Лёня Посицельский (posic) wrote,
Лёня Посицельский
posic

Categories:

Когерентные CDG-модули, открытая подсхема, замкнутое дополнение - 2

Продолжение постинга http://posic.livejournal.com/665530.html (который я начал писать днем в четверг, а закончил только сегодня вечером, сохраняя под глазом черновые варианты, поскольку все время вылезали неожиданные проблемы, решения которых обсуждались в последующих постингах). Сохраняются обозначения и предположения постинга по ссылке.

Теорема. а) функтор ограничения на открытую подсхему Dco(B-qcoh) → Dco(B|U-qcoh) является функтором локализации Вердье по толстой подкатегории Dco(B-qcohT).
б) Функтор ограничения на открытую подсхему Dabs(B-coh) → Dabs(B|U-coh) является функтором локализации Вердье по триангулированной подкатегории Dabs(B-cohT). В частности, ядро этого функтора ограничения совпадает с толстой оболочкой этой триангулированной подкатегории.

Доказательство: чтобы доказать пункт а), рассмотрим функтор, сопряженный справа к функтору ограничения. Это будет производный функтор прямого образа с открытого вложения, который строится с помощью инъективных резольвент (см. лемму 1 из постинга по ссылке). Поскольку если применить сначала прямой образ, а потом ограничение, получится тождественный функтор, функтор ограничения является локализацией Вердье. Поскольку ядро и коядро морфизма сопряженности из инъективного CDG-модуля на X в прямой образ на X его ограничения на U имеют теоретико-множественный носитель в T, ядро нашего функтора локализации совпадает с Dco(B-qcohT). (NB: здесь мы опять воспользовались сохранением инъективности при ограничении квазикогерентных B-модулей на открытую подсхему.)

Существенная сюрьективность функтора ограничения в пункте б), очевидно, имеет место уже на уровне DG-категорий когерентных CDG-модулей (взять прямой образ на X когерентного CDG-модуля на U и выбрать в результате достаточно большой когерентный CDG-подмодуль). С учетом этого замечания, пункт б) следует пункта а) и стандартных общих результатов о компактно порожденных триангулированных категориях (см. лемму 2 из постинга по ссылке). Мы имеем компактно порожденную триангулированную категорию, и в ней триангулированную подкатегорию, порожденную некоторым множеством компактных образующих большой категории; в такой ситуации факторкатегория компактных объектов большой категории по компактным объектам подкатегории вполне строго отображается в компактные объекты факторкатегории (и всякий объект последней является прямым слагаемым объекта из образа этого функтора).

Таким образом, мы решили задачу, поставленную в постинге http://posic.livejournal.com/665106.html , для случая когерентных матричных факторизаций (и отчасти для когерентных CDG-модулей вообще). Как решать аналогичную задачу для локально свободных матричных факторизаций конечного ранга, по-прежнему непонятно. Является ли всякая локально свободная м.ф. конечного ранга, ограничение которой на дополнение к замкнутому подмножеству T абсолютно ациклично (= локально стягиваемо), прямым слагаемым, в абсолютной производной категории, когерентной м.ф. конечной плоской размерности, теоретико-множественный носитель которой содержится в T?
Tags: math5
Subscribe

  • К предыдущему

    Есть природное или научное явление, и есть теории, его объясняющие. Типа, я не знаю, гравитации или кошулевой двойственности. Теории меняются, а…

  • Decline Advice Request

    As a matter of personal policy, I do not do any reviews for journals which would not publish my own work. Back in January 2017, my paper "Smooth…

  • Семь лет назад

    11 мая 2014 года я прилетел из Москвы в аэропорт Бен-Гуриона. Я поселился в снятой по букингу квартире-студио на (любимой с тех пор) улице Бен-Иегуда…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments