О чем так долго и непонятно твердили разнообразные большевики: функтор f^! им. Делиня вообще не определен на обычных неограниченных производных категориях квазикогерентных пучков. Как раз на этот счет приводится контрпример в конце статьи Неемана "The Grothendieck duality theorem via Bousfield's techniques and Brown representability", где он объясняет, что для более продвинутых результатов необходимо ограничиться ограниченными снизу комплексами. Для ограниченных снизу комплексов, конечно, нет никакой разницы между производной и копроизводной категориями. О том же самом примерно идет речь в препринте Дениса Г., на который я давал тут ссылку (или в любом случае в его прочтении Володей Х., от которого я об этом знаю -- сам я Дениса читаю как-то с трудом). Делиневский f^! действует между копроизводными категориями квазикогерентных пучков (в то время как неемановский f^! можно на выбор определять как действующий между обычными производными категориями, как у самого Неемана, или, в случае нетеровых схем, между копроизводными категориями). Просто если определять делиневский f^! как неемановский сопряженный функтор в случае собственного морфизма f, а в случае открытого вложения f -- как обычное ограничение, такое определение не будет корректным на обычных производных категориях неограниченных комплексов. К чему и приводится контрпример у Неемана. Аргументы же Делиня, доказывающие корректность этого определения, применимы (в случае неограниченных комплексов) к копроизводным, но не к производным категориям. В силу двух причин, одна из которых довольно тонкая. С одной стороны, П.Д. в сущности вычисляет Hom в объект-образ функтора f^! из любого ограниченного комплекса когерентных пучков, что однозначно определяет (в известном смысле -- гарантирует, что естественный морфизм будет изоморфизмом) объект сразу в копроизводной категории. Поскольку в ней ограниченные комплексы когерентных пучков -- компактные образующие. С другой стороны, ограничение инъективного квазикогерентного пучка на открытую подсхему нетеровой схемы является снова инъективным квазикогерентным пучком, чем пользуется П.Д. в своих рассуждениях. Но ограничение гомотопически инъективного комплекса квазикогерентных пучков на открытую подсхему нетеровой схемы (или даже на аффинную открытую подсхему аффинной нетеровой схемы) вовсе не является, вообще говоря, гомотопически инъективным комплексом. Вычисление Hom'а в производной категории квазикогерентных пучков, участвующее в доказательстве сопряженности при открытом вложении, ломается в этом месте. P.S. Отметим, что для морфизмов конечной плоской размерности вышеописанная проблема не возникает, поскольку производный прямой образ при таком собственном морфизме переводит совершенные комплексы в совершенные комплексы (поскольку он сохраняет классы когерентных комплексов и комплексов конечной плоской размерности). Так что неемановский функтор f^!, действующий на обычных производных категориях, сохраняет бесконечные прямые суммы и можно применить рассуждения из работы Неемана. С другой стороны, функтор Lf^* для комплексов квазикогерентных пучков действует только на обычных производных категориях, а чтобы он действовал на копроизводных категориях, нужно предполагать конечность плоской размерности морфизма f. Картинка складывается.