Большие относительные триангулированные категории особенностей
Развитие http://posic.livejournal.com/655672.html
1. Пусть Z -- замкнутая подсхема в нетеровой отделимой схеме X, такая что морфизм вложения имеет конечную плоскую размерность. Тогда есть корректно определенный левый производный функтор ограничения с X на Z, действующий между копроизводными категориями квазикогерентных пучков на X и Z. Более того, этот функтор отображает ацикличные комплексы в ацикличные комплексы.
Дальше нам понадобится что-то вроде плоских или локально свободных пучков. Здесь развилка: локально свободных пучков может не быть, и нужно отдельно требовать, чтобы их было достаточно много. Плоских пучков всегда хватает (на квазикомп. полуотделимой схеме), но чтобы их использовать, нужно знать, что проективные размерности плоских модулей конечны, что означает (благодаря Рейно-Грюзону) предполагать конечность размерности Крулля наряду с нетеровостью. Наконец, можно использовать очень плоские пучки, обладающие преимуществами и лишенные недостатков обоих предыдущих вариантов, но имеющие другой недостаток, что я один их только и знаю, как есть сам недавно придумавши.
Так вот, минимальная триангулированная подкатегория в гомотопической категории комплексов квазикогерентных пучков, содержащая одиночные очень плоские пучки и замкнутая относительно бесконечных прямых сумм, образует полуортогональное разложение вместе с подкатегорией ацикличных комплексов. Это верно как на Z, так и на X. Далее, ограничение с X на Z переводит очень плоские пучки в очень плоские пучки и всякий очень плоский пучок на Z лежит в толстой подкатегории, порожденной ограничениями таких пучков с X.
Поэтому факторкатегория копроизводной категории квазикогерентных пучков на Z по локализующей подкатегории, порожденной левыми производными ограничениями с X, совпадает с факторкатегорией подкатегории ацикличных комплексов в копроизводной категории квазикогерентных пучков на Z по локализующей подкатегории, порожденной левыми производными ограничениями ацикличных комплексов с X.
Если теперь Z -- дивизор Картье в X, то левое и правое производные ограничения отличаются только подкруткой и сдвигом, так что ту же категорию можно получить факторизацией гомотопической категории (ацикличных) комплексов инъективных пучков на Z по локализующей подкатегории, порожденной !-ограничениями (ацикличных) комплексов инъективных пучков с X.
Это -- относительная версия "в смысле коядра функтора обратного образа" стабильной производной категории нетеровой схемы им. Х.К.
2. Относительную версию "в смысле ядра функтора прямого образа" стабильной производной категории нетеровой схемы определить проще, поскольку определение только одно и устанавливать эквивалентность разных вариантов не требуется. Для любой замкнутой подсхемы Z в отделимой нетеровой схеме X, рассматривается ядро отображения прямого образа между копроизводными категориями квазикогерентных пучков на Z и X, т.е. полная подкатегория в копроизводной категории квазикогерентных пучков на Z, состоящая из комплексов, прямые образы которых коацикличны на X.
Пусть L -- линейное расслоение на нетеровой отделимой схеме X, пусть w -- его локально не делящее 0 сечение, и пусть X0 -- подсхема нулей w. Покажем (чтобы с чего-нибудь начать), что для лыбой очень плоской матричной факторизации w соответствующий бесконечный ацикличный комплекс ограничений на X0 становится коацикличным после взятия прамого образа на X. В самом деле, поскольку точная категория очень плоских пучков имеет конечную гомологическую размерность, достаточно показать, что пучки коциклов этого ацикличного комплекса имеют конечные очень плоские размерности. На самом деле, как объясняется в моей статье, они имеют очень плоские размерности не больше 1.
1. Пусть Z -- замкнутая подсхема в нетеровой отделимой схеме X, такая что морфизм вложения имеет конечную плоскую размерность. Тогда есть корректно определенный левый производный функтор ограничения с X на Z, действующий между копроизводными категориями квазикогерентных пучков на X и Z. Более того, этот функтор отображает ацикличные комплексы в ацикличные комплексы.
Дальше нам понадобится что-то вроде плоских или локально свободных пучков. Здесь развилка: локально свободных пучков может не быть, и нужно отдельно требовать, чтобы их было достаточно много. Плоских пучков всегда хватает (на квазикомп. полуотделимой схеме), но чтобы их использовать, нужно знать, что проективные размерности плоских модулей конечны, что означает (благодаря Рейно-Грюзону) предполагать конечность размерности Крулля наряду с нетеровостью. Наконец, можно использовать очень плоские пучки, обладающие преимуществами и лишенные недостатков обоих предыдущих вариантов, но имеющие другой недостаток, что я один их только и знаю, как есть сам недавно придумавши.
Так вот, минимальная триангулированная подкатегория в гомотопической категории комплексов квазикогерентных пучков, содержащая одиночные очень плоские пучки и замкнутая относительно бесконечных прямых сумм, образует полуортогональное разложение вместе с подкатегорией ацикличных комплексов. Это верно как на Z, так и на X. Далее, ограничение с X на Z переводит очень плоские пучки в очень плоские пучки и всякий очень плоский пучок на Z лежит в толстой подкатегории, порожденной ограничениями таких пучков с X.
Поэтому факторкатегория копроизводной категории квазикогерентных пучков на Z по локализующей подкатегории, порожденной левыми производными ограничениями с X, совпадает с факторкатегорией подкатегории ацикличных комплексов в копроизводной категории квазикогерентных пучков на Z по локализующей подкатегории, порожденной левыми производными ограничениями ацикличных комплексов с X.
Если теперь Z -- дивизор Картье в X, то левое и правое производные ограничения отличаются только подкруткой и сдвигом, так что ту же категорию можно получить факторизацией гомотопической категории (ацикличных) комплексов инъективных пучков на Z по локализующей подкатегории, порожденной !-ограничениями (ацикличных) комплексов инъективных пучков с X.
Это -- относительная версия "в смысле коядра функтора обратного образа" стабильной производной категории нетеровой схемы им. Х.К.
2. Относительную версию "в смысле ядра функтора прямого образа" стабильной производной категории нетеровой схемы определить проще, поскольку определение только одно и устанавливать эквивалентность разных вариантов не требуется. Для любой замкнутой подсхемы Z в отделимой нетеровой схеме X, рассматривается ядро отображения прямого образа между копроизводными категориями квазикогерентных пучков на Z и X, т.е. полная подкатегория в копроизводной категории квазикогерентных пучков на Z, состоящая из комплексов, прямые образы которых коацикличны на X.
Пусть L -- линейное расслоение на нетеровой отделимой схеме X, пусть w -- его локально не делящее 0 сечение, и пусть X0 -- подсхема нулей w. Покажем (чтобы с чего-нибудь начать), что для лыбой очень плоской матричной факторизации w соответствующий бесконечный ацикличный комплекс ограничений на X0 становится коацикличным после взятия прамого образа на X. В самом деле, поскольку точная категория очень плоских пучков имеет конечную гомологическую размерность, достаточно показать, что пучки коциклов этого ацикличного комплекса имеют конечные очень плоские размерности. На самом деле, как объясняется в моей статье, они имеют очень плоские размерности не больше 1.