический порядок на мономах. Так оно все и закрутилось. К концу весны появилась формулировка "теорема ПБВ выполнена для любых неоднородных квадратичных соотношений с кошулевой однородной частью"; а летом 1990 года мы с Сашей П. уже вовсю рисовали бар-комплексы, спектральные последовательности и все прочее, связанное с квадратичными алгебрами, у А.В. на даче.

Связь моих нынешних занятий с первой работой, где доказывалась гипотеза Гивенталя про формулы Плюккера, прослеживается с трудом, если вообще. Но от квадратичных алгебр к контрамодулям тянется вполне отчетливая ниточка, через неоднородную кошулеву двойственность и контрапроизводные категории. В этом смысле, я до сих пор занимаюсь продолжением того, чем с подачи Аркаши начал заниматься тридцать лет назад.

P.S. Что до компьютеров, то мне кажется, что адрес е-мейла у меня появился году в 1991, наверное. В общем, скорее в 91, чем в 92. А может быть, и в конце 90-го. На домене 57-й школы. Чтобы получить письмо, надо было приехать в школу в подходящий момент, когда компьютерная комната ("хакерка") еще открыта, но уже свободна от уроков.

Но главной проблемой было послать письмо. Об те времена, пользоваться адресными книжками мы не умели; почту читали командой "mail", а отправляли командой "mail адрес". Правильно набрать "адрес" (адрес электронной почты получателя) удавалось в среднем со второй попытки, подчас и третьей. Среднее расстояние между попытками составляло пару недель. На протяжении которых получатель волновался, почему ему не пришел ответ на его письмо, пытался связаться со мной через третьих лиц, и т.д.

P.P.S. Не освещенной выше осталась преподавательская деятельность. Мне кажется, что в 1990-91 учебном году у нас был семинар, или скорее, что-то вроде неформального курса лекций, который я читал для своих знакомых и, приблизительно, сверстников. Курс был по книжке Гетцлера, Берлин и Вернь про теорему Атьи-Зингера об индексе для операторов Дирака, доказательство с помощью вычисления асимптотики ядра теплопроводности. В 1989-90 году я рассказывал про что-то другое -- возможно, про гомологическую алгебру, как обычно. Мы собирались в одном из зданий МГУ, чаще в том, где находились ВМК и экономфак -- там легче было найти свободную аудиторию. Происходило это обычно раз в неделю, часто (но не всегда) по вечерам, и длилось дольше обычной пары -- часа два-три. Когда звучал звонок и оказывалось, что комнате, где мы сидели, будет какое-то официальное занятие -- мы шли искать другую комнату.

P.P.P.S. Собственный домашний компьютер, о котором я мечтал много лет, появился у меня только в январе 1994 года. А электронная почта, через модем, звонивший по телефону с треском и гудками, и программу UUPC с бегущими по экрану цветными буковками, на нем заработала в январе 95 (поначалу очень плохо, с задержкой и потерей писем из-за ошибок в настройке сервера, потом получше).

Кстати, если быть совсем уж точным, то буковки были цветными в моем сознании человека, знавшего, как это выглядит -- на экране-то у меня дома они были разных красивых оттенков серого, поскольку монитор был черно-белым, что меня вполне устраивало.

Com и Lie

Как известно, операда Com двойственна по Кошулю к операде Lie. Поэтому между подходящими категориями коммутативных алгебр и алгебр Ли имеется эквивалентность.

Можно взять какой-нибудь учебник коммутативной алгебры, учебник по основам теории алгебр Ли и сравнить. Ничего общего.

В этом состоит известный парадокс. Разрешается он тем, что (оставляя в стороне разницу между алгебрами и коалгебрами и другие тонкости) кошулева двойственность означает эквивалентность между категориями коммутативных DG-алгебр и DG-алгебр Ли, а не просто алгебр в когомологической градуировке ноль.

К чему было это введение? К тому, что двенадцать дней назад Journal of Lie Theory принял к печати мою статью про гладкую двойственность (не путать с кошулевой двойственностью! гладкая двойственность есть разновидность ко-контра соответствия). А сегодня Journal of Commutative Algebra принял к печати статью трех авторов (один из них я) про вполне плоские модули.

В первой из двух работ контрамодули играют ключевую роль. Во второй работе контрамодули не упоминаются, но она основана на результатах предшествующей работы, в доказательствах которых, в той предшествующей работе, контрамодули играют ключевую роль.

В остальном между двумя статьями нет ничего общего, не считая вышеупомянутой двойственности между операдами Com и Lie.

Ну вот, значит это получается тридцать восьмая рецензированная публикация в моей жизни. И одиннадцатая принятая к печати работа за четырнадцать месяцев, что я живу постоянно в Праге.

Четверть века назад

а точнее сказать, в середине сентября 1994 года, я впервые в жизни пересек границу бывш. СССР, а точнее сказать, пространства, занимаемого территориями европейской части России и Украины. Направлялся я в США, где провел осенний семестр 94-95 учебного года -- три с половиной месяца, до конца декабря.

Служил я там визитором математического департамента Гарвардского университета на каком-то гранте для русских (или бывш. советских) ученых. Мне заплатили гигантские не только по моим тогдашним, но даже и по нынешним меркам деньги (что кажется особенно невероятным, если учесть, что у меня тогда даже не было степени Ph.D., которую я получил только в 1998), я съездил к друзьям и родственникам в Юту и в Калифорнию, и мы с Сашей В. сделали вот эту работу -- https://www.intlpress.com/site/pub/pages/journals/items/mrl/content/vols/0002/0006/a008/

А непосредственно перед отъездом в Штаты, на рубеже августа-сентября 1994 в Москве, я, напрягшись в русле приведения мыслей в порядок для подготовки к поездке, сделал эту работу -- https://arxiv.org/abs/alg-geom/9507014 . Я точно помню, когда это было, поскольку у меня осталось отчетливое воспоминание, что в процессе размышлений у меня очень сильно болела голова -- до такой степени, что я не смог, как тогда собирался, придти 1 сентября к 57-й школе.

Вернувшись в Москву на Новый год, я потерял чуть ли не месяц в неработоспособном состоянии из-за джетлага (с непривычки). Зато я привез себе домой из Америки новенький лазерный принтер Панасоник (так, кажется) -- в дополнение к компьютеру 486 DLC, который у меня был еще с начала 94 года. Потом я провел несколько весенне-летних месяцев, осваивая понятие точной категории, которое было мне нужно, чтобы заниматься мотивами с конечными коэффициентами (естественным продолжением сюжета работы с Сашей В., сделанной в Бостоне). А в сентябре 95 приехал в Гарвард снова -- на этот раз, уже в аспирантуру.

Поток рефлексии

Если пытаться все-таки спокойно проанализировать мою нынешнюю ситуацию, то начать можно с того, что первым "взрослым" математическим текстом, который я прочел, был аспирантский учебник по алгебраическим группам и алгебрам Ли. Это был 1986-87 учебный год, т.е., было мне тогда 13-14 лет, я был школьником предвыпускного класса -- но это как раз неважно. Потом летом 87 года Миша Ф. научил меня гомологической алгебре, и все завертелось.

Хотя, скорее, завертелось все все-таки позже, где-то в начале 1990 года, когда с подачи Аркаши В. я начал размышлять про теорему Пуанкаре-Биркгофа-Витта для квадратичных алгебр. Или даже еще позже, где-нибудь в 1992, когда Миша подсказал мне постановку задачи про производную неоднородную кошулеву двойственность (после того, как я придумал непроизводную).

Соответственно, главным примером ассоциативного кольца для меня на протяжении пары десятилетий оставалась универсальная обертывающая алгебры Ли, а "тематическим примером" производной неоднородной двойственности была двойственность между универсальной обертывающей и комплексом Шевалле-Эйленберга, считающим когомологии алгебры Ли. На примере полупростой алгебры Ли как раз очень удобно объяснять, в чем трудность задачи (комплекс Ш.-Э. полупростой алгебры Ли, рассматриваемый с точностью до мультипликативного квазиизоморфизма, почти ничего не знает про свою алгебру Ли). Где-то на горизонте маячило кольцо дифференциальных операторов в обнимку с комплексом де Рама, и т.д.

Следущим этапом стала полубесконечная гомологическая алгебра, классический случай которой -- это некоторые бесконечномерные алгебры Ли, типа Вирасоро и Каца-Муди. Если сравнить с тематикой моих нынешних занятий, типа сильно плоских модулей, то разница очевидна и очевидно направление движения: из центра на периферию, из столицы в провинцию. Все в столицах знают D-модули и Вирасоро; но никто никогда не слыхал про сильно плоские модули ни в Москве, ни в Бостоне; вряд ли даже в Париже.

Зря, между прочим, не слыхали: как минимум, в том виде, который это сюжет приобрел в результате моего вмешательства, он вполне заслуживает внимания. Заслуживает, но... получит ли? И когда?

Одна ситуация повторялась на протяжении почти всей моей жизни: мне настойчиво предлагали присоединиться на подчиненных ролях к мегапроекту той или иной знаменитости. В последние годы это бывали Концевич и Лури, раньше упоминались другие имена. Подобные предложения не могли меня заинтересовать, по вполне очевидной причине. У меня свой мегапроект.

Результат, однако, состоял и состоит в том, что я (или в любом случае, моя деятельность) оказывается в положении конкуренции с К. и Л. и другими подобными звездными персонажами. Поскольку же выиграть или хотя бы свести вничью подобную конкуренцию в каком-либо практическом плане (т.е., скажем, при жизни) я не в состоянии, то я оказываюсь в положении проигравшего. Это и называется по-русски "непризнанный гений".

Кончается это обычно тем, что кончаются ресурсы и вообще всякие возможности существования, и я перемещаюсь из относительно столичной точки Икс в более провинциальную точку Игрек (как в географическом, так и в тематическом смысле). К чему ведет движение по подобной траектории?

Трудно сказать; но можно предположить, что столица есть пространство конкуренции мегапроектов, меж тем как провинция есть пространство реализации частных аспектов мегапроектов, победивших в столицах. В той мере, в которой это так -- можно отметить, во-первых, нетривиальность выбора Праги (места, провинциального в каком-то одном смысле и столичного в каком-то другом).

Во-вторых, можно ожидать, что я и дальше буду печально наблюдать, как области влияния тех или иных столичных звезд расширяются и заполняют собой окружающее меня пространство, где бы я ни находился. Занимая то место, которое хотелось бы занять мне. Ничего поделать с этим нельзя; можно только продолжать работать, отражая постепенно усиливающееся давление.

C чего начинается родина?

спрашивал, говорят (я не помню) мой учитель математики Б.П. Гейдман на своих уроках. И сам себе отвечал: "Родина начинается с области определения функции".

Не знаю, с чего начинается родина; а моя статья зачастую начинается с нескольких страниц обсуждения философии во введении, за которыми следуют, наконец, определения основных понятий, о которых пойдет речь, и формулировки основных результатов.

Пришел ответ из Journ. of Algebra

Статья про S-почти совершенные коммутативные кольца принята к печати.

Это получается восьмая моя принятая к печати работа в этом учебном году, двадцать первая за последние пять лет, и тридцать пятая рецензированная публикация в моей жизни.