Полупроизводные категории в геометрии + матричные факторизации (беседы с А.Е. и Р.Б.)
Пусть f: Y → X -- аффинный морфизм схем. Назовем полупроизводной категорией Dsi(Y/X-qcoh) квазикогерентных пучков на Y относительно X факторкатегорию гомотопической категории комплексов квазикогерентных пучков на Y по толстой подкатегории комплексов, прямые образы которых при морфизме f коацикличны на X (отметим, что функтор f* точен, так что подразумевается непроизводный индуцированный функтор, действующий непосредственно между категориями комплексов).
Предположим теперь дополнительно, что морфизм f имеет конечную плоскую размерность. Тогда хочется сказать, что между категориями Dsi(Y/X-qcoh) и Dco(X-qcoh) действует пара сопряженных фунторов прямого образа f* и обратного образа Lf*. Хотелось бы утверждать, что категория Dsi(Y/X-qcoh) компактно порождена, а подкатегорией компактных объектов в ней является толстая подкатегория, порожденная Lf*(Db(X-coh)).
В самом деле, функтор Lf* переводит компактные объекты в компактные, поскольку функтор f* сохраняет бесконечные прямые суммы. Далее, объект в Dsi(Y/X-qcoh), перпендикулярный Lf*(Db(X-coh)), переводится функтором f* в объект Dco(X-qcoh), перпендикулярный Db(X-coh), т.е., в нулевой объект -- что и требуется.
Вышеизложенное было известным образом связано с "когерентными матричными факторизациями" (или вернее, их триангулированными категориями особенностей). Хотелось бы иметь еще науку про "локально свободные матричные факторизации", но тут не очень понятно, что делать.
Можно было бы рассмотреть полную подкатегорию в Db(Y-coh), состоящую из объектов, прямые образы которых имеют конечную плоскую размерность как комплексы над X-qcoh. Что можно сказать про эту подкатегорию? Как она соотносится с предыдущими конструкциями? Можно ли доказать хотя бы аналоги результатов о полуортогональности/полной строгости, известных в случае матричных факторизаций? (Ответ на последний вопрос: видимо, да, если f -- конечный морфизм.)
Ср. http://posic.livejournal.com/844786.html , http://posic.livejournal.com/844391.html , http://posic.livejournal.com/844066.html
Предположим теперь дополнительно, что морфизм f имеет конечную плоскую размерность. Тогда хочется сказать, что между категориями Dsi(Y/X-qcoh) и Dco(X-qcoh) действует пара сопряженных фунторов прямого образа f* и обратного образа Lf*. Хотелось бы утверждать, что категория Dsi(Y/X-qcoh) компактно порождена, а подкатегорией компактных объектов в ней является толстая подкатегория, порожденная Lf*(Db(X-coh)).
В самом деле, функтор Lf* переводит компактные объекты в компактные, поскольку функтор f* сохраняет бесконечные прямые суммы. Далее, объект в Dsi(Y/X-qcoh), перпендикулярный Lf*(Db(X-coh)), переводится функтором f* в объект Dco(X-qcoh), перпендикулярный Db(X-coh), т.е., в нулевой объект -- что и требуется.
Вышеизложенное было известным образом связано с "когерентными матричными факторизациями" (или вернее, их триангулированными категориями особенностей). Хотелось бы иметь еще науку про "локально свободные матричные факторизации", но тут не очень понятно, что делать.
Можно было бы рассмотреть полную подкатегорию в Db(Y-coh), состоящую из объектов, прямые образы которых имеют конечную плоскую размерность как комплексы над X-qcoh. Что можно сказать про эту подкатегорию? Как она соотносится с предыдущими конструкциями? Можно ли доказать хотя бы аналоги результатов о полуортогональности/полной строгости, известных в случае матричных факторизаций? (Ответ на последний вопрос: видимо, да, если f -- конечный морфизм.)
Ср. http://posic.livejournal.com/844786.html , http://posic.livejournal.com/844391.html , http://posic.livejournal.com/844066.html