Геометрическая интуиция алгебраиста - 5
Рисовать я никогда не умел и не умею. Как рисуют тор и прочие сферы с ручками, я как-то запомнил; но нарисовать просто обычную сферу (так, чтобы было видно, что это сфера, а не окружность) мне обычно удавалось с трудом даже в последние годы. К нынешнему времени я уже, пожалуй, понимаю, как это сделать; но чтобы удовлетворительно нарисовать на доске двулистное накрытие окружности над окружностью, мне пришлось бы готовиться дома (опыт показывает, что с ходу это плохо получается). Когда мне последний раз захотелось нарисовать на доске узел-трилистник, я просто не знал, с чего начать.
Тем не менее, я два года преподавал топологию и дифференциальную геометрию у нас на факультете. На курсе топологии, геометрическое мышление особенно важно; многие задачи решаются с помощью рисования картинок. Более сильные и сообразительные из наших студентов бьют меня в этой игре наголову (менее сообразительные не бьют). Нередко бывало, что я предлагал задачу, имея в виду, что она решается с помощью алгебры и цепочки логических рассуждений, а студенты быстро находили простое геометрическое решение. Тем не менее я, конечно, понимаю и могу проверять такие решения; иначе я не мог бы заниматься таким преподаванием.
С другой стороны, бывают эпизоды, когда, допустим, на курсе алгебры (или той же топологии, но при обсуждении более алгебраических аспектов) я в некоторый момент начинаю рисовать простейшие картинки и апеллировать к геометрической интуиции. Скажем, обсуждаются полиномиальные уравнения четвертой степени; ввиду теории Галуа, там важны подгруппы группы перестановок четырех элементов. Среди таких подгрупп, есть и группа симметрий квадрата. Когда дело доходит до этой подгруппы, на доске рисуется квадратик, в вершинах которого определенным образом расставлены переставляемые номера от 1 до 4, или символы, обозначающие четыре корня уравнения, что-нибудь такое. Студенты не ожидают этого и бывают впечатлены. Я не почерпнул этот педагогический прием в книжке, я сам его придумал (у меня есть работа про группу симметрий многоугольника в теории Галуа, да).
В другом варианте, меня спросили, какая геометрическая картинка может соответствовать несепарабельному расширению полей (сепарабельное расширение, как известно, это такое накрытие). Я нарисовал мелом прямую, потом повернул кусок мела другой стороной и нарисовал сверху более широкую, толстую прямую. При обсуждении H-пространств и распетливания, на доске появился пятиугольник и были сказаны слова про продолжение отображения с его границы вовнутрь, и т.д. В общем, я бы сказал, что слабые студенты мыслят геометрически хуже меня, сильные -- лучше, но я часто лучше знаю, в какой момент нужно включать это геометрическое мышление.
Тем не менее, я два года преподавал топологию и дифференциальную геометрию у нас на факультете. На курсе топологии, геометрическое мышление особенно важно; многие задачи решаются с помощью рисования картинок. Более сильные и сообразительные из наших студентов бьют меня в этой игре наголову (менее сообразительные не бьют). Нередко бывало, что я предлагал задачу, имея в виду, что она решается с помощью алгебры и цепочки логических рассуждений, а студенты быстро находили простое геометрическое решение. Тем не менее я, конечно, понимаю и могу проверять такие решения; иначе я не мог бы заниматься таким преподаванием.
С другой стороны, бывают эпизоды, когда, допустим, на курсе алгебры (или той же топологии, но при обсуждении более алгебраических аспектов) я в некоторый момент начинаю рисовать простейшие картинки и апеллировать к геометрической интуиции. Скажем, обсуждаются полиномиальные уравнения четвертой степени; ввиду теории Галуа, там важны подгруппы группы перестановок четырех элементов. Среди таких подгрупп, есть и группа симметрий квадрата. Когда дело доходит до этой подгруппы, на доске рисуется квадратик, в вершинах которого определенным образом расставлены переставляемые номера от 1 до 4, или символы, обозначающие четыре корня уравнения, что-нибудь такое. Студенты не ожидают этого и бывают впечатлены. Я не почерпнул этот педагогический прием в книжке, я сам его придумал (у меня есть работа про группу симметрий многоугольника в теории Галуа, да).
В другом варианте, меня спросили, какая геометрическая картинка может соответствовать несепарабельному расширению полей (сепарабельное расширение, как известно, это такое накрытие). Я нарисовал мелом прямую, потом повернул кусок мела другой стороной и нарисовал сверху более широкую, толстую прямую. При обсуждении H-пространств и распетливания, на доске появился пятиугольник и были сказаны слова про продолжение отображения с его границы вовнутрь, и т.д. В общем, я бы сказал, что слабые студенты мыслят геометрически хуже меня, сильные -- лучше, но я часто лучше знаю, в какой момент нужно включать это геометрическое мышление.