Лёня Посицельский (posic) wrote,
Лёня Посицельский
posic

Categories:

Контрагерентные копучки - 3

Продолжение http://posic.livejournal.com/790374.html?mode=reply


IV. Квазикомпактные полуотделимые схемы

IV.1. Квазикогерентные пучки кокручения и контраприспособленные

Лемма 1. Пусть X -- квазикомпактная полуотделимая схема.
Тогда любой квазикогерентный пучок M на X можно включить в точную
тройку 0 \to P \to F \to M \to 0, где F -- плоский квазикогерентный
пучок, а P -- квазикогерентный пучок, представимый в виде конечно
итерированного расширения прямых образов квазикогерентных пучков
кручения с аффинных открытых подсхем в X.

Доказательство: следует из теоремы I.3б) + рассуждения из
раздела A.1 статьи 1102.0261.

Определение понятия квазикогерентного пучка кокручения было дано
в разделе II.5.

Следствие 1. В любой квазикогерентный пучок на квазикомпактной
полуотделимой схеме X имеется сюръективный морфизм из плоского
квазикогерентного пучка с ядром, являющимся пучком кокручения.

Лемма 2. Пусть X -- квазикомпактная полуотделимая схема. Тогда
а) квазикогерентный пучок P на X является пучком кокручения тогда
и только тогда, когда для любой короткой точной последовательности
0 \to F \to G \to H \to 0 плоских квазикогерентных пучков на X
короткая последовательность абелевых групп 0 \to Hom_X(H,P) \to
Hom_X(G,P) \to Hom_X(F,P) \to 0 точна, и тогда и только тогда,
когда Ext_X^i(F,P) = 0 для всех i > 0 и всех плоских
квазикогерентных пучков F на X; б) класс квазикогерентных пучков
кокручения на X замкнут относительно перехода к коядру вложения.

Доказательство: пункт а) следует из существования сюръекции
на произвольный квазикогерентный пучок из плоского
квазикогерентного пучка (слабая форма леммы 1) согласно рассуждению
из доказательства леммы 5.3.1 из книжки Homological algebra of
semimodules... Пункт б) следует из втрого утверждения в пункте а).

Лемма 3. Пусть X -- квазикомпактная полуотделимая схема. Тогда
а) всякий квазикогерентный пучок на X можно вложить
в квазикогентный пучок кокручения так, чтобы коядро было плоским
квазикогерентным пучком; б) всякий квазикогерентный пучок
кокручения на X является прямым слагаемым конечно итерированного
расширения прямых образов квазикогерентных пучков кокручения
с аффинных открытых подсхем X.

Доказательство: пункт а): вложить произвольный квазикогерентный
пучок в прямую сумму прямых образов инъективных квазикогерентных
пучков с аффинных открытых подсхем, образующих конечное покрытие,
и дальше рассуждать как во второй половине доказательства
Theorem 10 из работы Eklof-Trlifaj. Пункт б) следует из вида
конкретной конструкции в пункте а).

Определение понятия очень плоского квазикогерентного пучка было
дано в разделе II.4, а контраприспособленного квазикогерентного
пучка -- в разделе II.5.

Лемма 4. Пусть X -- квазикомпактная полуотделимая схема. Тогда
любой квазикогерентный пучок M на X можно включить в точную
тройку 0 \to P \to F \to M \to 0, где F -- очень плоский
квазикогерентный пучок, а P -- квазикогерентный пучок, представимый
в виде конечно итерированного расширения прямых образов
контраприспособленных квазикогерентных пучков с аффинных открытых
подсхем в X.

Доказательство аналогично доказательству леммы 1, с использованием
теоремы I.1б) вместо теоремы I.3б).

Следствие 2. В любой квазикогерентный пучок на квазикомпактной
полуотделимой схеме X имеется сюръективный морфизм из очень
плоского квазикогерентного пучка с контраприспособленным ядром.

Лемма 5. Пусть X -- квазикомпактная полуотделимая схема. Тогда
а) квазикогерентный пучок P на X контраприспособлен тогда и только
тогда, когда для любой короткой точной последовательности 0 \to F
\to G \to H \to 0 очень плоских квазикогерентных пучков на X
короткая последовательность абелевых групп 0 \to Hom_X(H,P) \to
Hom_X(G,P) \to Hom_X(F,P) \to 0 точна, и тогда и только тогда,
когда Ext_X^i(F,P) = 0 для всех i > 0 и всех очень плоских
квазикогерентных пучков F на X; б) класс контраприспособленных
квазикогерентных пучков на X замкнут относительно перехода
к коядру вложения.

Доказательство: аналогично лемме 2.

Лемма 6. Пусть X -- квазикомпактная полуотделимая схема. Тогда
а) всякий квазикогерентный пучок на X можно вложить
в контраприспособленный квазикогентный пучок так, чтобы коядро было
очень плоским квазикогерентным пучком; б) всякий контраприсобленный
квазикогерентный пучок на X является прямым слагаемым конечно
итерированного расширения прямых образов контраприспособленных
квазикогерентных пучков с аффинных открытых подсхем X.

Доказательство: аналогично лемме 3.

Следующие эквивалентные определения контраприспособленных и
очень плоских квазикогерентных пучков похожи на соответствующие
определения для модулей, данные в разделе I.1.

Лемма 7. Пусть X -- квазикомпактная полуотделимая схема. Тогда
а) квазикогерентный пучок на X контраприспособлен тогда и только
тогда, когда Ext_X^i(j_*j^*O_X, P) = 0 для любого аффинного
открытого вложения схем j: U \to X и всех целых i > 0;
б) квазикогерентный пучок F на X очень плоский тогда и только
тогда, когда Ext_X^1(F,P) = 0 для любого контраприспособленного
квазикогерентного пучка P на X.

Доказательство. Пункт а): утверждение "только тогда" следует из
второго утверждения в лемме 5а). Чтобы доказать "тогда", заметим,
чтолюбой очень плоский пучок F на квазикомпактной полуотделимой
схеме X имеет конечную резольвенту Чеха, составленную из пучков
вида j_*j^*F, где j: U \to X -- вложения открытых аффинных подсхем.
Поэтому условие Ext^i_X(j_*j^*F, P) = 0 для всех таких j и всех
i > 0 влечет Ext^i_X(F,P) = 0 для всех i > 0.

Далее, пучок j^*F получается из прямых образов структурных пучков
главных аффинных открытых подсхем U с помощью операций трансфинитно
итерированного расширения и перехода к прямому слагаемому, и прямой
образ при j сохраняет эти операции. Остается вспомнить лемму 1 из
работы Eklof-Trlifaj, согласно которой Ext^1-ортогональность
сохраняется трансфинитно-итерированными расширениями.

Пункт б) легко вывести из следствия 2; нижеследующее рассуждение
работает в чуть большей общности. Теоретико-множественный
аргумент с индукцией до регулярного кардинала (отталкивающийся от
того факта, что всякий очень плоский модуль является трансфинитно
итерированным расширением локализаций по элементам) показывает,
что всякий очень плоский квазикогерентный пучок на любой схеме X
является трансфинитно-итерированным расширением очень плоских
пучков с мощностью множества всех сечений, ограниченной некой
фиксированной мощностью. Кроме того, класс очень плоских
квазикогерентных пучков, очевидно, замкнут относительно

Поэтому, в силу рассуждений, подобных теореме и лемме 1 из
раздела I.1, второе Ext^1-ортогональное дополнение к классу всех
очень плоских квазикогерентных пучков совпадает с этим классом
на любой схеме X, на которой всякий квазикогерентный пучок
является факторпучком очень плоского. В частности, это верно для
квазикомпактных полуотделимых схем.


IV.2. Приспособленные классы локально контрагерентных копучков

Пусть \W -- открытое покрытие схемы X. \W-локально
контрагерентный копучок на X называется колокально проективным,
если для любой короткой точной последовательности 0 \to I \to J \to
K \to 0 локально инъективных \W-локально контрагерентных копучков
на X короткая последовательность абелевых групп 0 \to Hom^X(P,I)
\to Hom^X(P,J) \to Hom^X(P,K) \to 0 точна. Из изоморфизма
сопряжения, построенного в разделе III.2, видно, что функтор
прямого образа локально контрагерентных копучков f_! при любом
(\W,\T)-аффинном (\W,\T)-коаффинном морфизме схем f отображет
колокально проективные \T-локально контрагерентные копучки
в колокально проективные \W-локально контрагерентные копучки.
Ясно также, что любой контрагерентный копучок на аффинной схеме X
с покрытием \W={X} колокально проективен.

Ниже в этом разделе мы покажем, что на квазикомпактной
полуотделимой схеме X всякий колокально проективный \W-локально
контрагерентный копучок является (глобально) контрагерентным.
Более того, для таких схем класс колокально проективных \W-локально
контрагерентных копучков совпадает с классом колокально проективных
контрагерентных копучков и не зависит от покрытия \W. Мы покажем
также, что в точной категории \W-локально контрагерентных копучков
на такой схеме X достаточно много проективных объектов (которые
являются, по определению, также колокально проективными, и
следовательно, контрагерентными копучками).

Лемма 1. Пусть X -- квазикомпактная полуотделимая схема с открытым
покрытием \W. Тогда любой \W-локально контрагерентный копучок F
на X можно включить в точную тройку 0 \to F \to J \to P \to 0,
где J -- локально инъективный \W-локально контрагерентный копучок,
а P -- контрагерентный копучок, представимый в виде конечно
итерированного расширения прямых образов контрагерентных копучков
с аффинных открытых подсхем в X, подчиненных \W.

Доказательство (ср. 1102.0261, раздел A.1): допустим, что для
некоторой открытой подсхемы k: V \sub X построена точная тройка
0 \to F \to K \to Q \to 0 \W-локально контрагерентных копучков
на X, такая что ограничение k^!K \W-локально контрагерентного
копучка K на открытую подсхему V \sub X (снабженную отрытым
покрытием {V\cap W, W\in\W}) локально инъективно, а копучок Q
является итерированным расширением прямых образов контрагерентных
копучков с аффинных открытых подсхем X, подчиненных \W. Пусть
j: U \sub X -- аффинная открытая подсхема, подчиненная \W;
построим точную тройку 0 \to F \to J \to P \to 0, обладающую теми
же свойствами по отношению к открытой подсхеме U\cup V \sub X.

Пусть 0 \to j^!K \to I \to R \to 0 -- точная тройка контрагерентных
копучков на аффинной схеме U, в которой контрагерентный копучок I
(локально) инъективен. Рассмотрим ее прямой образ 0 \to j_!j^!K
\to j_!I \to j_!R \to 0 на X, и применим к нему замену кобазы
относительно морфизма сопряжения j_!j^!K \to K. Покажем, что в
полученной точной тройке 0 \to K \to J \to j_!R \to 0 \W-локально
контрагерентный копучок J локально инъективен в ограничении
на U \cup V (т.е., в ограничении как на U, так и на V).

В самом деле, в ограничении на U имеем j^!j_!j^!K = j^!K, откуда
j^!J = j^!j_!I = I является (локально) инъективным копучком.

С другой стороны, прямые образы \T-локально контрагерентных
копучков при (\W,\T)-аффинных морфизмах коммутируют с обратными
образами в ситуации замены базы при открытом вложении. Поэтому
если j': U\cap V \to V и k': U\cap V \to U обозначают вложения
пересечения U и V, то k^!j_!R = j'_!k'^!R. Заметим теперь, что
контрагерентный копучок k'^!j^!K = j'^!k^!K локально инъективен,
так что контрагерентный копучок k'^!R, будучи коядром вложения
локально инъективных контрагерентных копучков k'^!j^!K \to k'^!I,
тоже локально инъективен. Поскольку локальная инъективность
\T-локально контрагерентных копучков сохраняется прямыми образами
при плоских (\W,\T)-аффинных морфизмах, локально инъективным
является и контрагерентный копучок j'_!k'^!R. Теперь в точной
тройке 0 \to k^!K \to k^!J \to k^!j_!R \to 0 средний локально
контрагерентный копучок локально инъективен, поскольку таковы
оба крайних.

Наконец, композиция допустимых мономорфизмов \W-локально
контрагерентных копучков F \to K \to J является допустимым
мономорфизмом с коядром, изоморфным расширению контрагерентных
копучков j_!R и P. Лемма доказана.

Лемма 2. Пусть X -- квазикомпактная полуотделимая схема с открытым
покрытием \W. Тогда а) \W-локально контрагерентный копучок P
на X является колокально проективным тогда и только тогда, когда
Ext^{X,i}(P,J) = 0 для всех i > 0 и всех локально инъективных
\W-локально контрагерентных копучков J на X, где Ext^{X,i}
обозначает функтор Ext в точной категории \W-локально
контрагерентных копучков на X; б) класс колокально проективных
\W-локально контрагерентных копучков на X замкнут относительно
перехода к расширению, ядру допустимого эпиморфизма и прямому
слагаемому в точной категории контрагерентных копучков.

Доказательство: пункт а) следует из существования допустимого
мономорфизма произвольного контрагерентного копучка в локально
инъективный (слабая форма леммы 1) согласно рассуждению из
доказательства леммы 5.3.1 из книжки Homological algebra of
semimodules... Пункт б) следует из пункта а).

Следствие 1. Любой \W-локально контрагерентный копучок на
квазикомпактной полуотделимой схеме X имеет допустимый
мономорфизм в локально инъективный \W-локально контрагерентный
копучок с коядром, являющимся колокально проективным
\W-локально контрагерентным копучком.

Лемма 3. Пусть X -- квазикомпактная полуотделимая схема с открытым
покрытием \W. Тогда а) во всякий \W-локально контрагерентный
копучок на X существует допустимый эпиморфизм из колокально
проективного \W-локально контрагерентного копучка с ядром,
являющимся локально инъективным \W-локально контрагерентным
копучком; б) если {U_\alpha} -- аффинное открытое покрытие X,
подчиненное \W, то всякий колокально проективный \W-локально
контрагерентный копучок на X является (контрагерентным копучком и)
прямым слагаемым конечно итерированного расширения прямых образов
контрагерентных копучков с тождественных вложений U_\alpha \to X.

Доказательство: построим прежде всего допустимый эпиморфизм
в произвольный \W-локально контрагерентный копучок F на X из
колокально проективного \W-локально контрагерентного копучка.
Для этого достаточно выбрать конечное аффинное покрытие U_\alpha
схемы X, подчиненное покрытию \W, и рассмотреть естественный
гомоморфизм \W-локально контрагерентных копучков
\bigoplus_\alpha j_{alpha!}j_alpha^! F \to F, где j_\alpha:
U_\alpha \to X обозначает открытое вложение. Ограничение этого
гомоморфизма на каждую из открытых подсхем U_\alpha является
допустимым эпиморфизмом. Согласно лемме I.2, отсюда следует,
что таковым является и сам интересующий нас гомоморфизм
контрагерентных копучков над X.

Теперь пункт а) выводится из леммы 1 или следствия 1 выше с помощью
рассуждения из второй половины доказательства Theorem 10 из работы
Eklof-Trlifaj. Более того, ввиду конкретной конструкции в лемме 1
таким образом показано, что во всякий \W-локально контрагерентный
копучок на X существует допустимый эпиморфизм из итерированного
расширения прямых образов контрагерентных копучков с аффинных
открытых подсхем, входящих в фиксированное покрытие U_\alpha,
подчиненное \W; причем ядро этого допустимого эпиморфизма --
локально инъективный \W-локально контрагерентный копучок. Пункт б)
отсюда легко следует.

Следствие 2. Полная точная подкатегория колокально проективных
\W-локально контрагерентных копучков в точной категории локально
контрагерентных копучков на квазикомпактной полуотделимой схеме
X не зависит от выбора покрытия \W.

Доказательство: следует из леммы 3б).

Следствие 3. а) Функтор прямого образа контрагерентных копучков
при аффинном морфизме квазикомпактных полуотделимых схем отображает
колокально проективные копучки в колокально проективные копучки.
б) Функтор обратного образа локально контрагерентных копучков
при очень плоском аффинном морфизме квазикомпактных полуотделимых
схем отображает колокально проективные копучки в колокально
проективные копучки.

Доказательство: Ввиду следствия 2, пункт а) следует из замечаний
в начале этого раздела и замечаний о выборе покрытия \T
в разделе III.2. Пункт б) следует из леммы 3б).

Лемма 4. а) В точной категории \W-локально контрагерентных
копучков на квазикомпактной полуотделимой схеме X достаточно много
проективных объектов. б) Если U_i -- аффинное открытое покрытие X,
подчиненное \W, то \W-локально контрагерентный копучок на X
проективен тогда и только тогда, когда он является прямым слагаемым
прямой суммы по i прямых образов контрагерентных копучков на U_i,
соответствующих очень плоским контраприспособленным
O_X(U_i)-модулям.

Доказательство: часть "тогда" в пункте б) следует из сопряженности
функторов прямого и обратного образа с аффинного открытого
вложения. Остается показать, что во всякий \W-локально
контрагерентный копучок F на X имеется допустимый эпиморфизм из
прямой суммы прямых образов контрагерентных копучков на U_i,
соответствующих очень плоским контраприспособленным модулям. Для
этого достаточно выбрать допустимые эпиморфизмы из таких
контрагерентных копучков P_i на U_i в ограничения F на U_i, и
рассмотреть гомоморфизм в F из прямой суммы по i прямых образов P_i
при открытых вложениях U_i \to X (см. доказательство леммы 3 выше).

Следствие 4. а) В точной категории локально контрагерентных
копучков на квазикомпактной полуотделимой схеме X достаточно много
проективных объектов, причем все они являются контрагерентными
копучками. б) Классы контрагерентных копучков на X, проективных по
отношению к точным категориям контрагерентных копучков и локально
контрагерентных копучков, совпадают.

Лемма 5. а) В точной категории \W-локально контрагерентных копучков
локально кокручения на квазикомпактной полуотделимой схеме X
достаточно много проективных объектов. б) Если U_i -- аффинное
открытое покрытие X, подчиненное \W, то \W-локально контрагерентный
копучок на X локально кокручения проективен тогда и только тогда,
когда он является прямым слагаемым прямой суммы по i прямых образов
контрагерентных копучков на U_i, соответствующих плоским
O_X(U_i)-модулям кокручения.

Доказательство аналогично доказательству леммы 4 (и использует
лемму I.4 вместо леммы I.2).

Следствие 5. а) В точной категории локально контрагерентных
копучков локально кокручения на квазикомпактной полуотделимой
схеме X достаточно много проективных объектов, причем все они
являются контрагерентными копучками локально кокручения.
б) Классы контрагерентных копучков локально кокручения на X,
проективных по отношению к точным категориям контрагерентных
копучков локально кокручения и локально контрагерентных копучков
локально кокручения, совпадают.


IV.3. Гомологии локально контрагерентных копучков

Функтор глобальных косечений локально контрагерентных
копучков на схеме X, сопоставляющий копучку F абелеву группу
(или даже O(X)-модуль) F(X), точен справа как функтор на точной
категории локально контрагерентных копучков на X. Другими
словами, если 0 \to F \to G \to H \to 0 -- короткая точная
последовательность локально контрагерентных копучков на X, то
последовательность абелевых групп F(X) \to G(X) \to H(X) \to 0
точна. В самом деле, процедура, восстанавливающая группы
косечений копучков F на X по их группам косечений над аффинными
открытыми подсхемами U \sub X, подчиненными какому-нибудь
фиксированному открытому покрытию \W, и морфизмам коограничения
между такими группами, использует только операции бесконечной
прямой суммы и коядра морфизма абелевых групп (см. точную
последовательность (**) в разделе II.1 или конец раздела III.1).

Отметим, что для любого (\W,\T)-аффинного морфизма схем f: Y \to X
и любого \T-локально контрагерентного копучка F на Y имеется
естественный изоморфизм O(X)-модулей F(Y) = (f_!F)(X). В самом
деле, полные прообразы открытых множеств аффинного открытого
покрытия X, подчиненного \W, образуют аффинное открытое покрытие Y,
подчиненное \T. Кроме того, полные прообразы открытых множеств
аффинных открытых покрытий попарных пересечений открытых множеств
исходного аффнного открытого покрытия X образуют аффинные открытые
покрытия пересечений полных прообразов соответствующих открытых
множеств в Y.

Пусть теперь схема X квазикомпактна и полуотделима. Тогда
производный функтор функтора глобальных сечений \Delta(X,-)
локально контрагерентных копучков на X можно определить с помощью
проективных левых резольвент в точной категории локально
контрагерентных копучков (см. лемму IV.2.4 и следствие IV.2.4).
Обозначим этот производный функтор через \Delta(X,F). Заметим,
что он не зависит от того, вычислять ли его в точной категории
всех локально контрагерентных копучков или только \W-локально
контрагерентных копучков для какого-то фиксированного открытого
покрытия \W схемы X. Группы L^i\Delta(X,F) называются группами
гомологий контрагерентного копучка F на X.

Отметим, что в частном случае, когда схема X аффинна и
рассматриваются только (глобально) контрагерентные копучки F на X,
функтор \Delta(X,F) точен, так что функторы L^i\Delta(X,F) равны
нулю для всех i > 0 и таких копучков F.

Ввиду наблюдений из разделов III.2 и IV.2, для любого очень
плоского аффинного морфизма квазикомпактных полуотделимых схем
f: Y \to X, функтор f_! переводит проективные контрагентные пучки
на Y в проективные контрагерентные пучки на X. Кроме того, он
образует коммутативную диаграмму с функторами \Delta(X,-) и
\Delta(Y,-), ограниченными на полные подкатегории контрагерентных
копучков. Отсюда L^i\Delta(Y,F) = L^i\Delta(X,f_!F) для любого
локально контрагерентного копучка F на Y.

В частности, это применимо к вложениям аффинных открытых подсхем
j: U \to X в квазикомпактную полуотделимую схему X, так что
L^i\Delta(X,j_!F) = 0 для всех контрагерентных копучков F на U и
всех i > 0. Поскольку производный функтор L^*\Delta переводит
точные тройки локально контрагерентных копучков на X в длинные
точные последовательности, из леммы IV.2.3б) следует, что
L^i\Delta(X,P) = 0 для любого колокально проективного
контрагерентного копучка P на X. Таким образом, производный
функтор L^*\Delta можно вычислять с помощью колокально проективных
левых резольвент.

Пусть F -- \W-локально контрагерентный копучок на квазикомпактной
полуотделимой схеме X. Пусть j_i: U_i \to X, i = 1,...,n --
конечное аффинное открытое покрытие X, подчиненное \W. Тогда
резольвента Чеха копучка \W, связанная с покрытием \W (построенная
в конце раздела III.2) является колокально проективной левой
резольвентой локально контрагерентного копучка F, и с ее помощью
можно вычислять производный функтор L^*\Delta. Другими словами,
гомологии \W-локально контрагерентного копучка F на квазикомпактной
полуотделимой схеме вычисляются комплексом Чеха C_*({U_i},F)
(см. конец раздела III.1), связанным с любым аффинным открытым
покрытием {U_i} схемы X, подчиненным \W.

Пусть X -- квазикомпактная полуотделимая схема над аффинной схемой
Spec R. Тогда из сказанного выше нетрудно заключить, что для
любого квазикогерентного пучка M на X и инъективного R-модуля J
имеется естественный изоморфизм градуированных R-модулей
Hom_R(R^*\Gamma(X,M),J) = L^*\Delta(X,Hom_R(M,J)).

Следствие 1. Если X -- полуотделимая нетеровая схема, то функтор
\Delta(X,-) точен на категории контрагерентных копучков (локально
кокручения) на X тогда и только тогда, когда высшие гомологии
контрагерентных копучков (локально кокручения) на X зануляются и
тогда и только тогда, когда схема X аффинна.

Доказательство: см. Хартсхорн "Алгебраическая геометрия",
теорема III.3.7.

Следствие 2. Локально контрагерентный копучок F на аффинной
схеме X является контрагерентным тогда и только тогда, когда его
высшие гомологии L^i\Delta(X,F), i > 0, зануляются.

Доказательство: см. лемму III.1.


IV.4. Производно и локально контрагерируемые копучки

Копучок O_X-модулей F на полуотделимой схеме X называется
производно контрагерируемым, если для любой аффинной подсхемы
U \sub X и ее конечного аффинного покрытия V_i \sub U комплекс Чеха
0 \to F(\bigcap_i V_i) \to ... \bigoplus_{i_1 < i_2}
F(V_{i_1}\cap V_{i_2}) \to \bigoplus_i F(V_i) \to F(U) \to 0
является точной последовательностью O_X(U)-модулей, и при этом
для любой аффинной подсхемы U \sub X модуль F(U) над кольцом O_X(U)
контраприспособлен. Будем называть первое условие условием
точности, а второе -- условием контраприспособленности. Заметим,
что условие контраприспособленности достаточно проверять для
аффинных открытых подсхем U \sub X, подчиненных любому
фиксированному открытому покрытию X.

Пусть \W -- открытое покрытие схемы X. Тогда копучок O_X-модулей F
на X называется \W-локально производно контрагерируемым, если его
ограничения F|_W на все открытые подсхемы W \in \W являются
производно контрагерируемыми копучками. Отметим, что
контрагерентный копучок на полуотделимой схеме является производно
контрагерируемым, а \W-локально когерентный копучок является
\W-локально производно контрагерируемым. Наоборот, если
\W-локально контрагерентный копучок производно контрагерируем, то
он контрагерентен согласно лемме III.1.

Назовем \W-локально контрагерируемый копучок P на X локально
инъективным (соответственно, копучком локально кокручения), если
O_X(U)-модуль P(U) инъективен (соответственно, является модулем
кокручения) для любой аффинной открытой подсхемы U \sub X,
подчиненной \W. Отметим, что в присутствии условия (\W-локальной)
точности, условия локальной инъективности и локального кокручения
достаточно проверять для аффинных открытых подсхем, подчиненных
сколь угодно мелкому измельчению покрытия \W.

Очевидно, копучки O_X-модулей на X образуют точную категорию
с классом точных троек, состоящим из всех компонуемых пар морфизмов
копучков F \to G \to H, таких что короткая последовательность
0 \to F(U) \to G(U) \to H(U) \to 0 точна для всех аффинных
открытых подсхем U \sub X, подчиненных покрытию \W. \W-локально
производно контрагерируемые копучки образуют в этой категории
полную точную подкатегорию, замкнутую относительно расширений и
коядер допустимых мономорфизмов.

Пусть X -- квазикомпактная полуотделимая схема, снабженная открытым
покрытием \W. Производный функтор контрагератора X-ldch_\W \to
D^b(X-ctrh), бьющий из точной категории \W-локально производно
контрагерируемых копучков на X в ограниченную производную категорию
контрагерентных копучков на X, строится следующим образом. Выберем
аффинное открытое покрытие {U_i} схемы X, подчиненное покрытию \W.
Сопоставим каждому \W-локально производно контрагерируемому копучку
F на X комплекс Чеха контрагерентных копучков LС_{U_i}(F) вида
0 \to j_{1,...,n}_! F(U_1\cap ...\cap U_n) \to ... \to
\bigoplus_{i_1 < i_2} j_{i_1,i_2}_! F(U_{i_1}\cap U_{i_2}) \to
\bigoplus_i j_i_! F(U_i) \to 0,
где для аффинной открытой подсхемы U \sub X, подчиненной \W, символ
F(U) обозначает одновременно O_X(U)-модуль косечений копучка F над
открытым подмножеством U и контрагерентный копучок на схеме U,
связанный с этим контраприспособленным O(U)-модулем.

Покажем, что полученный таким образом объект производной категории
D^b(X-ctrh) не зависит от выбора покрытия {U_i}, подчиненного \W.
В самом деле, добавим к покрытию {U_i} новое аффинное открытое
подмножество V \sub X, подчиненное \W. Тогда комплекс Чеха
LC_{U_i}(F) почленно расщепимо вкладывается в комплекс Чеха
LC_{U_i,V}(F) с коядром, изоморфным прямому образу при вложении
V \to X комплекса контрагерентных копучков на V, связанного
с комплексом контраприспособленных O(V)-модулей, фигурирующим
в аксиоме точности для копучка F и покрытия аффинной открытой
подсхемы V \sub X аффинными открытыми подсхемами V \cap U_i.

\W-локально производно контрагерируемый копучок F на X называется
\W-локально контрагерируемым, если комплекс LC_{U_i}(F) для любого
одного (или, что эквивалентно, для всех) аффинных открытых
покрытий {U_i} схемы X, подчиненных \W, квазиизоморфен некоторому
\W-локально контрагерентному копучку на X (рассматриваемому
как комплекс, сосредоточенный в когомологической градуировке 0).
Соответствующий \W-локально контрагерентный копучок называется
контрагератором F и обозначается через CF. Всякий \W-локально
контрагерентный копучок F на X \W-локально контрагерируем, при
этом комплекс LC_{U_i}(F) есть (глобально) контрагерентная
резольвента Чеха локально контрагерентного копучка F = CF,
построенная в конце раздела III.2. (Глобально) производно
контрагерируемый копучок на X называется (глобально)
контрагерируемым, если он локально контрагерируем по отношению
к покрытию {X}. Всякий производно контрагерируемый копучок F
на аффинной схеме U является контрагерируемым, поскольку комплекс
LC_{U}(F) весь сосредоточен в когомологической градуировке 0;
при этом контрагерентный копучок CF соответствует на U
соответствует контраприспособленному O(U)-модулю F(U).

Функтор LC переводит производно локально контрагерируемые копучки
локально кокручения в комплексы контрагерентных копучков локально
кокручения и локально инъективные производно локально
контрагерируемые копучки в локально инъективные контрагерентные
копучки. Функтор C переводит локально контрагерируемые копучки
локально кокручения в контрагерентные копучки локально кокручения
и локально инъективные локально контрагерируемые копучки
в локально инъективные контрагерентные копучки.

Пусть f: Y \to X -- (\W,\T)-аффинный морфизм схем. Тогда функтор
прямого образа f_! переводит \T-локально производно
контрагерируемые копучки на Y в \W-локально производно
контрагерируемые копучки на X. Для (\W,\T)-аффинного морфизма f
квазикомпактных полуотделимых схем, функтор f_! также коммутирует
с производным функтором контрагератора, поскольку имеется
естественный изоморфизм f_!LC_{f^{-1}(U_i)}F = LC_{U_i}f_!F
комплексов над X-ctrh для любого конечного аффинного покрытия U_i
схемы X, подчиненного \W. Отсюда следует, в частности, что функтор
прямого образа переводит \T-локально контрагерируемые копучки на Y
в \W-локально контрагерируемые копучки на X.

Для любого \W-локально контрагерируемого копучка F и \W-локально
контрагерентного копучка P на X, группа всех гомоморфизмов
\W-локально контрагерируемых копучков F \to P естественно изоморфна
группе всех гомоморфизмов \W-локально контрагерентных копучков
CF \to P. Другими словами, функтор C сопряжен слева к функтору
тождественного вложения \W-локально контрагерентных копучков
в \W-локально контрагерируемые.

Для любого \W-локально контрагерируемого копучка F и
квазикогерентного пучка M на X естественный морфизм пучков
O_X-модулей F \to CF индуцирует изоморфизм контратензорных
произведений M\ocn_X F = M\ocn_X CF. В самом деле, для любого
инъективного квазикогерентного пучка J на X имеем
Hom_X(M\ocn_X F, J) = Hom^X(F,fHom_X(F,J) = Hom^X(CF,fHom_X(F,J))
= Hom_X(M\ocn_X CF, J).


IV.5. Производные категории точных категорий и резольвенты

Целью этого раздела является доказательство следующих двух
технических результатов. Для любой точной категории Е и символа
* = b, +, -, \empty, +abs, -abs или abs, пусть D^*(E) обозначает
соответствующую версию производной категории Е (ограниченную,
ограниченную снизу, ограниченную сверху, обычную неограниченную,
абсолютную ограниченную снизу, абсолютную ограниченную сверху,
или неограниченную абсолютную производную категорию точной
категории E). Если в точной категории E существуют и точны
функторы бесконечных прямых сумм (произведений), имеет смысл
также обозначение D^co(E) (соответственно, D^ctr(E)) для
копроизводной (соответственно, контрапроизводной) категории
(которая всегда предполагается неограниченной).

Пусть теперь F -- полная подкатегория в E, замкнутая относительно
расширений и операции перехода к ядру допустимого эпиморфизма,
такая что всякий объект из E является образом допустимого
эпиморфизма из некоторого объекта, принадлежащего F. Снабдим F
индуцированной структурой точной категории.

Предложение 1. Триангулированный функтор D^-(F) \to D^-(E),
индуцированный точным функтором вложения F \to E, является
эквивалентностью триангулированных категорий. Триангулированный
функтор D^abs(F) \to D^abs(E) является вполне строгим. Если
функторы бесконечных произведений существуют и точны в точной
категории E и сохраняют полную подкатегорию F \sub E,
триангулированный функтор D^ctr(F) \to D^ctr(E) является
эквивалентностью категорий.

Доказательство. Пользуясь тем, что всякий объект из Е является
образом допустимого эпиморфизма из некоторого объекта,
принадлежащего F, нетрудно построить для всякого ограниченного
сверху комплекса E_\bu над E квазиизоморфизм F_\bu \to E_\bu
в него из комплекса F_\bu, все члены которого принадлежат F.
В самом деле, если E_i = 0 для i < 0, достаточно выбрать допустимый
эпиморфизм F_0 \to E_0, рассмотреть расслоенное произведение
Е_1 и F_1 над E_0, выбрать допустимый эпиморфизм в это
расслоенное произведение из объекта F_1, и т.д. Ввиду леммы 1.6
из Two kinds..., остается показать, что всякий ограниченный сверху
комплекс над F, являющийся ацикличным над Е, ацикличен и над F.
Это немедленно следует из условия, что F замкнута относительно
перехода к ядрам допустимых эпиморфизмов в Е.

Первое утверждение доказано. Доказательство второго и третьего
утверждений аналогично доказательству предложения 1.5 из статьи
1102.0261 (см. также замечание 1.5 в этой статье и теорему 4.2.1
из 1202.2697).

Предположим дополнительно, что аддитивная категория E содержит
ядра своих расщепимых эпиморфизмов; тогда тем же свойством
обладает и категория F. Отметим, что в наших предположениях можно
говорить о "F-гомологической размерности" объекта категории E:
если объект из E имеет F-резольвенту длины m, то и любая другая
F-резольвента этого объекта может быть оборвана до длины m.
Аналогично можно говорить об F-гомологической размерности объекта
X категории D^-(E) как о минимальной гомологической градуировке
самого левого ненулевого члена представляющего X комплекса из
D^-(F). Класс всех объектов конечной F-гомологической размерности
в D^-(E) представляет собой триангулированную подкатегорию D^b(F).

В самом деле, достаточно проверить, что если между ограниченными
сверху комплексами над F есть квазиизоморфизм (в ту или иную
строну), и один из них имеет нулевые члены в гомологических
градуировках выше m, то другой тоже может быть оборван на члене
гомологической градуировки m. В этом нетрудно убедиться
непосредственно.

Предложение 2. Предположим, что всякий объект из Е допускает
левую резольвенту длины, не превосходящей фиксированной константы
n, составленную из объектов категории F. Тогда триангулированный
функтор D^*(F) \to D^*(E), индуцированный точным функтором вложения
F \to E, является эквивалентностью триангулированных категорий для
любого символа * = b, +, -, \emptyset, +abs, -abs, co, ctr или abs.
Если * = со или ctr, здесь подразумевается, что функторы
бесконечных прямых сумм (произведений) существуют и точны
в категории E, и сохраняют полную подкатегорию F \sub E.

Доказательство: случаи * = - или ctr рассмотрены в предложении 1
(и выполняются в его более слабых предположениях).

В случаях * = b, +, - или \emptyset можно рассуждать следующим
образом. Пользуясь обычной конструкцией резольвенты комплекса,
нетрудно показать, что во всякий *-ограниченный комплекс над E
квазиизоморфно отображается подходящий *-ограниченный комплекс
над F. Остается проверить, что всякий комплекс C над F, ацикличный
как комплекс над E, ацикличен также и как комплекс над F.

Можно считать обе категории Е и F содержащими образы своих
идемпотентных эндоморфизмов (иначе, перейдем к их соответствующим
замыканиям). Нетрудно построить гомоморфизм в C из ацикличного
комплекса D_0 над F, являющийся допустимым эпиморфизмом в каждом
члене. Обозначим через С_1 соответствующий комплекс ядер.
Очевидно, образы дифференциалов в C_1, D_0 и C образуют точные
тройки в E (как и члены этих комплексов). Итерируя конструкцию
и пользуясь предположением предложения, мы получим точную
последовательность комплексов 0 \to D_n \to ... \to D_0 \to C
\to 0, где комплексы D_i ацикличны над F. Теперь тотальный
комплекс бикомплекса D_n \to ... \to D_0 ацикличен над F и
квазиизоморфен C.

Доказательство в случае * = +abs, -abs, co, ctr или abs аналогично
доказательству теоремы 1.4 из 1102.0261.
Tags: math6
Subscribe

  • К предыдущему

    Есть природное или научное явление, и есть теории, его объясняющие. Типа, я не знаю, гравитации или кошулевой двойственности. Теории меняются, а…

  • Decline Advice Request

    As a matter of personal policy, I do not do any reviews for journals which would not publish my own work. Back in January 2017, my paper "Smooth…

  • Семь лет назад

    11 мая 2014 года я прилетел из Москвы в аэропорт Бен-Гуриона. Я поселился в снятой по букингу квартире-студио на (любимой с тех пор) улице Бен-Иегуда…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments