Матричные факторизации на формальных схемах: по следам разговора с А.Е.
Саша говорит, что нужно рассматривать матричные факторизации на формальной схеме с максимальной (настоящей, не формальной) приведенной замкнутой подсхемой, содержащейся в нулевом локусе потенциала. Для меня это интересно тем, что у таких матричных факторизаций могут быть, наряду с уже знакомыми производными категориями второго рода, еще и производные категории первого рода, определяемые в духе той работы, что я сейчас пишу.
Пусть X -- формальная схема, снабженная плоским морфизмом в проартинову формальную схему Specf R, где R -- проартиново локальное кольцо. Предположим, что слой этого отображения над замкнутой точкой Specf R является настоящей (не формальной) замкнутой подсхемой в X. Выберем потенциал w на X, равный нулю на замкнутом слое, и будем рассматривать его матричные факторизации (в каком-то там классе пучков, который надо еще определить -- скажем, в ситуации с аффинной формальной схемой X, снабженной плоским морфизмом в Specf R как выше, можно рассматривать R-контрамодульные O(X)-модули в духе моей пишущейся статьи). Тогда рассмотрение производной категории первого рода таких матричных факторизаций по существу означает, что берется факторкатегория по всем матричным факторизациям, ограничение которых на замкнутый слой является ацикличным комплексом пучков.
В простейшем случае, когда замкнутый слой совпадает с нулевым локусом (т.е. R -- полное кольцо дискретного нормирования и w -- его униформизующий элемент), такая производная категория равна нулю в силу известной леммы из статьи П.-В. -- факторизуя w-плоскую матричную факторизацию по w, получаем ацикличный комплекс пучков. Интересен же случай, когда замкнутый слой поменьше нулевого локуса -- скажем, совпадает с критическим локусом (особенностями нулевого) или что-то в этом роде. В этом случае можно надеяться поймать в производной категории первого рода м.ф., или в нескольких таких производных категориях первого рода, ощутимый кусок производной категории второго рода. Что может представлять интерес с точки зрения тех же (ко)гомологий Хохшильда и т.д.
Пусть X -- формальная схема, снабженная плоским морфизмом в проартинову формальную схему Specf R, где R -- проартиново локальное кольцо. Предположим, что слой этого отображения над замкнутой точкой Specf R является настоящей (не формальной) замкнутой подсхемой в X. Выберем потенциал w на X, равный нулю на замкнутом слое, и будем рассматривать его матричные факторизации (в каком-то там классе пучков, который надо еще определить -- скажем, в ситуации с аффинной формальной схемой X, снабженной плоским морфизмом в Specf R как выше, можно рассматривать R-контрамодульные O(X)-модули в духе моей пишущейся статьи). Тогда рассмотрение производной категории первого рода таких матричных факторизаций по существу означает, что берется факторкатегория по всем матричным факторизациям, ограничение которых на замкнутый слой является ацикличным комплексом пучков.
В простейшем случае, когда замкнутый слой совпадает с нулевым локусом (т.е. R -- полное кольцо дискретного нормирования и w -- его униформизующий элемент), такая производная категория равна нулю в силу известной леммы из статьи П.-В. -- факторизуя w-плоскую матричную факторизацию по w, получаем ацикличный комплекс пучков. Интересен же случай, когда замкнутый слой поменьше нулевого локуса -- скажем, совпадает с критическим локусом (особенностями нулевого) или что-то в этом роде. В этом случае можно надеяться поймать в производной категории первого рода м.ф., или в нескольких таких производных категориях первого рода, ощутимый кусок производной категории второго рода. Что может представлять интерес с точки зрения тех же (ко)гомологий Хохшильда и т.д.