Продолжение http://posic.livejournal.com/753725.html Похоже, что сформулированное по ссылке утверждение доказывается. При этом в доказательстве возможности продолжить A ∞ -структуру по модулю m n плюс A k−1 -структуру по модулю m n+1 на B до A ∞ -структуры по модулю m n плюс A k -структуры по модулю m n+1 используется инъективность отображения H(B/mB) → H(A/mA). А в доказательстве возможности одновременно модифицировать эту ε n -компоненту k-й операции высшего умножения на B и подобрать ε n -компоненту k-й операции высшего отображения A → B так, чтобы получился A k -морфизм по модулю m n+1 , используется сюръективность отображения H(B/mB) → H(A/mA). Теперь следующий шаг должен состоять в том, чтобы стриктифицировать единицу слабо искривленной A ∞ -алгебры, редукция которой по модулю m является A ∞ -алгеброй над полем с нулевым дифференциалом и унитальной двуместной операцией (заведомо ассоциативной, т.к. дифференциал нулевой). Соответствующее утверждение могло бы формулироваться так: пусть A -- слабо искривленная А-бесконечность алгебра над R/m n+1 , строго унитальная по модулю m n . Тогда должно быть можно подобрать "модифицирующий" слабо искривленный А-бесконечность изоморфизм между заданной и новой структурой А-бесконечность алгебры на A, тождественный по модулю m n , и подъем строгой единицы A/m n A в A, такой что поднятый элемент является строгой единицей в модифицированной структуре A ∞ -алгебры на A. Более инвариантно, речь идет о слабо искривленном А-бесконечность изоморфизме A' → A, являющемся строгим изоморфизмом (т.е. со всеми нулевыми компонентами кроме f 1 ) по модулю m n . Upd.: например, чтобы поднять элемент 1 ∈ A/m n A до элемента 1' ∈ A, удовлетворяющего уравнению μ 1 (1')=0, достаточно сначала поднять 1 до любого элемента 1'' ∈ A, а потом положить 1' = 1'' + 1'' − μ 2 (1''⊗1''). (Это если A/mA произвольная А-бесконечность алгебра; если A/mA -- А-бесконечность алгебра с нулевым дифференциалом, вообще любой подъем годится, в чем можно убедиться, посчитав μ 1 (μ 2 (1''⊗1'')).) UUpd.: вообще, эта стриктификация единицы при переходе от mod m n к mod m n+1 должна доказываться не так, как в ситуации над полем. В ситуации над полем, рассуждение Л.-Х. предполагает А-бесконечность алгебру с нулевым дифференциалом, следовательно, со строго ассоциативной и унитальной двухместной операцией μ 2 , и дальше использует f 2 , чтобы унитализовать μ 3 , и т.д. Переход же от mod m n к mod m n+1 не требует никаких ограничений на μ 1 . В предположении μ 1 = 0 mod m он, похоже, становится совсем простым (построенный выше элемент 1' является строгой единицей для A, и никакого f вообще не нужно). В общем же случае он использует f 2 , чтобы унитализовать μ 2 , и т.д. Грубо-приблизительно, нужно брать f 2 (1'⊗x) = μ 3 (1'⊗1'⊗x), что-то в этом роде.