Ко-контра соответствие над плоским кокольцом над кольцом конечной гомологической размерности
Пусть C -- кокольцо над кольцом A, являющееся плоским левым и правым A-модулем. Предположим, что A -- кольцо конечной слабой гомологической размерности, над которым счетные прямые суммы инъективных левых модулей имеют конечную инъективную размерность.
Теорема 1. Копроизводная категория абелевой категории левых C-комодулей эквивалентна абсолютной производной категории точной категории левых C-комодулей C-кокручения.
Теорема 2. Контрапроизводная категория точной категории левых C-контрамодулей A-кокручения эквивалентна абсолютной производной категории точной категории C/A-проективных левых C-контрамодулей A-кокручения.
Следствие: Копроизводная категория левых C-комодулей естественно эквивалентна контрапроизводной категории левых C-контрамодулей A-кокручения; эквивалентность доставляется производными функторами RΨC и LΦC.
Доказательство теоремы 1: покажем сначала, что из всякого комплекса левых C-комодулей существует морфизм в комплекс левых C-комодулей C-кокручения с коацикличным конусом. Фактически мы построим такой морфизм в комплекс инъективных C-комодулей.
Относительная кобар-конструкция (с тотализацией с помощью взятия прямых сумм вдоль диагоналей) доставляет морфизм с коацикличным конусом из всякого комплекса левых C-комодулей в комплекс левых C-комодулей, все члены которого суть C-комодули, коиндуцированные с A-модулей.
Далее нам потребуется конструкция вложения комлпекса коиндуцированных C-комодулей в комплекс C-комодулей, коиндуцированных с инъективных A-модулей, причем такого вложения, которое в каждом члене комплексов представляет собой морфизм C-комодулей, коиндуцированный с вложения A-модуля в инъективный. См. Semimodules, доказательство теоремы 5.5(a).
Переходя к факторкомплексу и итерируя эту конструкцию, мы получаем правую резольвенту нашего комплекса коиндуцированных С-комодулей, состоящую из комплексов комодулей, коиндуцированных с инъективных модулей. Тотализуя с помощью бесконечных прямых сумм, мы получаем морфизм с коацикличным конусом, бьющий из нашего комплекса в комплекс комодулей, коиндуцированных со счетных прямых сумм инъективных.
Поскольку последние, по предположению, имеют конечную инъективную размерность, мы можем запустить всю нашу конструкцию по второму разу, и после конечного числа шагов получить конечную резольвенту нашего комплекса комплексами комодулей, коиндуцированных с инъективных. Теперь остается использовать тотализацию с помощью конечных прямых сумм.
Теперь нам остается показать, что всякий комплекс левых C-комодулей C-кокручения, коацикличный по отношению к абелевой категории C-комодулей, абсолютно ацикличен по отношению к точной категории C-комодулей C-кокручения.
С этой целью мы построим для гомотопической категории C-комодулей C-кокручения полуортогональное разложение, одной стороной в котором будет гомотопическая категория комплексов, абсолютно ацикличных по отношению к точной категории C-комодулей C-кокручения, а другой -- гомотопическая категория комплексов инъективных C-комодулей. Тогда всякий комплекс C-комодулей C-кокручения, коацикличный по отношению к абелевой категории C-комодулей, будучи ортогональным всем комплексам инъективных C-комодулей, окажется абсолютно ацикличным по отношению к точной категории C-комодулей C-кокручения.
Остается вложить комплекс C-комодулей C-кокручения в комплекс инъективных C-комодулей (что легко можно сделать с любым комплексом C-комодулей, см. напр. Semimodules, доказательство теоремы 5.4(a)); перейти к факторкомплексу, и далее итерировать конструкции конечное число раз, после чего вспомнить, что гомологическая размерность категории C-комодулей C-кокручения конечна (поскольку слабая гомологическая размерность кольца A конечна), и тотализовать конечный комплекс комплексов инъективных C-комодулей.
Доказательство теоремы 2: чтобы показать, что во всякий комплекс C-контрамодулей A-кокручения есть морфизм с контраацикличным конусом из комплекса C/A-проективных C-контрамодулей A-кокручения, достаточно рассмотреть контрамодульную относительную бар-конструкцию нашего комплекса и тотализовать ее с помощью бесконечных произведений.
Покажем, что всякий комплекс C/A-проективных C-контрамодулей A-кокручения, контраацикличный по отношению к точной категории C-контрамодулей A-кокручения, абсолютно ацикличен по отношению к точной категории C/A-проективных C-контрамодулей A-кокручения.
С этой целью мы построим у гомотопической категории C/A-проективных C-контрамодулей A-кокручения полуортогональное разложение, одной стороной которого будет гомотопическая категория проективных C-контрамодулей A-кокручения (в смысле, проективных по отношению к точной категории C-контрамодулей A-кокручения -- реально, прямых слагаемых C-контрамодулей, индуцированных с плоских A-модулей кокручения), а другой стороной -- гомотопическая категория комплексов C-контрамодулей, абсолютно ацикличных по отношению к точной категории C/A-проективных C-контрамодулей A-кокручения.
Тогда всякий комплекс C/A-проективных C-контрамодулей A-кокручения, контраацикличный по отношению к точной категории C-контрамодулей A-кокручения, будучи ортогональным всем комплексам проективных C-контрамодулей A-кокручения, окажется абсолютно ацикличным по отношению к точной категории C/A-проективных C-контрамодулей A-кокручения.
Чтобы построить искомое полуортогональное разложение, достаточно построить допустимый эпиморфизм (т.е., морфизм комплексов, являющийся почленным допустимым эпиморфизмом) на произвольный комплекс C/A-проективных C-контрамодулей A-кокручения из комплекса проективных C-контрамодулей A-кокручения. После этого останется перейти к ядру морфизма комплексов, проитерировать конструкцию конечное число раз, вспомнить, что точная категория C/A-проективных C-контрамодулей A-кокручения имеет конечную гомологическую размерность, и взять тотальный комплекс с помощью конечных прямых сумм/произведений.
Что касается построения допустимого эпиморфизма из комплекса проективных объектов в точной категории, то тут используется обычная конструкция комплекса, свободно порожденного градуированным объектом, плюс утверждение, что морфизм, через который факторизуется допустимый эпиморфизм, сам является допустимым эпиморфизмом (при подходящих предположениях).
Теорема 1. Копроизводная категория абелевой категории левых C-комодулей эквивалентна абсолютной производной категории точной категории левых C-комодулей C-кокручения.
Теорема 2. Контрапроизводная категория точной категории левых C-контрамодулей A-кокручения эквивалентна абсолютной производной категории точной категории C/A-проективных левых C-контрамодулей A-кокручения.
Следствие: Копроизводная категория левых C-комодулей естественно эквивалентна контрапроизводной категории левых C-контрамодулей A-кокручения; эквивалентность доставляется производными функторами RΨC и LΦC.
Доказательство теоремы 1: покажем сначала, что из всякого комплекса левых C-комодулей существует морфизм в комплекс левых C-комодулей C-кокручения с коацикличным конусом. Фактически мы построим такой морфизм в комплекс инъективных C-комодулей.
Относительная кобар-конструкция (с тотализацией с помощью взятия прямых сумм вдоль диагоналей) доставляет морфизм с коацикличным конусом из всякого комплекса левых C-комодулей в комплекс левых C-комодулей, все члены которого суть C-комодули, коиндуцированные с A-модулей.
Далее нам потребуется конструкция вложения комлпекса коиндуцированных C-комодулей в комплекс C-комодулей, коиндуцированных с инъективных A-модулей, причем такого вложения, которое в каждом члене комплексов представляет собой морфизм C-комодулей, коиндуцированный с вложения A-модуля в инъективный. См. Semimodules, доказательство теоремы 5.5(a).
Переходя к факторкомплексу и итерируя эту конструкцию, мы получаем правую резольвенту нашего комплекса коиндуцированных С-комодулей, состоящую из комплексов комодулей, коиндуцированных с инъективных модулей. Тотализуя с помощью бесконечных прямых сумм, мы получаем морфизм с коацикличным конусом, бьющий из нашего комплекса в комплекс комодулей, коиндуцированных со счетных прямых сумм инъективных.
Поскольку последние, по предположению, имеют конечную инъективную размерность, мы можем запустить всю нашу конструкцию по второму разу, и после конечного числа шагов получить конечную резольвенту нашего комплекса комплексами комодулей, коиндуцированных с инъективных. Теперь остается использовать тотализацию с помощью конечных прямых сумм.
Теперь нам остается показать, что всякий комплекс левых C-комодулей C-кокручения, коацикличный по отношению к абелевой категории C-комодулей, абсолютно ацикличен по отношению к точной категории C-комодулей C-кокручения.
С этой целью мы построим для гомотопической категории C-комодулей C-кокручения полуортогональное разложение, одной стороной в котором будет гомотопическая категория комплексов, абсолютно ацикличных по отношению к точной категории C-комодулей C-кокручения, а другой -- гомотопическая категория комплексов инъективных C-комодулей. Тогда всякий комплекс C-комодулей C-кокручения, коацикличный по отношению к абелевой категории C-комодулей, будучи ортогональным всем комплексам инъективных C-комодулей, окажется абсолютно ацикличным по отношению к точной категории C-комодулей C-кокручения.
Остается вложить комплекс C-комодулей C-кокручения в комплекс инъективных C-комодулей (что легко можно сделать с любым комплексом C-комодулей, см. напр. Semimodules, доказательство теоремы 5.4(a)); перейти к факторкомплексу, и далее итерировать конструкции конечное число раз, после чего вспомнить, что гомологическая размерность категории C-комодулей C-кокручения конечна (поскольку слабая гомологическая размерность кольца A конечна), и тотализовать конечный комплекс комплексов инъективных C-комодулей.
Доказательство теоремы 2: чтобы показать, что во всякий комплекс C-контрамодулей A-кокручения есть морфизм с контраацикличным конусом из комплекса C/A-проективных C-контрамодулей A-кокручения, достаточно рассмотреть контрамодульную относительную бар-конструкцию нашего комплекса и тотализовать ее с помощью бесконечных произведений.
Покажем, что всякий комплекс C/A-проективных C-контрамодулей A-кокручения, контраацикличный по отношению к точной категории C-контрамодулей A-кокручения, абсолютно ацикличен по отношению к точной категории C/A-проективных C-контрамодулей A-кокручения.
С этой целью мы построим у гомотопической категории C/A-проективных C-контрамодулей A-кокручения полуортогональное разложение, одной стороной которого будет гомотопическая категория проективных C-контрамодулей A-кокручения (в смысле, проективных по отношению к точной категории C-контрамодулей A-кокручения -- реально, прямых слагаемых C-контрамодулей, индуцированных с плоских A-модулей кокручения), а другой стороной -- гомотопическая категория комплексов C-контрамодулей, абсолютно ацикличных по отношению к точной категории C/A-проективных C-контрамодулей A-кокручения.
Тогда всякий комплекс C/A-проективных C-контрамодулей A-кокручения, контраацикличный по отношению к точной категории C-контрамодулей A-кокручения, будучи ортогональным всем комплексам проективных C-контрамодулей A-кокручения, окажется абсолютно ацикличным по отношению к точной категории C/A-проективных C-контрамодулей A-кокручения.
Чтобы построить искомое полуортогональное разложение, достаточно построить допустимый эпиморфизм (т.е., морфизм комплексов, являющийся почленным допустимым эпиморфизмом) на произвольный комплекс C/A-проективных C-контрамодулей A-кокручения из комплекса проективных C-контрамодулей A-кокручения. После этого останется перейти к ядру морфизма комплексов, проитерировать конструкцию конечное число раз, вспомнить, что точная категория C/A-проективных C-контрамодулей A-кокручения имеет конечную гомологическую размерность, и взять тотальный комплекс с помощью конечных прямых сумм/произведений.
Что касается построения допустимого эпиморфизма из комплекса проективных объектов в точной категории, то тут используется обычная конструкция комплекса, свободно порожденного градуированным объектом, плюс утверждение, что морфизм, через который факторизуется допустимый эпиморфизм, сам является допустимым эпиморфизмом (при подходящих предположениях).