Лёня Посицельский (posic) wrote,
Лёня Посицельский
posic

Category:

Теорему Хартсхорна об инъективных квазикогерентных пучках

хотелось бы передоказать все же. Как есть доказательство Х. для моего слабого ума не вполне постижно, а без обобщения ее на случай нетеровой квазикогерентной (некоммутативной) алгебры над нетеровой схемой мне жить неудобно.

Может быть, можно рассуждать примерно так.

Лемма. Пусть E -- когерентный пучок на нетеровой схеме X, и пусть G ⊂ E -- подпучок OX-модулей. Пусть M -- квазикогерентный пучок на X, и пусть φ: G → M -- гомоморфизм пучков OX-модулей. Тогда найдется когерентный подпучок F ⊂ E, содержащий G, и такой что на него продолжается гомоморфизм пучков φ.

Вывод теоремы Хартсхорна из леммы. Пусть J -- инъективный квазикогерентный пучок на X; мы хотим показать, что он является инъективным пучком OX-модулей. Как известно, достаточно уметь продолжать морфизмы в J с подобъектов образующих объектов категории пучков OX-модулей на сами эти образующие объекты. Образующими объектами являются пучки OU! -- продолжения нулем структурных пучков с открытых подсхем. Пусть G -- подпучок OU! и φ: G → J -- OX-линейный морфизм. Рассмотрим G как подпучок OX и найдем подпучок OX-модулей F ⊂ OX, на который продолжается морфизм φ. Ввиду инъективности J как квазикогерентного пучка, морфизм F → J продолжается до морфизма OX → J. Последний морфизм можно теперь ограничить на OU!.

Доказывать лемму я пока не умею, но она выглядит правдоподобной. По существу речь идет о том, чтобы интерпретировать конечно порожденный пучок OX-модулей как прокогерентный пучок. Рассуждение могло бы выглядеть примерно так. Пучок G порожден конечным набором сечений s на каких-то открытых множествах U. Сосредоточимся на одном таком сечении. Оно порождает подмодуль в модуле сечений E(U), с которым связан когерентный подпучок G(s,U) пучка E|U. Продолжим этот подпучок на открытом множестве до когерентного подпучка F(s,U) всего пучка E. Пучок F(s,U) будем умножать на степени пучка идеалов какой-нибудь структуры замкнутой подсхемы на X\U, и получившиеся когерентные подпучки в E суммировать по всем s. Получится убывающая цепочка когерентных подпучков в Е, в каком-то наивном смысле "сходящаяся" к G. Хотелось бы взять за F достаточно далекий член этой цепочки.
Tags: math5
Subscribe

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments