Локальность когерентно-плоскости
Окончание постинга http://posic.livejournal.com/904226.html
Пусть X -- нетерова схема, и пусть Db(X-qcoh) обозначает ограниченную производную категорию абелевой категории X-qcoh квазикогерентных пучков на X. Рассмотрим две триангулированные подкатегории в этой триангулированной категории: ограниченную производную категорию Db(X-coh) абелевой категории когерентных пучков на X и ограниченную производную категорию Db(X-vfl) точной категории очень плоских квазикогерентных пучков (предполагая, что X имеет конечную размерность Крулля, можно просто говорить о плоских квазикогерентных пучках). Нас интересует триангулированная подкатегория "когерентно-плоских" комплексов в Db(X-qcoh), порожденная двумя вышеупомянутыми триангулированными подкатегориями.
Лемма. Предположим дополнительно, что на X имеется достаточно много векторных расслоений ( = локально свободных пучков конечного ранга). Тогда всякий морфизм из объекта подкатегории Db(X-vfl) в объект подкатегории Db(X-coh) внутри Db(X-qcoh) факторизуется через объект, лежащий в обеих подкатегориях (т.е., что то же самое, объект ограниченной производной категории Db(X-lf) локально свободных пучков конечного ранга на X, или, попросту говоря, совершенный комплекс).
Доказательство: см. доказательство предложения 1.13 в статье http://arxiv.org/abs/math/0302304 (важно, что очень плоские пучки имеют конечную проективную размерность в X-qcoh).
Нашей целью является следующее утверждение.
Теорема. В предположениях леммы, допустим, что схема X покрыта своими открытыми подсхемами U и V. Тогда всякий объект из Db(X-qcoh), ограничение которого на U принадлежит триангулированной подкатегории, порожденной Db(U-coh) и Db(U-vfl) внутри Db(U-qcoh), а ограничение на V -- принадлежит триангулированной подкатегории, порожденной Db(V-coh) и Db(V-vfl) внутри Db(V-qcoh),сам в свою очередь принадлежит является прямым слагаемым объекта, принадлежащего триангулированной подкатегории, порожденной Db(X-coh) и Db(X-vfl) внутри Db(X-qcoh).
Доказательство: из леммы вместе с аксиомой октаэдра следует, что всякий объект триангулированной подкатегории когерентно-плоских объектов в Db(Y-qcoh) можно включить средним членом в треугольник, где слева стоит объект из Db(Y-vfl), а справа -- из Db(Y-coh) (для любой нетеровой схемы Y с достаточным числом векторных расслоений).
Пусть теперь K -- наш ограниченный комплекс квазикогерентных пучков на X, являющийся когерентно-плоским в ограничении на U и V. Ввиду предыдущего абзаца, тогда существуют ограниченные комплексы очень плоских квазикогерентных пучков FU и FV вместе с морфизмами FU → K|U и FV → K|V в Db(U-qcoh) и Db(V-qcoh), конуса которых квазиизоморфны ограниченным комплексам когерентных пучков на U и V.
Далее, из леммы следует, что факторкатегория Db(Y-vfl) по Db(Y-lf) вкладывается в факторкатегорию Db(Y-qcoh) по Db(Y-coh) (для любой схемы Y как выше). Пусть W обозначает пересечение U ∩ V; тогда ограничения FU и FV на W изоморфны в Db(W-qcoh)/Db(W-coh), и следовательно, в Db(W-vfl)/Db(W-lf) тоже. Заметим, что категория Db(W-lf) идемпотентно замкнута и, следовательно, является толстой подкатегорией в Db(W-vfl) (хотя это вряд ли особенно важно). Из сказанного ясно, что на W имеется ограниченный комплекс очень плоских квазикогерентных пучков FW вместе с морфизмами FU|W → FW и FV|W → FW, конуса которых являются совершенными комплексами.
Обозначим коконуса этих морфизмов через GW и НW. Для любого объекта A триангулированной категории D будем обозначать через A' объект A ⊕ A[1]. Согласно теореме Томасона-Трубо, объекты G'W и H'W можно продолжить до совершенных комплексов на U и V, соответственно. Более того, эти продолжения GU и HV можно выбрать таким образом, что морфизмы G'W → F'U|W и H'W → F'V|W продолжатся до морфизмов GU → F'U и HV → F'V (см. http://www.ams.org/journals/jams/1996-9-01/S0894-0347-96-00174-9/S0894-0347-96-00174-9.pdf , теорема 2.1.4-5).
Далее, объекты G'U и H'V можно продолжить до совершенных комплексов B и C на всей схеме X таким образом, что композиции морфизмов G'U → F''U → K''|U и H'V → F''V → K''|V продолжатся до морфизмов B → K'' и C → K''. Переобозначая конус морфизма B ⊕ C → K'' через K, конус морфизма G'U → F''U через FU, и конус морфизма H'V → F''V через FV, мы можем предполагать, в контексте второго абзаца настоящего доказательства, что объекты FU|W и FV|W изоморфны в Db(W-vfl).
Изложенная конструкция не гарантирует, что полученный изоморфизм FU|W = FW = FV|W будет образовывать коммутативную диаграмму с ограничениями на W морфизмов FU → K|U и FV → K|V. Однако, первоначальный выбор морфизмов FU|W → FW и FV|W → FW в третьем абзаце обеспечивает коммутативность этой диаграммы в факторкатегории Db(W-qcoh)/Db(W-coh). Таким образом, разность двух морфизмов FW → K|W факторизуется через ограниченный комплекс когерентных пучков на W, а значит, согласно лемме, и через некоторый совершенный комплекс на W. Обозначим последний через E.
Пусть X -- нетерова схема, и пусть Db(X-qcoh) обозначает ограниченную производную категорию абелевой категории X-qcoh квазикогерентных пучков на X. Рассмотрим две триангулированные подкатегории в этой триангулированной категории: ограниченную производную категорию Db(X-coh) абелевой категории когерентных пучков на X и ограниченную производную категорию Db(X-vfl) точной категории очень плоских квазикогерентных пучков (предполагая, что X имеет конечную размерность Крулля, можно просто говорить о плоских квазикогерентных пучках). Нас интересует триангулированная подкатегория "когерентно-плоских" комплексов в Db(X-qcoh), порожденная двумя вышеупомянутыми триангулированными подкатегориями.
Лемма. Предположим дополнительно, что на X имеется достаточно много векторных расслоений ( = локально свободных пучков конечного ранга). Тогда всякий морфизм из объекта подкатегории Db(X-vfl) в объект подкатегории Db(X-coh) внутри Db(X-qcoh) факторизуется через объект, лежащий в обеих подкатегориях (т.е., что то же самое, объект ограниченной производной категории Db(X-lf) локально свободных пучков конечного ранга на X, или, попросту говоря, совершенный комплекс).
Доказательство: см. доказательство предложения 1.13 в статье http://arxiv.org/abs/math/0302304 (важно, что очень плоские пучки имеют конечную проективную размерность в X-qcoh).
Нашей целью является следующее утверждение.
Теорема. В предположениях леммы, допустим, что схема X покрыта своими открытыми подсхемами U и V. Тогда всякий объект из Db(X-qcoh), ограничение которого на U принадлежит триангулированной подкатегории, порожденной Db(U-coh) и Db(U-vfl) внутри Db(U-qcoh), а ограничение на V -- принадлежит триангулированной подкатегории, порожденной Db(V-coh) и Db(V-vfl) внутри Db(V-qcoh),
Доказательство: из леммы вместе с аксиомой октаэдра следует, что всякий объект триангулированной подкатегории когерентно-плоских объектов в Db(Y-qcoh) можно включить средним членом в треугольник, где слева стоит объект из Db(Y-vfl), а справа -- из Db(Y-coh) (для любой нетеровой схемы Y с достаточным числом векторных расслоений).
Пусть теперь K -- наш ограниченный комплекс квазикогерентных пучков на X, являющийся когерентно-плоским в ограничении на U и V. Ввиду предыдущего абзаца, тогда существуют ограниченные комплексы очень плоских квазикогерентных пучков FU и FV вместе с морфизмами FU → K|U и FV → K|V в Db(U-qcoh) и Db(V-qcoh), конуса которых квазиизоморфны ограниченным комплексам когерентных пучков на U и V.
Далее, из леммы следует, что факторкатегория Db(Y-vfl) по Db(Y-lf) вкладывается в факторкатегорию Db(Y-qcoh) по Db(Y-coh) (для любой схемы Y как выше). Пусть W обозначает пересечение U ∩ V; тогда ограничения FU и FV на W изоморфны в Db(W-qcoh)/Db(W-coh), и следовательно, в Db(W-vfl)/Db(W-lf) тоже. Заметим, что категория Db(W-lf) идемпотентно замкнута и, следовательно, является толстой подкатегорией в Db(W-vfl) (хотя это вряд ли особенно важно). Из сказанного ясно, что на W имеется ограниченный комплекс очень плоских квазикогерентных пучков FW вместе с морфизмами FU|W → FW и FV|W → FW, конуса которых являются совершенными комплексами.
Обозначим коконуса этих морфизмов через GW и НW. Для любого объекта A триангулированной категории D будем обозначать через A' объект A ⊕ A[1]. Согласно теореме Томасона-Трубо, объекты G'W и H'W можно продолжить до совершенных комплексов на U и V, соответственно. Более того, эти продолжения GU и HV можно выбрать таким образом, что морфизмы G'W → F'U|W и H'W → F'V|W продолжатся до морфизмов GU → F'U и HV → F'V (см. http://www.ams.org/journals/jams/1996-9-01/S0894-0347-96-00174-9/S0894-0347-96-00174-9.pdf , теорема 2.1.4-5).
Далее, объекты G'U и H'V можно продолжить до совершенных комплексов B и C на всей схеме X таким образом, что композиции морфизмов G'U → F''U → K''|U и H'V → F''V → K''|V продолжатся до морфизмов B → K'' и C → K''. Переобозначая конус морфизма B ⊕ C → K'' через K, конус морфизма G'U → F''U через FU, и конус морфизма H'V → F''V через FV, мы можем предполагать, в контексте второго абзаца настоящего доказательства, что объекты FU|W и FV|W изоморфны в Db(W-vfl).
Изложенная конструкция не гарантирует, что полученный изоморфизм FU|W = FW = FV|W будет образовывать коммутативную диаграмму с ограничениями на W морфизмов FU → K|U и FV → K|V. Однако, первоначальный выбор морфизмов FU|W → FW и FV|W → FW в третьем абзаце обеспечивает коммутативность этой диаграммы в факторкатегории Db(W-qcoh)/Db(W-coh). Таким образом, разность двух морфизмов FW → K|W факторизуется через ограниченный комплекс когерентных пучков на W, а значит, согласно лемме, и через некоторый совершенный комплекс на W. Обозначим последний через E.