Пусть R -- нетерово справа ассоциативное кольцо, m -- идеал в R, порожденный центральными элементами. Пусть R m ^ обозначает пополнение R в m-адической топологии, рассматриваемое как топологическое кольцо. Теорема 1. 1) Левый R m ^-контрамодуль P является плоским R-модулем тогда и только тогда, когда все R/m n -модули P/m n P плоские. Кроме того, в этих условиях естественное отображение P → lim n P/m n P является изоморфизмом. 2) В частности, свободные левые R m ^-контрамодули являются плоскими R-модулями. 3) Для любого плоского R-модуля F, такого что R/m-модуль F/mF проективен, и любого R m ^-контрамодуля Q, группы Ext R >0 (F,Q), посчитанные в категории R-модулей, зануляются. 4) В частности, забывающий функтор R m ^-contra → R-mod индуцирует изоморфизмы на всех группах Ext. 5) Кроме того, левый R m ^-контрамодуль F проективен тогда и только тогда, когда он R-плоский и R/m-модуль F/mF проективен. Утверждение 3) не зависит ни от каких предположений нетеровости. Правая нетеровость кольца R используется в доказательстве пункта 1) (от которого зависят 2) и 4)-5)). Теорема 2. Предположим, что все плоские левые R/m-модули имеют конечную проективную размерность. Тогда контрапроизводная категория левых R m ^-контрамодулей эквивалентна абсолютной производной категории R-плоских левых R m ^-контрамодулей и гомотопической категории комплексов свободных левых R m ^-контрамодулей. Доказательство: очевидно, в наших предположениях класс плоских левых R-модулей (и следовательно, R-плоских левых R m ^-контрамодулей) замкнут относительно бесконечных произведений, так что остается показать, что всяких R-плоский левый R m ^-контрамодуль имеет конечную проективную размерность в R m ^-contra. Последнее следует из пункта 5) теоремы 1.