Геометрическая интуиция алгебраиста
Знакомая жены моего брата, психолог, изучает геометрическое мышление вообще и в математике в частности, интересуясь, кажется, прежде всего людьми, у которых оно недостаточно развито (например, она писала про слепых, и т.д.) В данный момент она, как утверждается, интервьюирует известных математиков. Жена брата (Маша) сосватала ей меня как математика, который не пользуется геометрической интуицией.
Сегодня вечером мы встречались с Машей и Сеней по какому-то делу в центре города, и Маша заодно рассказала мне об этом и спросила, соглашусь ли я на интервью с этой девушкой. Я согласился, но прокомментировал, что не назвал бы себя таким математиком.
Маша удивилась и вспомнила, как мы обсуждали преподавание математики в начальной школе, и она говорила, что можно показывать сложение чисел на числовой прямой (геометрически). По воспоминаниям Маши (совпадающим с моими воспоминаниями) я тогда высказался, что мне бы это только мешало. Я подтвердил сегодня в разговоре, что я говорил или, во всяком случае, мог такое сказать, но тем не менее, математиком, не умеющим пользоваться или не пользующимся геометрической интуицией, я не являюсь.
Чтобы, с одной стороны, подготовиться к интервью, а с другой стороны, не спойлить его, я запишу здесь под замком мои мысли на эту тему, пришедшие в голову, пока я гулял после встречи, а потом добирался домой.
Прежде всего надо отметить, что Маша и Сеня когда-то выпустили два маткласса в 57-й школе, но в последние годы занимаются преподаванием математики в начальной школе детям со способностями на среднем уровне или даже ниже среднего (Маша работает в Центре Лечебной Педагогики, например). Источником описанного недоразумения (на самом деле, в целом длящегося между мной и Машей много лет, но сейчас особенно) является разница между восприятием математики математиками и учителями, а также детьми с хорошими и плохими способностями.
Прежде всего, несколько слов про мою научную работу: если мой личный стиль в математике может быть как-то выделен, то одним из его характерных элементов является интерес к изоморфизмам векторных пространств и, особенно, эквивалентностям категорий, т.е., говоря общими словами, результатам, устанавливающим эквивалентность а приори разных точек зрения, разных языков.
Один из моих важных результатов такой: было некое утверждение, формулировавшееся разными авторами, условно говоря, в форме А = Б, но при этом определение объекта Б хотя не полностью, но в существенной степени давалось в терминах объекта А и связи между Б и А. Теорема утверждала, что левая часть равна правой, но правая через определяется отчасти через левую (тривиализуя утверждение об эквивалентности). Я придумал определение объекта Б, внутренне естественное для него и полностью независимое от объекта А и связи между ними; теперь теорема об эквивалентности А и Б настолько нетривиальна, насколько это возможно.
Сегодня вечером мы встречались с Машей и Сеней по какому-то делу в центре города, и Маша заодно рассказала мне об этом и спросила, соглашусь ли я на интервью с этой девушкой. Я согласился, но прокомментировал, что не назвал бы себя таким математиком.
Маша удивилась и вспомнила, как мы обсуждали преподавание математики в начальной школе, и она говорила, что можно показывать сложение чисел на числовой прямой (геометрически). По воспоминаниям Маши (совпадающим с моими воспоминаниями) я тогда высказался, что мне бы это только мешало. Я подтвердил сегодня в разговоре, что я говорил или, во всяком случае, мог такое сказать, но тем не менее, математиком, не умеющим пользоваться или не пользующимся геометрической интуицией, я не являюсь.
Чтобы, с одной стороны, подготовиться к интервью, а с другой стороны, не спойлить его, я запишу здесь под замком мои мысли на эту тему, пришедшие в голову, пока я гулял после встречи, а потом добирался домой.
Прежде всего надо отметить, что Маша и Сеня когда-то выпустили два маткласса в 57-й школе, но в последние годы занимаются преподаванием математики в начальной школе детям со способностями на среднем уровне или даже ниже среднего (Маша работает в Центре Лечебной Педагогики, например). Источником описанного недоразумения (на самом деле, в целом длящегося между мной и Машей много лет, но сейчас особенно) является разница между восприятием математики математиками и учителями, а также детьми с хорошими и плохими способностями.
Прежде всего, несколько слов про мою научную работу: если мой личный стиль в математике может быть как-то выделен, то одним из его характерных элементов является интерес к изоморфизмам векторных пространств и, особенно, эквивалентностям категорий, т.е., говоря общими словами, результатам, устанавливающим эквивалентность а приори разных точек зрения, разных языков.
Один из моих важных результатов такой: было некое утверждение, формулировавшееся разными авторами, условно говоря, в форме А = Б, но при этом определение объекта Б хотя не полностью, но в существенной степени давалось в терминах объекта А и связи между Б и А. Теорема утверждала, что левая часть равна правой, но правая через определяется отчасти через левую (тривиализуя утверждение об эквивалентности). Я придумал определение объекта Б, внутренне естественное для него и полностью независимое от объекта А и связи между ними; теперь теорема об эквивалентности А и Б настолько нетривиальна, насколько это возможно.