Подмодуль делимых элементов контраприспособленного плоского модуля
Важная (для моих целей) задача: пусть F -- плоский модуль над кольцом R и s ∈ R -- элемент. Обозначим через F(s) подмодуль всех бесконечно s-делимых, в сильном смысле, элементов F, т.е. образ отображения HomR(R[s−1], F) → F. Согласно предыдущему постингу, в случае нетерова кольца R это отображение инъективно. Является ли фактормодуль F/F(s) плоским? Хотя бы в случае, когда F не только плоский, но и s-контраприспособленный (т.е. ExtR1(R[s−1], F) = 0)?
Вероятнее всего, ответ на этот вопрос хорошо известен специалистам по коммутативной алгебре, но единственное, что мне пока что удается показать, это что если модуль F s-контраприспособленный и плоский, то модуль F(s) тоже s-контраприспособленный и плоский. В самом деле, модуль HomR над когерентным кольцом R из s-очень плоского модуля (такого, как R[s−1]) в s-контраприспособленный плоский модуль является s-контраприспособленным и плоским (поскольку тензорное произведение конечно представимого модуля на такой Hom изоморфно Hom'у в тензорное произведение -- ср. с леммой I.1.8б) в черновике статьи).
Update: вот доказательство плоскости F/F(s) для s-контраприспособленного плоского модуля F над нетеровым кольцом R. Как объяснено в предыдущем абзаце, для любого конечно-порожденного R-модуля M имеется естественный изоморфизм F(s)⊗RM = HomR(R[s−1], F⊗RM). Как объяснено в следующем постинге, отображение HomR(R[s−1], F⊗RM) → F⊗RM инъективно. Таким образом, мы показали, что естественное отображение F(s)⊗RM → F⊗RM инъективно для любого конечно-порожденного R-модуля M. Но это и значит, что R-модуль F/F(s) плоский (поскольку уж модуль F плоский).
UUpdate: что касается леммы о коммутации Hom с тензорным произведением, то в наибольшей (коммутативной) общности она выглядит так. Пусть R -- когерентное коммутативное кольцо, F -- R-модуль конечной проективной размерности, P -- плоский R-модуль, такой что ExtRi(F,P) = 0 для всех i > 0. Тогда для любого конечно-представимого R-модуля M имеется изоморфизм HomR(F,P) ⊗R M = HomR(F, P⊗RM), и R-модуль HomR(F,P) плоский.
В самом деле, покажем сначала, что ExtRi(F, P⊗RM) = 0 для всех i > 0. Для этого рассмотрим левую резольвенту модуля M, составленную из конечно-порожденных проективных модулей. Помножив ее тензорно на P, получим левую резольвенту модуля P⊗RM, составленную из модулей, высшие Ext'ы в которые из модуля F зануляются. Теперь ExtRi(F, P⊗RM) = ExtRi+n(F, Zn) при i > 0, где Zn обозначает n-й модуль циклов рассматриваемой резольвенты модуля P⊗RM. Поскольку F имеет конечную проективную размерность, взяв n достаточно большим, заключаем, что ExtRi(F, P⊗RM) = 0.
Теперь функтор HomR(F, P⊗RM) точен на категории конечно-представимых R-модулей M, а функтор HomR(F,P) ⊗R M точен справа. Между ними есть естественное преобразование HomR(F,P) ⊗R M → HomR(F, P⊗RM), являющееся изоморфизмом для конечно-порожденных проективных/свободных модулей M. Отсюда следует, что это изоморфизм для всех конечно-представимых M и модуль HomR(F,P) плоский.
Вероятнее всего, ответ на этот вопрос хорошо известен специалистам по коммутативной алгебре, но единственное, что мне пока что удается показать, это что если модуль F s-контраприспособленный и плоский, то модуль F(s) тоже s-контраприспособленный и плоский. В самом деле, модуль HomR над когерентным кольцом R из s-очень плоского модуля (такого, как R[s−1]) в s-контраприспособленный плоский модуль является s-контраприспособленным и плоским (поскольку тензорное произведение конечно представимого модуля на такой Hom изоморфно Hom'у в тензорное произведение -- ср. с леммой I.1.8б) в черновике статьи).
Update: вот доказательство плоскости F/F(s) для s-контраприспособленного плоского модуля F над нетеровым кольцом R. Как объяснено в предыдущем абзаце, для любого конечно-порожденного R-модуля M имеется естественный изоморфизм F(s)⊗RM = HomR(R[s−1], F⊗RM). Как объяснено в следующем постинге, отображение HomR(R[s−1], F⊗RM) → F⊗RM инъективно. Таким образом, мы показали, что естественное отображение F(s)⊗RM → F⊗RM инъективно для любого конечно-порожденного R-модуля M. Но это и значит, что R-модуль F/F(s) плоский (поскольку уж модуль F плоский).
UUpdate: что касается леммы о коммутации Hom с тензорным произведением, то в наибольшей (коммутативной) общности она выглядит так. Пусть R -- когерентное коммутативное кольцо, F -- R-модуль конечной проективной размерности, P -- плоский R-модуль, такой что ExtRi(F,P) = 0 для всех i > 0. Тогда для любого конечно-представимого R-модуля M имеется изоморфизм HomR(F,P) ⊗R M = HomR(F, P⊗RM), и R-модуль HomR(F,P) плоский.
В самом деле, покажем сначала, что ExtRi(F, P⊗RM) = 0 для всех i > 0. Для этого рассмотрим левую резольвенту модуля M, составленную из конечно-порожденных проективных модулей. Помножив ее тензорно на P, получим левую резольвенту модуля P⊗RM, составленную из модулей, высшие Ext'ы в которые из модуля F зануляются. Теперь ExtRi(F, P⊗RM) = ExtRi+n(F, Zn) при i > 0, где Zn обозначает n-й модуль циклов рассматриваемой резольвенты модуля P⊗RM. Поскольку F имеет конечную проективную размерность, взяв n достаточно большим, заключаем, что ExtRi(F, P⊗RM) = 0.
Теперь функтор HomR(F, P⊗RM) точен на категории конечно-представимых R-модулей M, а функтор HomR(F,P) ⊗R M точен справа. Между ними есть естественное преобразование HomR(F,P) ⊗R M → HomR(F, P⊗RM), являющееся изоморфизмом для конечно-порожденных проективных/свободных модулей M. Отсюда следует, что это изоморфизм для всех конечно-представимых M и модуль HomR(F,P) плоский.