Разговор с Х.К. - 1
Х. считает, что гомотопическая категория комплексов инъективных объектов над произвольным (= ненетеровым) кольцом -- неправильный объект. Вместо этого, он предлагает такую конструкцию.
Конечно-представимые модули над произвольным кольцом образуют точную категорию (поскольку их класс замкнут относительно расширений). Хочется реализовать ее ограниченную производную категорию как категорию компактных объектов в некоторой триангулированной категории.
Для этого, рассмотрим инъективные резольвенты всех конечно представимых модулей; это такие объекты в гомотопической категории произвольных комплексов модулей. Породим ими полную триангулированную подкатегорию, замкнутую относительно бесконечных прямых сумм. Это будет компактно порожденная триангулированная категория, поскольку инъективные резольвенты конечно представимых (и, по-моему, даже конечно порожденных) объектов компактны в гомотопической категории всех комплексов инъективных объектов. (Upd: На самом деле, я не понимаю этого. Прямые суммы комплексов инъективных модулей не являются ведь комплексами инъективных модулей, над ненетеровым кольцом. Они комплексы fp-инъективных модулей, правда, но я не вижу, чтобы это помогало.)
Следовательно, эту триангулированную категорию можно также описать как факторкатегорию гомотопической категории произвольных комплексов модулей по таким, Hom-ы в которые из инъективных резольвент конечно представимых модулей зануляются в гомотопической категории. (Компактно порожденная триангулированная категория, вложенная в любую триангулированную категорию функтором, сохраняющим бесконечные прямые суммы, образует полуортогональное разложение вместе со своим правым ортогональным дополнением.)
Конечно-представимые модули над произвольным кольцом образуют точную категорию (поскольку их класс замкнут относительно расширений). Хочется реализовать ее ограниченную производную категорию как категорию компактных объектов в некоторой триангулированной категории.
Для этого, рассмотрим инъективные резольвенты всех конечно представимых модулей; это такие объекты в гомотопической категории произвольных комплексов модулей. Породим ими полную триангулированную подкатегорию, замкнутую относительно бесконечных прямых сумм. Это будет компактно порожденная триангулированная категория, поскольку инъективные резольвенты конечно представимых (и, по-моему, даже конечно порожденных) объектов компактны в гомотопической категории всех комплексов инъективных объектов. (Upd: На самом деле, я не понимаю этого. Прямые суммы комплексов инъективных модулей не являются ведь комплексами инъективных модулей, над ненетеровым кольцом. Они комплексы fp-инъективных модулей, правда, но я не вижу, чтобы это помогало.)
Следовательно, эту триангулированную категорию можно также описать как факторкатегорию гомотопической категории произвольных комплексов модулей по таким, Hom-ы в которые из инъективных резольвент конечно представимых модулей зануляются в гомотопической категории. (Компактно порожденная триангулированная категория, вложенная в любую триангулированную категорию функтором, сохраняющим бесконечные прямые суммы, образует полуортогональное разложение вместе со своим правым ортогональным дополнением.)