Продолжение предыдущего
Про мотивы с конечными коэффициентами -- между прочим, применительно к моим текстам на эту тему, можно задаться таким вопросом. Вот взять статью про артин-тейтовские мотивные пучки на многообразиях. Там в конструкции категории FXm циклотомический пучок μm упоминается. И потом он же входит в формулировки теорем сравнения с гипотезой Б.-Л. об этальном спуске.
Что произойдет, если (шутки ради) заменить μm на μm⊗−1 в обоих местах? Или, если на то пошло, на μm⊗2? Ответ: ничего не произойдет. Все рассуждения останутся верны. И между прочим, если кто-то мне каким-то образом построит триангулированные категории с формальными свойствами категорий мотивных пучков, но с заменой μm на μm⊗−1 в функторе этальной реализации и с соответствующей версией БЛ-спуска, то и теорема вложения моей точной категории в эту триангулированную категорию (псевдо)мотивов тоже останется на месте, как была.
А вот то, что сформулировано в предыдущем постинге, неверно, если заменить μm на μm⊗−1. Достаточно взять M = Z/m и N = Z/m(1), а X пусть будет спектром поля K. Tогда точность последовательности
ExtFXm1(Z/m, Z/m(1)) → ExtFXm''1(Z/m'', Z/m''(1)) → ExtFXm'2(Z/m', Z/m'(1))
упирается в сюръективность отображения H1(GK, μm) → H1(GK, μm''), то есть, по сути, теорему Гильберта 90. Потому что Ext2 такой равен нулю всегда (это уже общее, чисто формальное утверждение).
Возможность построения желаемой длинной точной последовательности замены коэффициентов зависит, таким образом, от того, какие специфические свойства циклотомических когомологий Галуа в нее на самом деле зашиты. Пока что у меня есть надежда обойтись этой теоремой 90 в весе 1...
Что произойдет, если (шутки ради) заменить μm на μm⊗−1 в обоих местах? Или, если на то пошло, на μm⊗2? Ответ: ничего не произойдет. Все рассуждения останутся верны. И между прочим, если кто-то мне каким-то образом построит триангулированные категории с формальными свойствами категорий мотивных пучков, но с заменой μm на μm⊗−1 в функторе этальной реализации и с соответствующей версией БЛ-спуска, то и теорема вложения моей точной категории в эту триангулированную категорию (псевдо)мотивов тоже останется на месте, как была.
А вот то, что сформулировано в предыдущем постинге, неверно, если заменить μm на μm⊗−1. Достаточно взять M = Z/m и N = Z/m(1), а X пусть будет спектром поля K. Tогда точность последовательности
ExtFXm1(Z/m, Z/m(1)) → ExtFXm''1(Z/m'', Z/m''(1)) → ExtFXm'2(Z/m', Z/m'(1))
упирается в сюръективность отображения H1(GK, μm) → H1(GK, μm''), то есть, по сути, теорему Гильберта 90. Потому что Ext2 такой равен нулю всегда (это уже общее, чисто формальное утверждение).
Возможность построения желаемой длинной точной последовательности замены коэффициентов зависит, таким образом, от того, какие специфические свойства циклотомических когомологий Галуа в нее на самом деле зашиты. Пока что у меня есть надежда обойтись этой теоремой 90 в весе 1...