Лёня Посицельский (posic) wrote,
Лёня Посицельский
posic

Абелева категория контрамодулей над кольцом Новикова



(...Ерунда следует ниже...)

имеет гомологическую размерность один. имеет, как мне теперь кажется, гомологическую размерность два.

О чем идет речь: кольцо Новикова -- это кольцо формальных степенных рядов над полем k от одной переменной z с неотрицательными вещественными показателями. Элементами кольца являются ряды, у который показатели членов, входящих с ненулевыми коэффициентами, образуют последовательность вещественных чисел, стремящуюся к бесконечности.

Топология на кольце Новикова: базу окрестностей нуля образуют множества всех рядов, делящихся нацело на какую-то степень переменной z. Как над всяким топологическим кольцом, у которого (правые) открытые идеалы образуют базу окрестностей нуля, над кольцом Новикова бывают (левые) контрамодули -- http://posic.livejournal.com/206662.html

Контрамодуль над кольцом Новикова называется не имеющим кручения, если оператор умножения на z на нем инъективен. Ясно, что подконтрамодуль контрамодуля без кручения не имеет кручения. Утверждается, что контрамодуль над кольцом Новикова свободен тогда и только тогда, когда он не имеет кручения. (Утверждение о гомологической размерности отсюда немедленно следует.)

В самом деле, пусть F -- контрамодуль без кручения над кольцом Новикова R. Пусть m -- максимальный идеал R; обозначим через mF образ отображения контрадействия m[F] → F. Пусть P = R ⊗^ F/mF -- R-контрамодуль, свободно порожденный k-векторным пространством F/mF. Тогда изоморфизм P/mP = F/mF можно поднять до морфизма R-контрамодулей P → F, поскольку P проективен.

Согласно контрамодульной лемме Накаямы (см. Appendix A к Homological algebra of semimodules...), отображение P → F сюръективно. Отображение P → F, вообще говоря, конечно, не сюръективно (лемма Накаямы места не имеет). Достаточно рассмотреть случай F = m, в котором, очевидно, mF = F. Допустим сначала, однако, что это отображение оказалось сюръективным для нашего контрамодуля F.

Осталось Тогда можно заметить, что любой ненулевой элемент P можно представить в виде произведения некоторой неотрицательной степени переменной z на элемент P, не принадлежащий mP (и даже единственным образом; потому что у последовательности вещественных чисел, стремящейся к бесконечности, есть наименьший элемент). Теперь если p = zaq в P и p переходит в ноль в F, то образ q в F является ненулевым элементом кручения. Таким образом, отображение P → F -- изоморфизм.

Update: однако, у приведенного рассуждения есть одна небольшая проблема: максимальный идеал кольца R не является топологически нильпотентным (по крайней мере, в смысле Appendix A). Применима ли в такой ситуации лемма Накаямы, не вполне понятно. Лемма Накаямы в формулировке из Appendix A неприменима, поскольку максимальный идеал кольца R не является топологически нильпотентным.

UUpdate: утверждение про гомологическую размерность 2 хочется доказывать вот каким образом. Пусть K -- R-контрамодуль без кручения; представим его как факторконтрамодуль свободного R-контрамодуля Q по его подконтрамодулю F. Как мне кажется, из отсутствия кручения у K следует, что отображение F/mF → Q/mQ инъективно. Дальше хочется выбрать вполне упорядоченный базис в F/mF и по индукции построить множество образующих F, после приведения по модулю mF становящееся нашим базисом в F/mF.
Tags: math5
Subscribe

  • Post a new comment

    Error

    switch
    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
    Help
  • 0 comments