Экзотические производные категории
Сережа 
hippie57 в пятницу рассказывал в Стекловке следующее. У Дениса Г. с соавторами есть такая конструкция экзотических производных категорий: берется самая обычная производная категория D каких-нибудь модулей или DG-модулей над чем-нибудь, и в ней выбирается малая триангулированная подкатегория C, в простейшем случае -- порожденная одним объектом, в типичном случае -- содержащая подкатегорию компактных объектов, но не совпадающая с ней.
По построению, для триангулированной категории C у нас есть DG-версия DG(C). На нее можно натянуть триангулированную категорию E с бесконечными прямыми суммами, так чтобы C была в ней подкатегорией компактных образующих (просто взять производную категорию правых DG-модулей над этой DG(С)). Скажем, если D -- неограниченная производная категория локально нетеровой категории Гротендика A (модулей над нетеровым кольцом, когерентных пучков над нетеровой схемой) и C -- ограниченная производная категория нетеровых объектов A, то в качестве E получится копроизводная категория A.
Если S -- полуалгебра над коалгеброй K над полем, и над K есть только конечное число неприводимых комодулей (в простейшем случае, K конечномерна или конильпотентна), и k обозначает прямую сумму этих неприводимых комодулей, и если рассмотреть в производной категории D полумодулей над S триангулированную подкатегорию, натянутую на котензорное произведение S на k над K (т.е., S-полумодуль, индуцированный с k), то в качестве категории E получится полупроизводная категория полумодулей над S относительно K.
Конструкция эта перекрывается с моим определением копроизводных и полупроизводных категорий, но ни одна из этих двух вещей не содержится в другой. С одной стороны, триангулированные подкатегории можно натягивать на самые разные объекты или множества объектов, не обязательно сводящиеся к индуцированным с неприводимых или нетеровых.
С другой стороны, для того, чтобы применять конструкцию Дениса, нужно изначально иметь "обычную" производную категорию, достаточно близкую (т.е., для неких порождающих объектов совпадающую) с желаемой экзотической. Типичным образом, это осуществимо в контексте каких-нибудь неположительно когомологически градуированных DG-алгебр (как в интересующих Дениса DG-схемах) или, наоборот, односвязных неотрицательно когомологически градуированных DG-алгебр.
К стандартному комплексу алгебры Ли, комплексу де Рама, CDG-алгебрам, матричным факторизациям и т.п. все это либо (в последних двух случаях) неприменимо вообще, за отсутствием производной категории первого рода, либо (в первых двух случаях) не позволяет получить копроизводную категорию, поскольку производные категории первого и второго рода совершенно различны уже для самых ограниченных и конечномерных модулей. Ну, т.е., получить копроизводную категорию конструкцией компактного порождения во многих случаях можно, конечно, но для этого нужно стартовать с чего-то вроде абсолютной производной категории нетеровых модулей, которую нужно для начала где-то взять (и внутри обычной производной категории взять ее в перечисленных случаях, видимо, нельзя).
hippie57 в пятницу рассказывал в Стекловке следующее. У Дениса Г. с соавторами есть такая конструкция экзотических производных категорий: берется самая обычная производная категория D каких-нибудь модулей или DG-модулей над чем-нибудь, и в ней выбирается малая триангулированная подкатегория C, в простейшем случае -- порожденная одним объектом, в типичном случае -- содержащая подкатегорию компактных объектов, но не совпадающая с ней.По построению, для триангулированной категории C у нас есть DG-версия DG(C). На нее можно натянуть триангулированную категорию E с бесконечными прямыми суммами, так чтобы C была в ней подкатегорией компактных образующих (просто взять производную категорию правых DG-модулей над этой DG(С)). Скажем, если D -- неограниченная производная категория локально нетеровой категории Гротендика A (модулей над нетеровым кольцом, когерентных пучков над нетеровой схемой) и C -- ограниченная производная категория нетеровых объектов A, то в качестве E получится копроизводная категория A.
Если S -- полуалгебра над коалгеброй K над полем, и над K есть только конечное число неприводимых комодулей (в простейшем случае, K конечномерна или конильпотентна), и k обозначает прямую сумму этих неприводимых комодулей, и если рассмотреть в производной категории D полумодулей над S триангулированную подкатегорию, натянутую на котензорное произведение S на k над K (т.е., S-полумодуль, индуцированный с k), то в качестве категории E получится полупроизводная категория полумодулей над S относительно K.
Конструкция эта перекрывается с моим определением копроизводных и полупроизводных категорий, но ни одна из этих двух вещей не содержится в другой. С одной стороны, триангулированные подкатегории можно натягивать на самые разные объекты или множества объектов, не обязательно сводящиеся к индуцированным с неприводимых или нетеровых.
С другой стороны, для того, чтобы применять конструкцию Дениса, нужно изначально иметь "обычную" производную категорию, достаточно близкую (т.е., для неких порождающих объектов совпадающую) с желаемой экзотической. Типичным образом, это осуществимо в контексте каких-нибудь неположительно когомологически градуированных DG-алгебр (как в интересующих Дениса DG-схемах) или, наоборот, односвязных неотрицательно когомологически градуированных DG-алгебр.
К стандартному комплексу алгебры Ли, комплексу де Рама, CDG-алгебрам, матричным факторизациям и т.п. все это либо (в последних двух случаях) неприменимо вообще, за отсутствием производной категории первого рода, либо (в первых двух случаях) не позволяет получить копроизводную категорию, поскольку производные категории первого и второго рода совершенно различны уже для самых ограниченных и конечномерных модулей. Ну, т.е., получить копроизводную категорию конструкцией компактного порождения во многих случаях можно, конечно, но для этого нужно стартовать с чего-то вроде абсолютной производной категории нетеровых модулей, которую нужно для начала где-то взять (и внутри обычной производной категории взять ее в перечисленных случаях, видимо, нельзя).