Хотелось доказать следующий результат, но получилось слабее. Лемма. Пусть C и D -- компактно порожденные триангулированные категории, и пусть G: C → D -- триангулированный функтор, имеющий левый сопряжденный функтор F и правый сопряженный функтор H. Тогда ядро (триангулированная подкатегория аннулируемых объектов) функтора G компактно порождено теми компактными объектами C, которые в нем содержатся. Доказательство. Поскольку функтор G имеет правый сопряженный, он сохраняет бесконечные прямые суммы. Поскольку функтор F имеет правый сопряженный, он тоже сохраняет бесконечные прямые суммы. Поскольку правый сопряженный функтор G к функтору F сохраняет бесконечные прямые суммы, функтор F отображает компактные объекты в компактные. Таким образом, локализующая подкатегория E ⊂ C, натянутая на образ функтора F, порождена теми компактными объектами категории C, которые в ней содержатся. Следовательно, факторкатегория C/E компактно порождена образами компактных объектов из C. Функтор локализации C → C/E имеет вполне строгий правый сопряженный, образ которого есть правое ортогональное дополнение к E в C. Последнее есть в точности интересующее нас ядро функтора G. Поскольку функтор G сохраняет бесконечные прямые суммы, ядро его замкнуто относительно бесконечных прямых сумм в C. Таким образом, правый сопряженный функтор к локализации сохраняет бесконечные прямые суммы [это, кажется, общий факт для факторкатегорий по подкатегориям, порожденным компактными объектами больших категорий]. Мы показали, что ядро функтора G порождено, с помощью бесконечных прямых сумм в C, образами компактных объектов в C при композиции функтора локализации и его правого сопряженного C → C/E → C (каковые образы компактны в этом ядре). Это то, что удается доказать, а больше не удается мне сейчас (сколько сопряженных функторов со всех сторон ни предполагай). *** На самом деле, выше показано, что коядро функтора F естественно эквивалентно ядру функтора G. В применении к матричным факторизациям, нас интересует: С -- копроизводная категория квазикогерентных пучков на X 0 , D -- копроизводная категория квазикогерентных пучков на X, F -- левый производный функтор обратного образа Li* (где i: X 0 → X -- замкнутое вложение), G -- функтор прямого образа i * , H -- правый производный функтор сечений с носителем Ri ! . Вывод состоит в том, что конструкции 1. и 2. из предпредыдущего постинга производят естественно эквивалентные "большие триангулированные категории относительных особенностей".