Лёня Посицельский (posic) wrote,
Лёня Посицельский
posic

Category:

Спалтенштейновщина в точных категориях - 2

Продолжение предыдущего постинга, обозначения которого сохраняются.

Лемма. Пусть B -- ограниченный сверху комплекс над F, а C -- комплекс над F, ацикличный над E. Тогда группа Hom(B,C) в производной категории D(F) равна нулю.

Доказательство: пусть имеется морфизм комплексов B → C; покажем, что он становится тривиальным в производной категории комплексов над F. Морфизм B → C факторизуется как B → A → C, где A -- каноническое обрезание комплекса C в подходящем месте (так что A является комплексом над E, причем ацикличным). Пусть G → A -- почленный E-допустимый эпиморфизм комплексов в A из ограниченного сверху ацикличного комплекса G над F (отметим, что в наших предположениях всякий E-ацикличный ограниченный сверху комплекс над F является и F-ацикличным).

Пусть K -- почленное расслоенное произведение комплексов G и B над комплексом A; тогда K → B -- почленный E-допустимый эпиморфизм и E-квазиизоморфизм. Пусть L → K -- почленный E-допустимый эпиморфизм и E-квазиизоморфизм комплексов в К из ограниченного сверху комплекса L над F. Тогда композиция L → K → B является почленно F-допустимым эпиморфизмом и F-квазиизоморфизмом ограниченных сверху комплексов над F. Теперь композиция L → B → C факторизуется через G, что доказывает искомое утверждение.

Теорема. Допустим, что в наших предположениях точная категория E на самом деле абелева. Пусть D(F)hf обозначает минимальную полную триангулированную подкатегорию в D(F), содержащую все ограниченные сверху комплексы и замкнутую относительно бесконечных прямых сумм. Тогда композиция триангулированных функторов D(F)hf → D(F) → D(E) является эквивалентностью категорий.

Доказательство: мы покажем, что во всякий комплекс над E бьет квазиизоморфизм из комплекса, принадлежащего D(F)hf. В частности, отсюда будет немедленно следовать, ввиду известной леммы 1.6 из Two kinds..., примененной к гомотопической категории Hot(E) с подкатегориями Hot(F) и Acycl(E), что D(E) эквивалентна локализации D(F) по толстой подкатегории E-ацикличных комплексов над F. Далее, согласно лемме выше, последняя подкатегория полуортогональна справа D(F)hf внутри D(F). Ввиду того же утверждения о существовании квазиизоморфизма, эти две подкатегории образуют полуортогональное разложение D(F), откуда желаемое утверждение немедленно вытекает.

Чтобы построить искомый квазиизоморфизм в комплекс C над E, рассмотрим все его подкомплексы канонического обрезания, и для каждого выберем почленно E-сюръективный E-кваизиизоморфизм в него из ограниченного комплекса над F. Возьмем прямую сумму B(0) всех построенных комплексов над F и рассмотрим естественный морфизм из нее в C. Это почленно сюръективный морфизм комплексов, действующий также сюръективно на всех объектах кограниц (заведомо), коциклов и когомологий (эквивалентным образом). Возьмем ядро этого морфизма комплексов, подставим на место C и применим ту же конструкцию, и так далее, бесконечно итерируя.

Мы построили точный комплекс комплексов ... → B(2) → B(1) → B(0) → С → 0, остающийся также точным при замене всех этих комплексов на их градуированные объекты когомологий (в абелевой категории E). Все комплексы B(i) принадлежат D(F)hf по построению. Остается показать, что тотализация бикомплекса B с помощью бесконечных прямых сумм тоже принадлежит D(F)hf и Е-квазиизоморфно отображается в C.

Тотализация бикомплекса B есть прямой предел тотализаций его подкомплексов глупой фильтрации B(n) → B(n−1) → ... → B(1) → B(0). Более этого, это прямой предел последовательсти комплексов и морфизмов между ними, являющихся в каждом члене комплексов вложениями прямого слагаемого. В любой аддитивной категории со счетными прямыми суммами, прямой предел последовательности вложений прямых слагаемых X0 → X1 → ... существует и включается в расщепимую точную тройку телескопа 0 → ⊕ Xn → ⊕ Xn → lim Xn → 0. В случае с тотализациями подкомплексов глупой фильтрации бикомплекса B, мы получаем почленно расщепимую точную тройку комплексов, в которой первые два члена суть прямые суммы тотализаций таких подкомплексов, а третий член есть тотализация всего бикомплекса B. Поэтому тотализацию бикомплекса B можно получить из комплексов B(n) с помощью операций итерированного конуса и перехода к счетной прямой сумме.

Рассмотрим теперь бикомплекс, полученный аугментированием бикомплекса B с помощью комплекса C, и напишем для него аналогичную расщепимую точную тройку комплексов. Перейдем к длинной точной последовательности когомологий этой точной тройки комплексов над абелевой категорией E. Морфизмы в этой длинной точной последовательности, индуцированные левым морфизмом в точной тройке комплексов, представляют собой дифференциал в двучленном комплексе для вычисления производного функтора прямого предела когомологий тотализаций подкомплексов глупой фильтрации нашего аугментированного бикомплекса с помощью конструкции телескопа. Из условий точности, наложенных на бикомплекс B, легко следует, что отображения в когомологиях, индуцированные вложениями соседних подкомплексов глупой фильтрации аугментированного комплекса, равны нулю. Поэтому дифференциал в двучленном телескопическом комплексе, вычисляющем прямой предел когомологий, является изоморфизмом по построению. Ввиду точности длинной последовательности, отсюда следует, что когомологии тотализации аугментированного бикомплекса зануляются. (Ср. Eilenberg-Moore, Limits and spectral sequences.)
Tags: math6
Subscribe

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments