Локальность когерентно-плоскости - 2
Пусть теперь j: U→X, k: V→X и h:W→X -- естественные вложения. Рассмотрим квадратную диаграмму, образованную морфизмами j*FU ⊕ k*FV → h*FU|W и j*K|U ⊕ k*K|V → h*K|W. Здесь и далее все функторы прямого образа -- производные. Морфизм h*FU|W → h*K|W пусть будет индуцирован морфизмом FU → K|U. Как объяснено в конце первого постинга, эта диаграмма не коммутативна; но ее можно сделать коммутативной, добавив к члену j*K|U ⊕ k*K|V дополнительное прямое слагаемое h*E с морфизмом h*E → h*K|W, индуцированным морфизмом E → KW и морфизмом j*FU ⊕ k*FV → h*E, нулевым на первом слагаемом и индуцированным морфизмом FV|W = FW → E на втором.
Пусть F обозначает коконус морфизма j*FU ⊕ k*FV → h*FU|W и L -- коконус морфизма j*K|U ⊕ k*K|V ⊕ h*E → h*K|W. Тогда коммутативный квадрат продолжается до морфизма треугольников, т.е., имеется морфизм F → L. Поскольку коконус морфизма j*K|U ⊕ k*K|V → h*K|W изоморфен K, имеется также выделенный треугольник K → L → h*E → K[1]. Заметим, что комплексы F и h*E принадлежат Db(X-vfl) (поскольку класс ограниченных комплексов очень плоских пучков сохраняется прямыми образами при очень плоских морфизмах нетеровых схем, и в частности, при открытых вложениях). Далее, в ограничении на W комплекс h*E совершенен. Ограничив наш морфизм выделенных треугольников на W, отсюда легко заключить, что конус морфизма F → L является когерентным комплексом в ограничении на W. Рассматривая этот конус вместо объекта K, мы возвращаемся в ситуацию второго абзаца доказательства в первом постинге, добившись того, что комплекс K|W теперь принадлежит Db(W-coh) ⊂ Db(W-qcoh).
Следующий кусок нашего доказательства основан на теории локализации для копроизводных категорий квазикогерентных пучков на нетеровых схемах (аналогичной теории Томасона-Трубо-Неемана для обычных производных категорий, с той разницей, что вместо совершенных комплексов фигурируют произвольные ограниченные комплексы когерентных пучков). В большей общности квазикогерентных CDG-алгебр (ниже нас интересует случай квазикогерентной алгебры OX) этот сюжет изложен в разделе 1.10 препринта http://arxiv.org/abs/1102.0261v7 .
В частности, из результатов этого раздела вместе с теоремой 2.1.4-5 из статьи Неемана следует, что всякий морфизм из объекта категории Db(W-coh) в ограничение на W произвольного объекта K из Db(X-qcoh) (или даже из Dco(X-qcoh)) можно продолжить до морфизма в объект K из некоторого объекта категории Db(X-coh). Применяя это утверждение к тождественному морфизму K|W → K|W в ситуации выше, мы получаем морфизм в K из когерентного комплекса M над X, являющийся квази-изоморфизмом над W. Переходя к конусу этого морфизма, мы можем теперь предполагать, что наш комплекс K ацикличен над W.
Снова согласно результатам раздела 1.10, такой комплекс K квазиизоморфен (ограниченному) комплексу квазикогерентных пучков, члены которого сосредоточены теоретико-множественно на дополнении к W в X. Последнее есть замкнутое подмножество в X, являющееся объединением двух непересекающихся замкнутых подмножеств S и T -- дополнений к U и V. Теперь наш комплекс пучков K разлагается в прямую сумму двух комплексов, члены которых имеют носители соответственно внутри S и T.
Заметим, что все использовавшиеся редукции сохраняли свойство комплекса K быть когерентно-плоским в ограничении на U и V. Теперь можно рассматривать два слагаемых по-отдельности. Требуется показать, что всякий ограниченный комплекс квазикогерентных пучков K, члены которого имеют теоретико-множественные носители в замкнутом подмножестве T ⊂ X, и который является когерентно-плоским в ограничении на открытую подсхему T ⊂ U ⊂ X, является когерентно-плоским на всей схеме X.
Рассуждая, как в начале этого доказательства, мы имеем объект G из Db(U-vfl) вместе с морфизмом G → K|U, конус которого принадлежит Db(U-coh). Ограничение G|W принадлежит тогда одновременно Db(W-vfl) и Db(W-coh) и является, следовательно, совершенным комплексом на W. Снова по теореме Томасона-Трубо, объект G'|W можно продолжить до совершенного комплекса H на V. Коконус морфизма j*G' ⊕ k*H → h*G'|W доставляет объект F категории Db(X-vfl), изоморфный G' над U и H над V.
Теперь морфизм G' → K'|U однозначно продолжается до морфизма F → K' над X, поскольку носитель K' содержится в замкнутом подмножестве, находящемся внутри U. Конус морфизма F → K' является когерентным комплексом над X, поскольку он является таковым в ограничениях на U и V. Теорема доказана.
Пусть F обозначает коконус морфизма j*FU ⊕ k*FV → h*FU|W и L -- коконус морфизма j*K|U ⊕ k*K|V ⊕ h*E → h*K|W. Тогда коммутативный квадрат продолжается до морфизма треугольников, т.е., имеется морфизм F → L. Поскольку коконус морфизма j*K|U ⊕ k*K|V → h*K|W изоморфен K, имеется также выделенный треугольник K → L → h*E → K[1]. Заметим, что комплексы F и h*E принадлежат Db(X-vfl) (поскольку класс ограниченных комплексов очень плоских пучков сохраняется прямыми образами при очень плоских морфизмах нетеровых схем, и в частности, при открытых вложениях). Далее, в ограничении на W комплекс h*E совершенен. Ограничив наш морфизм выделенных треугольников на W, отсюда легко заключить, что конус морфизма F → L является когерентным комплексом в ограничении на W. Рассматривая этот конус вместо объекта K, мы возвращаемся в ситуацию второго абзаца доказательства в первом постинге, добившись того, что комплекс K|W теперь принадлежит Db(W-coh) ⊂ Db(W-qcoh).
Следующий кусок нашего доказательства основан на теории локализации для копроизводных категорий квазикогерентных пучков на нетеровых схемах (аналогичной теории Томасона-Трубо-Неемана для обычных производных категорий, с той разницей, что вместо совершенных комплексов фигурируют произвольные ограниченные комплексы когерентных пучков). В большей общности квазикогерентных CDG-алгебр (ниже нас интересует случай квазикогерентной алгебры OX) этот сюжет изложен в разделе 1.10 препринта http://arxiv.org/abs/1102.0261v7 .
В частности, из результатов этого раздела вместе с теоремой 2.1.4-5 из статьи Неемана следует, что всякий морфизм из объекта категории Db(W-coh) в ограничение на W произвольного объекта K из Db(X-qcoh) (или даже из Dco(X-qcoh)) можно продолжить до морфизма в объект K из некоторого объекта категории Db(X-coh). Применяя это утверждение к тождественному морфизму K|W → K|W в ситуации выше, мы получаем морфизм в K из когерентного комплекса M над X, являющийся квази-изоморфизмом над W. Переходя к конусу этого морфизма, мы можем теперь предполагать, что наш комплекс K ацикличен над W.
Снова согласно результатам раздела 1.10, такой комплекс K квазиизоморфен (ограниченному) комплексу квазикогерентных пучков, члены которого сосредоточены теоретико-множественно на дополнении к W в X. Последнее есть замкнутое подмножество в X, являющееся объединением двух непересекающихся замкнутых подмножеств S и T -- дополнений к U и V. Теперь наш комплекс пучков K разлагается в прямую сумму двух комплексов, члены которых имеют носители соответственно внутри S и T.
Заметим, что все использовавшиеся редукции сохраняли свойство комплекса K быть когерентно-плоским в ограничении на U и V. Теперь можно рассматривать два слагаемых по-отдельности. Требуется показать, что всякий ограниченный комплекс квазикогерентных пучков K, члены которого имеют теоретико-множественные носители в замкнутом подмножестве T ⊂ X, и который является когерентно-плоским в ограничении на открытую подсхему T ⊂ U ⊂ X, является когерентно-плоским на всей схеме X.
Рассуждая, как в начале этого доказательства, мы имеем объект G из Db(U-vfl) вместе с морфизмом G → K|U, конус которого принадлежит Db(U-coh). Ограничение G|W принадлежит тогда одновременно Db(W-vfl) и Db(W-coh) и является, следовательно, совершенным комплексом на W. Снова по теореме Томасона-Трубо, объект G'|W можно продолжить до совершенного комплекса H на V. Коконус морфизма j*G' ⊕ k*H → h*G'|W доставляет объект F категории Db(X-vfl), изоморфный G' над U и H над V.
Теперь морфизм G' → K'|U однозначно продолжается до морфизма F → K' над X, поскольку носитель K' содержится в замкнутом подмножестве, находящемся внутри U. Конус морфизма F → K' является когерентным комплексом над X, поскольку он является таковым в ограничениях на U и V. Теорема доказана.