Разговор с Вадиком В. и Сашей Е. про связность Гаусса-Манина-Гетцлера
Пусть А -- ассоциативная алгебра над гладкой коммутативной алгеброй R над полем k. Как известно, Гетцлер построил связность "Гаусса-Манина" на периодических циклических гомологиях алгебры A относительно R (как на R-модуле). Есть идея, как можно было бы просто получить такую штуку, но она упирается в проблему, связанную с известной деликатностью производной кошулевой двойственности.
Утверждается, что гомологический комплекс Хохшильда является тензорным фунтором, т.е., в частности, C(R/k) есть DG-алгебра и C(A/k) есть DG-модуль над C(R/k). На том и другом действует также дифференциал Конна (бьющий в сторону, противоположную действию обычного дифференциала). DG-алгебра C(R/k) квазиизоморна алгебре дифференциальных форм на R, причем дифференциал Конна превращается этим квазиизоморфизмом в дифференциал де Рама. В результате C(A/k) оказывается DG-модулем над DG-алгеброй, получающейся добавлением к алгебре форм на R нечетной переменной, коммутатор с которой есть де Рамовский дифференциал.
Кошулева двойственность (над R) переводит последнюю алгебру в некую однородную версию дифференциальных операторов на R. Подействовав соответствующим функтором двойственности на уровне модулей на DG-модуль С(A/k), можно, как утверждается, получить C(A/R) как модуль над дифференциальными операторами на R. Проблема в том, чтобы определить C(A/k) как объект копроизводной категории DG-модулей; например, нужно, чтобы квазиизоморфизм DG-алгебр A' → A'' индуцировал ко-квази-изоморфизм таких DG-модулей.
Комплекс C(A/k) неположительно когомологически градуирован (относительно обычного дифференциала), как и комплекс C(R/k). Предполагая алгебру A гладкой, можно считать когомологии (но не сам комплекс) C(A/k) ограниченными снизу. Само по себе это не влечет еще того, чтобы квазиизоморфизмы были коквазиизоморфизмами.
Я предложил три идеи. В порядке убывания привлекательности:
1. Доказать, что C(A/k) определен с точностью до коквазиизоморфизма, используя каноническую фильтрацию, связанную с дифференциалом Конна -- для этого нужно знать, что подфакторы такой фильтрации являются точными фунторами от A, что представляется важным фундаментальным вопросом о дифференциале Конна -- последний не зависит от умножения в A, так что вопрос не вызывает сомнений в характеристике 0, а в конечной характеристике может мешать что-то вроде неточности функторов когомологий циклических групп (и это нужно проверять).
2. Предполагая A гладкой, заменить C(A/k) на его достаточно далекое каноническое обрезание по обычному дифференциалу, которое не зависит от места обрезания с точностью до коквазиизоморфизма, и к этому, вместо C(A/k), применять кошулеву двойственность.
3. Считать, что на стороне градуированной версии дифференциальных операторов стоят контрамодули, и использовать функтор двойственности с соответствующим пополнением (бесконечными произведениями тензорных произведений вдоль диагоналей), который определен на обычной производной категории DG-модулей над комплексом де Рама с добавленным элементом.
Утверждается, что гомологический комплекс Хохшильда является тензорным фунтором, т.е., в частности, C(R/k) есть DG-алгебра и C(A/k) есть DG-модуль над C(R/k). На том и другом действует также дифференциал Конна (бьющий в сторону, противоположную действию обычного дифференциала). DG-алгебра C(R/k) квазиизоморна алгебре дифференциальных форм на R, причем дифференциал Конна превращается этим квазиизоморфизмом в дифференциал де Рама. В результате C(A/k) оказывается DG-модулем над DG-алгеброй, получающейся добавлением к алгебре форм на R нечетной переменной, коммутатор с которой есть де Рамовский дифференциал.
Кошулева двойственность (над R) переводит последнюю алгебру в некую однородную версию дифференциальных операторов на R. Подействовав соответствующим функтором двойственности на уровне модулей на DG-модуль С(A/k), можно, как утверждается, получить C(A/R) как модуль над дифференциальными операторами на R. Проблема в том, чтобы определить C(A/k) как объект копроизводной категории DG-модулей; например, нужно, чтобы квазиизоморфизм DG-алгебр A' → A'' индуцировал ко-квази-изоморфизм таких DG-модулей.
Комплекс C(A/k) неположительно когомологически градуирован (относительно обычного дифференциала), как и комплекс C(R/k). Предполагая алгебру A гладкой, можно считать когомологии (но не сам комплекс) C(A/k) ограниченными снизу. Само по себе это не влечет еще того, чтобы квазиизоморфизмы были коквазиизоморфизмами.
Я предложил три идеи. В порядке убывания привлекательности:
1. Доказать, что C(A/k) определен с точностью до коквазиизоморфизма, используя каноническую фильтрацию, связанную с дифференциалом Конна -- для этого нужно знать, что подфакторы такой фильтрации являются точными фунторами от A, что представляется важным фундаментальным вопросом о дифференциале Конна -- последний не зависит от умножения в A, так что вопрос не вызывает сомнений в характеристике 0, а в конечной характеристике может мешать что-то вроде неточности функторов когомологий циклических групп (и это нужно проверять).
2. Предполагая A гладкой, заменить C(A/k) на его достаточно далекое каноническое обрезание по обычному дифференциалу, которое не зависит от места обрезания с точностью до коквазиизоморфизма, и к этому, вместо C(A/k), применять кошулеву двойственность.
3. Считать, что на стороне градуированной версии дифференциальных операторов стоят контрамодули, и использовать функтор двойственности с соответствующим пополнением (бесконечными произведениями тензорных произведений вдоль диагоналей), который определен на обычной производной категории DG-модулей над комплексом де Рама с добавленным элементом.