Периодические циклические гомологии DG-алгебр гомотопически конечного типа
DG-алгебры гомотопически конечного типа -- это гомотопические ретракты конечных клеточных DG-алгебр, т.е. конечно-порожденных свободных градуированных ассоциативных алгебр с дифференциалом, переводящим каждую образующую в элемент подалгебры, порожденной предыдущими (относительно какого-то линейного порядка на образующих). Саша Е. говорит гипотезу, что периодические циклические гомологии DG-алгебр гомотопически конечного типа конечномерны. Достаточно доказать это для конечных клеточных DG-алгебр.
Услышав это, я сразу предложил такое рассуждение: как, кажется, доказано в нашей с Сашей П. статье, гомологии Хохшильда первого и второго рода кофибрантных DG-алгебр изоморфны; отсюда должно следовать, что и периодические циклические гомологии двух родов изоморфны тоже. А к гомологиям второго рода могла бы сходиться спектралка, начинающаяся с таких же гомологий той же алгебры с нулевым дифференциалом. Это сводило бы вопрос к случаю конечно-порожденной свободной градуированной алгебры с нулевым дифференциалом.
Проблема в том, что, как объясняет Саша, гомологии Хохшильда конечно-порожденной свободной ассоциативной алгебры бесконечномерны, а периодические циклические гомологии свободной ассоциативной алгебры такие же, как у основного поля. В обоих контекстах, конечная порожденность свободной алгебры оказывается ни при чем. Все это немного странно.
Услышав это, я сразу предложил такое рассуждение: как, кажется, доказано в нашей с Сашей П. статье, гомологии Хохшильда первого и второго рода кофибрантных DG-алгебр изоморфны; отсюда должно следовать, что и периодические циклические гомологии двух родов изоморфны тоже. А к гомологиям второго рода могла бы сходиться спектралка, начинающаяся с таких же гомологий той же алгебры с нулевым дифференциалом. Это сводило бы вопрос к случаю конечно-порожденной свободной градуированной алгебры с нулевым дифференциалом.
Проблема в том, что, как объясняет Саша, гомологии Хохшильда конечно-порожденной свободной ассоциативной алгебры бесконечномерны, а периодические циклические гомологии свободной ассоциативной алгебры такие же, как у основного поля. В обоих контекстах, конечная порожденность свободной алгебры оказывается ни при чем. Все это немного странно.