Лёня Посицельский (posic) wrote,
Лёня Посицельский
posic

Categories:

Экстраординарный обратный образ Делиня для матричных факторизаций

Теорема Делиня (из приложения к Residues and Duality) состоит в том, что для (по крайней мере, компактифицируемых) отделимых морфизмов конечного типа нетеровых схем можно определить функтор f+ между копроизводными категориями квазикогерентных пучков, который будет согласован с композициями морфизмов f, и при этом для открытых вложений будет совпадать с обычным обратным образом, а для собственных морфизмов -- сопряжен справа к прямому образу. (Делинь, конечно, писал об ограниченных снизу производных категориях, но утверждение верно для неограниченных копроизводных категорий, как впервые заметил, кажется, Гайцгори, и неверно для обычных неограниченных производных категорий, как показал раньше Нееман.)

Пусть теперь f: Y → X -- морфизм нетеровых схем, L -- линейное расслоение на X, и w -- его глобальное сечение. Нас интересуют копроизводные категории квазикогерентных матричных факторизаций потенциала w на X и потенциала f*w (являющегося сечением линейного расслоения f*L) на Y. Можно ли определить в такой ситуации функтор f+?

Надо бы посмотреть, проходит ли прямое (в духе приложения Делиня) доказательство этого утверждения для комплексов пучков, прописанное в моем контрагерентном препринте, в случае матричных факторизаций. С другой стороны, есть следующее альтернативное рассуждение, использущее ковариантную двойственность. Оно требует дополнительных предположений: полуотделимости обеих схем X и Y и существования дуализирующего комплекса DX на X. Дуализирующий комплекс DY тогда определяется как f+DX.

Теорема. Пусть f: Y → X -- собственный морфизм полуотделимых нетеровых схем, и пусть w -- сечение линейного расслоения L на X. Тогда эквивалентности производных категорий второго рода плоских и произвольных квазикогерентных матричных факторизаций Dabs((X,w)-flat) = Dco((X,w)-qcoh) и Dabs((Y,f*w)-flat) = Dco((Y,f*w)-qcoh), связанные с выбором дуализирующих комплексов DX и DY, преобразуют функтор обратного образа плоских квазикогерентных матричных факторизаций f*: Dabs((X,w)-flat) → Dabs((Y,f*w)-flat) в функтор f!, сопряженный справа к функтору прямого образа квазикогерентных матричных факторизаций Rf*: Dco((Y,f*w)-qcoh) → Dco((X,w)-qcoh).

Отметим, что в случае открытого вложения f (или даже, этального морфизма, а с известной поправкой и в случае гладкого) те же эквивалентности переводят функтор f* плоских матричных факторизаций в такой же обычный обратный образ f* произвольных квазикогерентных (коммутация очевидна для функтора D⊗O− из плоских м.ф. в произвольные квазикогерентные, являющегося локальным по построению). Так что таким образом действительно можно получить функтор типа f+.

Доказательство теоремы: для любой плоской матричной факторизации F на X, построим морфизм DY ⊗ f*F → f!(DX⊗F) в категории Dco((Y,f*w)-qcoh). Ввиду сопряженности, для этого достаточно построить морфизм f*(DY⊗f*F) → DX ⊗ F в Dco((X,w)-qcoh). Здесь нужно воспользоваться формулой проекции f*(DY⊗f*F) = f*DY ⊗ F и морфизмом сопряжения f*DY → DX.

Основной частью рассуждения является доказательство того, что построенный морфизм -- изоморфизм. Поскольку когерентные матричные факторизации являются компактными образующими в копроизводной категории квазикогерентных, достаточно показать, что функтор Hom из любой когерентной м.ф. N потенциала f*w на Y переводит наш морфизм в изоморфизм. Другими словами, речь идет об изоморфизме HomY(N, DY⊗f*F) = HomX(f*N, DX⊗F), где группы Hom берутся в копроизводных категориях квазикогерентных матричных факторизаций.

Та же самая конструкция доставляет естественное отображение из левой части желаемого изоморфизма групп Hom в правую: достаточно рассмотреть композицию HomY(N, DY⊗f*F) → HomX(f*N, f*(DY⊗f*F)) = HomX(f*N, f*DX ⊗ F) → HomX(f*N, DX⊗F). Далее, с обеих сторон во втором аргументе функтора Hom стоит объект, представленный, по построению, инъективной квазикогерентной матричной факторизацией. Поэтому функтор Hom можно считать в гомотопической категории вместо копроизводной.

Наконец, объект f*N можно строить по Чеху как тотализацию конечного комплекса матричных факторизаций, получающегося почленным применением конструкции комплекса Чеха к каждой из компонент матричной факторизации N. Аналогично, тензорные произведения во вторых аргументах функтора Hom строятся как тотализации конечных комплексов инъективных матричных факторизаций, строящихся как почленные тензорные произведения дуализирующих комплексов и плоских матричных факторизаций.

Зафиксировав входящие компоненты матричных факторизаций N и F (соответствующие каким-то двум вычетам по модулю 2), мы получаем морфизм конечных комплексов абелевых групп Hom, являющийся квазиизоморфизмом согласно теореме 5.15.3 из препринта 1209.2995. Остается отметить, что тотализация ацикличного конечного комплекса (неограниченных) комплексов абелевых групп ациклична.

Update: когерентность матричной факторизации N не используется в этом рассуждении (в отличие от рассуждения из 1209.2995, на которое приходится ссылаться). Поэтому можно просто считать N инъективной м.ф., и строить f*N соответственно (без всякого Чеха), что в такой ситуации тоже будет покомпонентной конструкцией (тривиальным образом).
Tags: math7
Subscribe

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments