Category: авто

Category was added automatically. Read all entries about "авто".

Двойственность Серра-Гротендика для матричных факторизаций - 4

Пусть X -- отделимая нетерова схема с дуализирующим комплексом DX, i: X0 → X -- локус нулей локально не делящего ноль сечения w линейного расслоения L на X.

1. На триангулированной категории относительных особенностей DbSing(X0/X) действует функтор двойственности С.-Г. RHom(−,DX0), где, как обычно, DX0 = Ri!DX. В самом деле, комплексы пучков, пришедшие по Li* с X, функтор двойственности переводит в комплексы, пришедшие по Ri! с X, а это то же самое с точностью до сдвига и подкрутки на L.

2. Эквивалентность категорий DbSing(X0/X) = Dabs((X,L,w)−coh) переводит двойственность на одной категории в двойственность на другой. Проще всего проверять это для функтора Υ. Надо только заметить, что двойственность коммутирует с прямым образом при замкнутом вложении i.

3. Пусть имеется морфизм отделимых нетеровых схем с дуализирующими комплексами f: Y → X; предположим, что f*w не делит локально ноль на Y; пусть i': Y0 → Y -- локус нулей f*w. Предположим далее, что морфизм f0: Y0 → X0 -- собственный. Тогда двойственность в триангулированных категориях относительных особенностей DbSing(Y0/Y) и DbSing(X0/X) коммутирует с функтором прямого образа при морфизме f, поскольку двойственность на ограниченных производных категориях когерентных пучков с ним коммутирует.

4. Поэтому функтор прямого образа когерентных матричных факторизаций при морфизме f коммутирует с двойственностью.

5. Похоже, что все это обобщается на ситуацию с фиксированным теоретико-множественным носителем T ⊂ Y0 очевиднейшим образом.

Квазикогерентный внутренний Hom

Я всегда к нему относился с недоверием, но жизнь заставила, и как я теперь вижу, им все-таки можно пользоваться, если с осторожностью.

Скажем, допустим нас интересуют квазикогерентные DG-модули над DG-алгеброй де Рама Ω. Мы хотим распространить известную конструкцию функтора внутреннего Hom

Dabs(Ω−coh)op × Dco(Ω−qcoh) → Dco(Ω−qcoh)

(определяемого с помощью инъективных резольвент по второму аргументу) на квазикогерентные модули на месте первого аргумента. Получается, что 1. это можно сделать, и 2. единственным, но важным недостатком такой конструкции является ее нелокальность (несогласованность с ограничениями на открытое подмногообразие).

Ключевой факт состоит в том, что квазикогерентный внутренний Hom в инъективный Ω-модуль является точным функтором первого аргумента. Кроме того, такой Hom из плоского Ω-модуля в инъективный является инъективным. Ввиду этого, очевидный функтор

Hot(Ω−flat) × Hot(Ω−inj) → Hot(Ω−inj)

переводит аргументы, в которых первый элемент в паре коацикличен по отношению к классу плоских Ω-модулей, в стягиваемые DG-модули. В самом деле, ввиду точности, абсолютно ацикличные переходят в абсолютно ацикличные, а значит, в стягиваемые (поскольку инъективные коацикличные стягиваемы). Ну, а прямые суммы по первому аргументу переходят в произведения, и хотя произведения пучков вообще ведут себя плохо, но уж стягиваемые-то модули они переводят в стягиваемые.

Ввиду соответствующих результатов из старой серии постингов про резольвенты DG-модулей над Ω, получаем производный функтор внутреннего Hom'а

RHom: Dco(Ω−qcoh) × Dco(Ω−qcoh) → Dco(Ω−qcoh).

Правда, нам потребовалось разрешать оба аргумента, чтобы построить этот производный функтор. Что касается локальности, то для пар аргументов, первый из которых приходит из когерентного DG-модуля (принадлежит полной подкатегории Dabs(Ω-coh) в Dco(Ω-qcoh), функтор производного квазикогерентного внутреннего Hom-а [может быть?] локален; в общем же случае -- нет.

P.S. Только я что-то с ходу не соображу, почему этот новый внутренний Hom согласован с тем старым, который для когерентных первых аргументов...

Любопытствующее-2

Интересно, как будет развиваться ситуация с автомобильными пробками в Москве?

Для того, чтобы поехать куда-то на автомобиле, нужен сам автомобиль, бензин и дорога. Автомобиль и бензин продаются за деньги; государство облагает их таможенными пошлинами и акцизами, увеличивая их цену сверх той, которая была бы на свободном рынке. Зато проезд по дорогам государство постановило сделать бесплатным.

Ранее советское государство постановило продавать по очень низким ценам многие виды еды. В результате мяса и сыра не было в продаже или за ними выстраивались длиннейшие очереди (подобно тому как сейчас машины стоят в очередях-пробках на городских улицах). Дешевым печеным хлебом люди кормили скот, и т.д. Кончилось все это, как известно, тем, что из продажи исчезло не только мясо, но и молоко, потом и хлеб, и когда в продовольственных магазинах Москвы уже окончательно нельзя было купить ничего, цены на еду освободили.

Как же будет развиваться ситуация с бесплатными дорогами? За три года, что я прожил заграницей, многое изменилось. Три года назад пойманные на улице водилы возили меня так: шоссе -- Садовое кольцо -- другое шоссе. Впечатление было, что в пробках на Садовом стоят все машины города (за исключением тех, которые стоят на Бульварном). Редкие отдельные водители сворачивали с проспектов на маленькие улочки, хвастаясь при этом, что ездят по Москве уже тридцать лет.

То, на что некоторым понадобилось тридцать лет, все остальные водители (кроме самых недавних приезжих) выучили за последние три года. На маленьких тихих улочках появились бампы. Теперь в пробках стоит не одно только Садовое и центр, а почти весь город. Показательно, что ввод в действие крупнейшей городской магистрали (Третьего транспортного кольца) сопровождается быстрым ухудшением ситуации с пробками.

По всей Москве строятся новые многоэтажные дома. Дома строят на месте закрываемых предприятий. Сносят пятиэтажки и строят на их месте 17-этажки. Население города растет, и еще быстрее растет число автомобилей. Невозможность за разумное время доехать в центр города из ближнего Подмосковья стала ключевым фактором, препятствующим переезду автовладельцев из Москвы в пригороды. Когда на Носовихинском шоссе случается авария, маршрутки Железнодорожный--Москва едут в объезд по каким-то лесным тропам.

Додумается ли кто-нибудь ввести плату за проезд по улицам и дорогам раньше, чем попытка проехать по Москве на автомобиле станет подобна попытке купить хлеб в декабре 91-го года?