Лёня Посицельский (posic) wrote,
Лёня Посицельский
posic

Особое ограничение на замкнутую подсхему - 3

Продолжение http://posic.livejournal.com/839838.html и http://posic.livejournal.com/839999.html .

Лемма 1. Пусть R → S -- конечный морфизм нетеровых коммутативных колец, и пусть P -- плоский модуль кокручения над кольцом R. Тогда S⊗RP -- плоский модуль кокручения над кольцом S.

Доказательство: согласно основной теореме статьи Енокс-84 R-модуль P можно представить (например) как прямое слагаемое бесконечного произведения пополнений локальных колец точек спектра кольца R. Достаточно рассмотреть случай одного такого пополнения Rp. Тогда S⊗R Rp есть пополнение кольца S по идеалу Sp. Если qi -- простые идеалы в S, лежащие над p, то они образуют конечное множество (Мацумура Commutative ring theory упр. 9.3), пополнение S по Sp совпадает с пополнением S по произведению всех qi (поскольку системы степеней этих идеалов конфинальны, по крайней мере, после локализации по R \ p), последнее пополнение есть произведение пополнений по отдельным qi (loc. cit. теорема 8.15). По той же теореме Енокса, такие пополнения являются плоскими S-модулями кокручения.

Лемма 2. Пусть R → S -- конечный морфизм нетеровых коммутативных колец конечной размерности Крулля. Тогда S-модуль Q является S-модулем кокручения титтк он является R-модулем кокручения.

Доказательство: часть "только тогда" -- частный случай общего результата о сохранении свойства кокручения при ограничении скаляров по любому морфизму ассоциативных колец. Чтобы доказать "тогда", отметим, что согласно Рейно-Грюзону всякий плоский S-модуль имеет конечную правую резольвенту из плоских S-модулей кокручения. Поэтому достаточно проверить, что ExtS>0(G,Q) = 0 для любого плоского S-модуля кокручения G. Из доказательства леммы 1 ясно, что G является прямым слагаемым S-модуля вида S⊗RF для некоторого плоского R-модуля кокручения F. Теперь ExtS>0(S⊗RF, Q) = ExtR>0(F,Q) = 0.

Лемма 3. Пусть R → S -- морфизм из когерентного кольца R в кольцо S, являющееся конечно представимым R-модулем в индуцированной структуре. Пусть F -- плоский R-модуль кокручения и P -- плоский R-модуль кокручения. Тогда естественный гомоморфизм S-модулей S ⊗R HomR(F,P) → HomS(S⊗RF, S⊗RP) является изоморфизмом.

Доказательство: отображение S ⊗R HomR(F,P) → HomR(F, S⊗RP) является изоморфизмом согласно следствию 1.6.3(с) из 1209.2995.
Tags: math6
Subscribe

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments