V. Ко-контра соответствие над нетеровой схемой с дуализирующим
комплексом
V.1. Ко-контра соответствие над регулярной схемой
Пусть X -- регулярная нетерова полуотделимая схема конечной
размерности Крулля и \W -- ее открытое покрытие. Отметим, что
всякий квазикогерентный пучок на X имеет конечную очень плоскую
размерность, а всякий \W-локально контрагерентный копучок на X
имеет конечную локально инъективную размерность (см. определение
в разделе IV.9). Оба эти утверждения следуют из соответствующих
утверждений для аффинных схем и модулей над кольцами, для которых
они хорошо известны.
С другой стороны, мы знаем, что всякий квазикогерентный копучок
на X имеет конечную правую контраприспособленную резольвенту,
а всякий \W-локально контрагерентный копучок на X имеет конечную
левую колокально проективную резольвенту. Из этих и предыдущих
утверждений легко следует, что абелева категория X-qcoh и
точная категория X-lcth_\W^lin имеют конечные гомологические
размерности.
Напомним обозначения X-qcoh^fl и X-lcth_\W^lin из разделов IV.8-9
для точных категорий плоских квазикогерентных пучков и локально
инъективных \W-локально контрагерентных копучков. Категорию
локально инъективных (глобально) контрагерентных копучков на X
мы будем обозначать через X-ctrh^lin.
Теорема. Естественные функторы D^ctr(X-ctrh) \to D^ctr(X-lcth_\W)
и D^ctr(X-ctrh^lin) \to D^ctr(X-lcth_\W^lin) являются
эквивалентностями триангулированных категорий. То же относится
к естественным функторам D^co(X-qcoh^fl) \to D^co(X-qcoh),
D^ctr(X-ctrh^lin) \to D^ctr(X-ctrh) и D^ctr(X-lcth_\W^lin) \to
D^ctr(X-lcth). Имеется естественная эквивалентность
триангулированных категорий D^co(X-qcoh) = D^ctr(X-ctrh),
задаваемая производными функторами функторов \fHom(O_X,-) и
O_X \ocn -.
Доказательство: ввиду конечности гомологических размерностей всех
рассматриваемых точных категорий, все копроизводные и
контрапроизводные категории, о которых идет речь, совпадают
с соответствующими абсолютными производными категориями D^abs
(см. Semimodules, Lemma 2.1). Для абсолютных производных
категорий, утверждения теоремы известны нам в большей общности
благодаря теореме IV.6.
V.2. Ко-контра соответствие над горенштейновой схемой
Пусть X -- горенштейнова нетерова полуотделимая схема
конечной размерности Крулля и \W -- ее открытое покрытие. Мы будем
пользоваться условием горенштейновости (в сочетании с конечностью
размерности Крулля) в следующей формулировке: для любой аффинной
открытой подсхемы U \sub X, классы O_X(U)-модулей конечной плоской
размерности, конечной проективной размерности и конечной
инъективной размерности совпадают. Отметим, что ни одна из этих
конечных размерностей не может превосходить размерности Крулля X.
Обозначим через X-qcoh^fd полную подкатегорию в X-qcoh, состоящую
из квазикогерентных пучков конечной плоской, или, что эквивалентно,
конечной инъективной размерности. Отметим, что принадлежность
к X-qcoh^fd является локальным свойством. Полная подкатегория
X-qcoh^fd \sub X-qcoh замкнута относительно расширений, ядер
вложений, коядер сюръекций, и бесконечных прямых сумм.
Аналогично, обозначим через X-lcth_\W^fd полную подкатегорию
в X-lcth_\W, состоящую из \W-локально контрагерентных копучков
конечной проективной или, что все равно, конечной локально
инъективной размерности. \W-локально контрагерентный копучок P
на X принадлежит X-lcth_\W^fd тогда и только тогда, когда для
любой аффинной открытой подсхемы U \sub X, подчиненной \W, модуль
P(U) над кольцом O_X(U) имеет конечную плоскую (проективную,
инъективную) размерность. Это условие не меняется при измельчении
покрытия \W.
Теорема. Естественные функторы D^ctr(X-ctrh) \to D^ctr(X-lcth_\W)
и D^ctr(X-ctrh^lin) \to D^ctr(X-lcth_\W^lin) являются
эквивалентностями триангулированных категорий. То же относится
к естественным функторам D^co(X-qcoh^fl) \to D^co(X-qcoh^fd) \to
D^co(X-qcoh) и D^ctr(X-lcth_\W^lin) \to D^ctr(X-lcth_\W^fd) \to
D^ctr(X-lcth_\W). Имеется естественная эквивалентность
триангулированных категорий D^co(X-qcoh^fd) = D^ctr(X-ctrh^fd),
задаваемая производными функторами функторов \fHom(O_X,-) и
O_X \ocn -.
Доказательство: отметим, что у точных категорий X-qcoh^fl и
X-qcoh^fd копроизводные категории совпадают с абсолютными
производными (и с обычными производными категориями), поскольку
гомологические размерности этих точных категорий конечны.
В самом деле, используя резольвенту Чеха квазикогерентного пучка,
можно свести вопрос к случаю аффинной схемы, для которого
утверждение известно. Аналогично, у точных категорий X-lcth_\W^lin
и X-lcth_\W^fd контрапроизводные категории совпадают с абсолютными
(и обычными) производными категориями.
Далее, функторы D^co(X-qcoh^fl) \to D^co(X-qcoh^fd) и
D^ctr(X-lcth_\W^lin) \to D^ctr(X-lcth_\W^fd) являются
эквивалентностями категорий по теореме IV.5.2 (и ее двойственной
версии). Чтобы доказать, что функторы D^co(X-qcoh^fd) \to
D^co(X-qcoh) и D^ctr(X-lcth_\W^fd) \to D^ctr(X-lcth_\W) являются
эквивалентностями категорий, рассмотрим аддитивные категории
(точные категории с тривиальными точными структурами) инъективных
квазикогерентных пучков X-qcoh^inj и проективных контрагерентных
копучков X-ctrh^prj. Функторы Hot(X-qcoh^inj) \to D^co(X-qcoh)
и Hot(X-qcoh^prj) \to D^ctr(X-lcth_\W) являются эквивалентностями
категорий согласно предложению IV.5.1 и его двойственной версии
(или замечанию 3.7 к Two kinds... и его двойственной версии).
Функторы Hot(X-qcoh^inj) \to D^co(X-qcoh^fd) и Hot(X-ctrh^prj) \to
D^ctr(X-lcth_\W^fd) являются эквивалентностями категорий согласно
предложению IV.5.2 и его двойственной версии (или замечанию 3.6
к Two kinds... и его двойственной версии).
Наконец, обозначим через X-qcoh^cta-fd пересечение X-qcoh^cta \cap
X-qcoh^fd, а через X-ctrh^clp-fd пересечение X-ctrh^clp \cap
X-lcth_\W^fd. Тогда функторы D^abs(X-qcoh^cta-fd) \to
D^abs(X-qcoh^fd) и D^abs(X-ctrh^clp-fd) \to D^abs(X-lcth_\W^fd)
являются эквивалентностями категорий согласно предложению IV.5.2
(и его двойственной версии), в то время как эквивалентность точных
категорий X-qcoh^cta = X-ctrh^clp из доказательства теоремы IV.6
отождествляет их точные подкатегории X-qcoh^cta-fd и X-ctrh^clp-fd.
V.3. Контрагерентное тензорное произведение
Пусть F -- копучок O_X-модулей на произвольной схеме X,
и M -- квази-когерентный копучок на X. Определим ковариантный
функтор на категории аффинных открытых подсхем в X правилом
U \mpsto M(U) \ot_{O_X(U)} F(U). Вложению аффинных открытых
подсхем V \sub U \sub X этот функтор сопоставляет отображение
M(V) \ot_{O_X(V)} F(V) = M(U) \ot_{O_X(U)} F(V) \to
M(U) \ot_{O_X(U)} F(U). Очевидно, построенный функтор
удовлетворяет условию теоремы II.1, поскольку ей удовлетворяет
ограничение копучка F на аффинные открытые подсхемы в X.
Таким образом, функтор U \mpsto M(U) \ot_{O_X(U)} F(U)
однозначно продолжается до копучка O_X-модулей на X, который
мы будем обозначать через M \ot_{O_X} F.
Пусть \W -- открытое покрытие схемы X. Будем называть копучок
O_X-модулей F \W-плоским, если O_X(U)-модуль F(U) плоский для всех
аффинных открытых подсхем U \sub X, подчиненных \W. Нетрудно
видеть, что если копучок F \W-плоский и удовлетворяет "условию
точности" из раздела IV.4 для конечных аффинных открытых покрытий
аффинных открытых подсхем в X, подчиненных \W, то тому же
условию для покрытий таких аффинных открытых подсхем удовлетворяет
и копучок M \ot_{O_X} F.
Для любого аффинного морфизма схем f: Y \to X, квазикогерентного
пучка M на X и копучка O_Y-модулей G на Y, имеется естественный
изоморфизм копучков O_X-модулей f_! (f^*M\ot_{O_Y}G) =
M \ot_{O_X} f_!G на X.
Из изоморфизма j_*j^*(K\otimes M) = j_*j^*K \otimes_{O_X(U)} M(U)
для квазикогерентных пучков M и K на X и вложения аффинной
открытой подсхемы j: U \to X (см. раздел II.5) следует изоморфизм
квазикогерентных пучков (K\otimes M) \ocn_X P =
K\ocn (M\ot_{O_X} P) для любых квазикогерентных пучков K, M
копучка O_X-модулей P на полуотделимой схеме X.
Для локально свободного пучка конечного ранга M и произвольного
\W-локально контрагерентного копучка P на схеме X, копучок
O_X-модулей M\ot_{O_X} P на X \W-локально контрагерентен.
Имеется естественный изоморфизм \W-локально контрагерентных
копучков Hom_{O_X}(M,O_X)\ot_{O_X} P = Cohom_X(M,P) на X.
Для локально инъективного \W-локально контрагерируемого копучка P
и квазикогерентного пучка M на X определим \W-локально
контрагерируемый копучок локально кокручения Cohom_X(M,P) на X
правилом U \mpsto Hom_{O_X(U)}(M(U),P(U)) для любой аффинной
открытой подсхемы U \sub X, подчиненной \W. Аналогично можно
определить Cohom_X из плоского квазикогерентного пучка
в \W-локально контрагерируемый копучок локально кокручения и
из очень плоского квазикогерентного пучка в \W-локально
контрагерируемый копучок (первая операция выдаст опять
\W-локально контрагерируемый копучок локально кокручения, вторая
-- \W-локально контрагерируемый копучок).
Для любого локально инъективного \W-локально контрагерируемого
копучка P, копучка O_X-модулей F и квазикогерентного пучка M
на X имеет место изоморфизм сопряжения Hom^X(M\ot_{O_X}F, P)
= Hom^X(F,Cohom_X(M,P)), где Hom^X обозначает в данном случае
морфизмы в категории копучков O_X-модулей. Аналогичный изоморфизм
сопряжения имеет место и в остальных вышеописанных случаях, когда
определен функтор Cohom из квазикогерентного пучка в локально
контрагерируемый. Другими словами, функторы Cohom(M,-) и
M \ot_X - между категориями копучков O_X-модулей "сопряжены там,
где они определены".
Пусть теперь X -- нетерова схема. Согласно лемме I.1.8б),
(глобально) контрагерентный копучок на аффинной открытой подсхеме
U \sub X является {U}-плоским тогда и только тогда, когда
контраприспособленный O(U)-модуль F(U) является плоским.
Пусть M -- когерентный пучок на X и F -- \W-плоский \W-локально
контрагерентный копучок. Тогда копучок O_X-модулей M \ot_{O_X} F
на X \W-локально контрагерентен. В самом деле, согласно лемме
I.1.8а), модуль M(U)\otimes_{O_X(U)} F(U) над кольцом O_X(U)
контраприспособлен для всех открытых аффинных подсхем U \sub X.
Для пары вложенных аффинных открытых подсхем V \sub U \sub X,
подчиненных \W, имеем M(V)\otimes_{O_X(V)} F(V) =
M(U)\otimes_{O_X(U)} F(V) =
M(U)\otimes_{O_X(U)} Hom_{O_X(U)}(O_X(V), F(U)) =
Hom_{O_X(U)}(O_X(V), M(U)\otimes_{O_X(U)} F(U)) согласно
доказательству леммы I.1.8б).
Пусть J -- инъективный квазикогерентный пучок на X и F --
\W-плоский \W-локально контрагерентный копучок на полуотделимой
нетеровой схеме X. Тогда для любой аффинной открытой подсхемы
U \sub X, подчиненной \W, O_X(U)-модуль J(U) \ot_{O_X(U)} F(U)
является инъективным как тензорное произведение инъективного и
плоского модулей над нетеровым кольцом. В частности, он
контраприспособлен. Таким образом, наш копучок O_X-модулей
\W-локально производно контрагерируем. Конструкция производного
контрагератора позволяет теперь сопоставить всякому комплексу
инъективных квазикогерентных пучков J и комплексу \W-плоских
\W-локально контрагерентных копучков F на X комплекс локально
инъективных контрагерентных копучков LC_{U_i}(J\ot_{O_X}F) на X,
который мы будем (опуская указание на выбор покрытия U_i)
обозначать через J \ot_{X-cth}^L F и называть производным
контрагерентным тензорным произведением комплексов J и F.
Конструкция комплекса J \ot_{X-cth}^L F зависит от выбора
конечного аффинного покрытия U_i схемы X, подчиненного \W, но
отображения между такими комплексами, связанные с добавлением
аффинных открытых подсхем в покрытие, имеют конуса, абсолютно
ацикличные по отношению к X-ctrh^lin.
Если M -- комплекс когерентный пучков на X, квазиизоморфно
отображающийся в комплекс инъективных квазикогерентных пучков J,
а F -- \W-плоский \W-локально контрагерентный копучок на X, то
конус естественного морфизма из комплекса \W-локально
контрагерентных копучков M \ot_{O_X} F в комплекс \W-локально
производно контрагерируемых копучков O_X-модулей J \ot_{O_X} F
является ацикличным комплексом над точной категорией \W-локально
производно контрагерируемых копучков. Функтор производного
контрагератора LC_{U_i} переводит его в ацикличный комплекс
контрагерентных копучков на X. Комплекс LC_{U_i}(M\ot_{O_X}F),
с другой стороны, отображается в комплекс M \ot_{O_X} F с конусом,
абсолютно ацикличным по отношению к X-lcth_\W. Таким образом,
комплексы M \ot_{O_X} F и J \ot_{X-cth}^L F связаны парой
разнонаправленных естественных квазиизоморфизмов по отношению
к точной категории X-lcth_\W.
Пусть теперь P -- проективный контрагерентный копучок или
проективный копучок локально кокручения на X. В обоих случаях,
P является прямым слагаемым конечной прямой суммы прямых
образов (глобально) плоских контрагерентных копучков с аффинных
открытых подсхем X. Отсюда и из результатов раздела IV.4
нетрудно вывести, что копучок J \ot_{O_X} P контрагерируем
для любого инъективного квазикогерентного пучка J на X. Его
контрагератор является локально инъективным контрагерентным
копучком на X, который мы будем обозначать через J \ot_{X-cth} P
= C(J\ot_{O_X}P) и называть контрагерентным тензорным
произведением пучка J и копучка P. По определению, имеется
естественный квазиизоморфизм J \ot_{X-cth}^L P \to J \ot_{X-cth} P
конечных комплексов над точной категорией X-ctrh^lin.
Для любого квазикогерентного пучка M, инъективного
квазикогерентного пучка J, и проективного контрагерентного
копучка (локально кокручения) P на X, имеют место естественные
изоморфизмы квазикогерентных пучков M\ocn_X (J\ot_{X-cth}P) =
M\ocn_X C(J\ot_{O_X}P) = M\ocn_X (J\ot_{O_X}P) =
(F\otimes J) \ocn_X P.
Лемма. Пусть J -- инъективный квазикогерентный пучок
на полуотделимой нетеровой схеме X. Тогда Cohom_X(J,-) и
J\ot_{X-cth} суть два сопряженных точных функтора между точной
категорией X-lcth_\W^lin (для любого выбранного покрытия
\W схемы X; можно взять просто \W = {X}) и точной категорией
X-ctrh^{lct-prj} проективных контрагерентных копучков локально
кокручения на X (с тривиальной точной структурой).
Доказательство. Покажем прежде всего, что для локально
инъективного \W-локально контрагерентного копучка P и инъективного
квазикогерентного пучка J \W-локально контрагерентный копучок
локально кокручения Cohom_X(J,P) проективен. Заметим, что J
является прямым слагаемым конечной прямой суммы прямых образов
инъективных квазикогерентных пучков I с вложений аффинных открытых
подсхем j: U \to X (поскольку такие прямые суммы инъективны и их
достаточно много). Поэтому можно предпологать, что J = j_*I.
Согласно разделу III.4, имеется естественный изоморфизм
Cohom_X(j_*I,P) = j_!Cohom_U(I,j^!P). Модули I(U) и P(U) над
кольцом O(U) инъективны, так что модуль Hom_{O(U)}(I(U),P(U))
является плоским модулем кокручения, т.е., контрагерентный
копучок локально кокручения Cohom_U(I,j^!P) проективен, так что
проективен и его прямой образ при плоском аффинном морфизме j.
Таким образом, указанные два функтора действуют между данными
точными категориями; они точны по определению. Теперь
сопряженность следует из сопряженности функторов Cohom и
\ot_{O_X}, отмеченной выше, и свойства сопряженности функтора
контрагератора (см. раздел IV.4).
V.4. Ко-контра соответствие над схемой с дуализирующим комплексом
Пусть X -- полуотделимая нетерова схема с дуализирующим
комплексом D, который мы будем рассматривать как конечный комплекс
инъективных квазикогерентных пучков на X. Следующий результат
дополняет теорему ковариантной двойственности Серра-Гротендика из
статьи Coherent analogues...
Теорема. Для любого открытого покрытия \W схемы X, естественные
функторы D^ctr(X-ctrh) \to D^ctr(X-lcth_\W) и D^ctr(X-ctrh^lin)
\to D^ctr(X-lcth_\W^lin) являются эквивалентностями
триангулированных категорий. Далее, имеются естественные
эквивалентности между четырьмя триангулированными категориями
D^{co=abs}(X-qcoh^fl), D^co(X-qcoh), D^ctr(X-ctrh), и
D^{ctr=abs}(X-ctrh^lin). Здесь обозначения co=abs и ctr=abs
в верхних индексах подразумевают утверждения, что соответствующие
две производные категории второго рода совпадают для точной
категории, о которой идет речь.
Доказательство: поскольку класс инъективных квазикогерентных
пучков замкнут относительно бесконечных прямых сумм, а проективных
контрагерентных копучков локально кокручения -- относительно
бесконечных произведений, функторы вложения соответствующих
гомотопических категорий в ко/контрапроизводные Hot(X-qcoh^inj)
\to D^co(X-qcoh) и Hot(X-ctrh^lct-prj) \to D^ctr(X-lcth_\W^lct)
являются эквивалентностями триангулированных категорий. Далее,
бесконечное произведение проективных контрагерентных копучков
является конечной прямой суммой прямых образов с аффинных открытых
подсхем U контрагерентных копучков, соответствующих плоским
контраприспособленным O(U)-модулям. Последние имеют конечную
проективную размерность в точной категории контраприспособленных
O(U)-модулей (или в абелевой категории всех O(U)-модулей) согласно
теореме Рейно-Грюзона. Поэтому выполнено условие (**) из
раздела 3.8 статьи Two kinds... и функтор Hot(X^ctrh-prj) \to
D^ctr(X-lcth_\W) тоже является эквивалентностью категорий.
Наконец, в силу той же теоремы Рейно-Грюзона о проективных
размерностях плоских модулей всякий O(U)-модуль для аффинной
открытой подсхемы U \sub X имеет конечную размерность кокручения,
откуда всякий контрагерентный копучок на X имеет конечную
размерность локально кокручения и функтор D^ctr(X-lcth_\W^lct)
\to D^ctr(X-lcth_\W) тоже является эквивалентностью категорий.
Копроизводная категория D^co(X-qcoh^fl) и контрапроизводная
категория D^ctr(X-ctrh^lin) совпадают абсолютными производными
категориями тех же точных категорий, поскольку эти точные
категории имеют конечную гомологическую размерность. В этом
можно убедиться, посчитав Ext в этих категориях с помощью
резольвент Чеха или отметив, что в первой существуют конечные
правые резольвенты из плоских пучков кокручения (инъективных
объектов в этой точной категории), а во второй -- конечные левые
резольвенты из колокально проективных локально инъективных
копучков (проективных объектов).
Мы построим коммутативную диаграмму из эквивалентностей между
четырьмя триангулированными категориями D^abs(X-qcoh^fl),
Hot(X-qcoh^inj), Hot(X-ctrh^lct-prj) и D^abs(ctrh^lin).
Между категориями Hot(X-qcoh^inj) и D^abs(X-ctrh^lin) будет
действовать пара функторов fHom(O_X,-) и O_X\ocn^L -.
Между категориями Hot(X-ctrh^lct-prj) и D^abs(X-qcoh^fl)
будет действовать пара функторов RfHom(O_X,-) и O_X\ocn -.
Между категориями Hot(X-qcoh^inj) и D^abs(X-qcoh^fl) будет
действовать пара функторов Hom_{X-qc}(D_X,-) и D_X\otimes -
(как у Иенгара-Краузе, Неемана-Мурфета и в 1102.0261).
Между категориями Hot(X-ctrh^lct-prj) и D^abs(X-ctrh^lin)
будет действовать пара функторов D_X \ot_{X-cth} - и
Cohom_X(D_X,-).
Между категориями Hot(X-qcoh^inj) и Hot(X-ctrh^lct-prj) будет
действовать пара функторов fHom(D_X,-) и D_X\ocn -.
Производный функтор O_X\ocn^L - : D^abs(X-ctrh^lin) \to
Hot(X-qcoh^inj) строится посредством отождествления
D^abs(X-ctrh^lin) c Hot(X-ctrh^clp-lin) и почленного применения
функтора O_X\ocn_X - к комплексам над X-ctrh^clp-lin.
Из результата раздела II.6 следует, что он сопряжен к функтору
fHom_X(O_X,-): Hot(X-qcoh^inj) \to D^abs(X-ctrh^lin) (который,
отметим, по построению принимает значения в Hot(X-ctrh^clp-lin),
в силу результатов раздела III.4). Взаимная обратность этих
двух функторов между Hot(X-ctrh^clp-lin) и Hot(X-qcoh^inj)
проверяется уровне точных категорий и на объектах, полученных
как прямые образы объектов аналогичных точных категорий
на аффинных открытых подсхемах (прямыми слагаемыми прямых сумм
которых являются все остальные). Альтернативным образом, можно
воспользоваться более сильным результатом из доказательства
теоремы IV.6 для установления взаимной обратности.
Производный функтор RfHom(O_X,-): D^abs(X-qcoh^fl) \to
Hot(X-ctrh^lct-prj) строится посредством отождествления
D^abs(X-qcoh^fl) с гомотопической категорией аддитивной
категории плоских пучков кокручения Hot(X-qcoh^fl-cot)
и почленного применения функтора fHom_X(O_X,-) к комплексам
над X-qcoh^fl-cot. Из результатов раздела II.6 следует, что
он сопряжен к функтору O_X\ocn_X - : Hot(X-ctrh^lct-prj) \to
D^abs(X-qcoh^fl) (который по построению принимает значения в
Hot(X-qcoh^fl-cot), в силу результатов разделов III.4 и IV.2).
Взаимная обратность этих двух функторов между Hot(X-qcoh^fl-cot)
и Hot(X-ctrh^lct-prj) проверяется на уровне точных категорий
и на объектах, пришедших с аффинных открытых подсхем.
Альтернативным образом, можно воспользоваться утверждением
из доказательства теоремы IV.6.
Функторы Hom_{X-qc}(D_X,-) и D_X\otimes - между категориями
Hot(X-qcoh^inj) и D^abs(X-qcoh^fl) сопряжены в силу свойства
сопряженности квазикогерентного внутреннего Hom-а и свойства
сопряженности индуцированных функторов между локализациями
(в данном случае, гомотопических) категорий. Первый функтор
по построению принимает значения в Hot(X-qcoh^fl-cot).
Дальнейшие подробности, в том числе доказательство взаимной
обратности, см. по ссылкам, приведенным выше.
Функтор Cohom_X(D_X,-) отображает D^abs(X-ctrh^lin)
в Hot(X-ctrh^lct-prj) в силу леммы V.3; из той же леммы следует его
сопряженность к функтору D_X \ot_{X-cth} - : Hot(X-ctrh^lct-prj)
\to D^abs(X-ctrh^lin). Последний функтор по построению принимает
значения в Hot(X-ctrh^clp-lin). В силу обычных соображений
об абсолютной ацикличности/ стягиваемости тотализаций конечных
точных/расщепимых точных последовательностей комплексов, взаимную
обратность достаточно проверять на объектах точных категорий.
Такие объекты являются прямыми слагаемыми прямых сумм объектов,
приходящих с аффинных открытых подсхем, так что вопрос сводится
к аффинному случаю, в котором в данном контексте квазикогерентные
пучки и контрагерентные копучки одинаково отождествляются
с модулями над глобальными функциями. Поэтому взаимная обратность
следует из той, о которой шла речь в предыдущем абзаце.
Сопряженность функторов fHom(D_X,-): Hot(X-qcoh^inj) \to
Hot(X-ctrh^lct-prj) и D_X\ocn -: Hot(X-ctrh^lct-prj) \to
Hot(X-qcoh^inj) следует из результата раздела II.6; взаимная
обратность выводится из аффинного случая и доказательства
в 1102.0261, как выше.
Коммутативности двух треугольников, образующих диаграмму, следуют
из результатов разделов II.5, II.6 и V.3.
V.5. Производные функторы прямого и обратного образа
A. Ко-контра соответствие для матричных факторизаций
B. D-\Omega двойственность и ко-контра соответствие
Часть 2. Контрагерентные копучки контрамодулей над нетеровыми
формальными схемами
C. Ко-контра соответствие над плоским кокольцом
Предполагаемые улучшения:
0. Добавить раздел I.5 с обсуждением понятия коприспособленного
модуля как такого модуля, тензорное умножение на который сохраняет
контраприспособленность (плоских <=> произвольных) модулей.
Конечно-порожденные и инъективные модули входят в этой класс,
замкнутый относительно расширений и коядер.
1. Перенести конструкцию резольвенты Чеха локально
контрагерентного пучка из конца раздела III.2 в начало главы IV,
сделав ее новым разделом IV.1
2. Вставить расширенное обсуждение понятия F-гомологической
размерности в промежуток между предложениями 1 и 2 раздела IV.5.
Свойства по отношению к расширениям, ядрам-коядрам и т.п.
3. Добавить также (может быть, в начале раздела IV.5 сразу после
определений производных категорий второго рода) отдельную лемму
о том, что D^{-abs} \to D^{abs} и D^{+abs} \to D^abs -- вполне
строгие функторы.
4. Сгруппировать каким-то образом вместе многочисленные
утверждения вида "все объекты некоторой одной точной категории
контрагерентных копучков имеют конечные гомологические размерности
по отношению к некоторой другой, меньшей", встречающиеся
в главах IV-V.
5. Вынести "легкие" утверждения об эквивалентностях производных
категорий второго рода из "конкретных" подразделов главы V в один
"общий" подраздел, сделав его новым разделом V.1 и написав
в общности произвольной (полуотделимой) нетеровой схемы конечной
размерности Крулля.