Лёня Посицельский (posic) wrote,
Лёня Посицельский
posic

Categories:

Когерентные CDG-модули, открытая подсхема, замкнутое дополнение - 1

Пусть (B,d,h) -- нетерова квазикогерентная CDG-алгебра на нетеровой схеме X, и пусть T⊂X -- замкнутое подмножество, U⊂X -- дополнение к T, рассматриваемое как открытая подсхема, Т⊂X. Пусть B-coh обозначает точную DG-категорию CDG-модулей над B, а B-cohT -- точную подкатегорию в B-coh, состоящую из CDG-модулей, подлежащие градуированные B-модули (или даже, лучше сказать, OX-модули) которых имеют теоретико-множественный носитель в T. Обозначения B-qcoh и B-qcohT имеют аналогичный смысл применительно к квазикогерентным CDG-модулям.

Пусть B-qcohinj обозначает DG-категорию квазикогерентных CDG-модулей над B, подлежащие градуированные B-модули которых инъективны; B-qcohT,inj -- DG-категорию квазикогерентных CDG-модулей над B, подлежащие градуированные B-модули которых имеют теоретико-множественный носитель в Т и инъективны по отношению к абелевой категории градуированных B-модулей с таким носителем.

Лемма 1. a) H0(B-qcohinj) → Dco(B-qcoh) -- эквивалентность триангулированных категорий.
б) H0(B-qcohT,inj) → Dco(B-qcohT) -- эквивалентность триангулированных категорий.

Доказательство: см. раздел 3.7 книжки Two kinds of derived categories... Важно только, что прямые суммы градуированных B-модулей соответствующего класса точны и сохраняют инъективность. Последнее имеет место в силу локальной нетеровости категории квазикогерентных градуированных B-модулей (с ограничением на носитель или без такового).

Лемма 2. a) Dabs(B-coh) → Dco(B-qcoh) -- вполне строгий функтор, образ которого является множеством компактных образующих во второй категории.
б) Dabs(B-cohT) → Dco(B-qcohT) -- вполне строгий функтор, образ которого является множеством компактных образующих во второй категории.

Доказательство: аналогично разделу 3.11 книжки Two kinds of derived categories...

Следующая лемма доказывается в предположении, что свойство инъективности квазикогерентных градуированных модулей является локальным для всех квазикогерентных градуированных алгебр, для которых нам это может понадобиться (см.)

Лемма 3. а) Dabs(B-cohT) → Dabs(B-coh) -- вполне строгий функтор.
б) Dco(B-qcohT) → Dco(B-qcoh) -- вполне строгий функтор.

Доказательство: пункт а) следует из леммы 2 + пункта б), а пункт б) следует из леммы 1 + того факта, что инъективный объект в категории квазикогерентных градуированных B-модулей с носителем в T является в то же время и инъективным объектом в категории произвольных квазикогерентных градуированных B-модулей.

Последний факт выводится из леммы Артина-Риса следующим образом. Во-первых, вазикогерентный градуированный B-модуль J с носителем в T является инъективным объектом в своей категории тогда и только тогда, когда для любой структуры Z замкнутой подсхемы на T максимальный подпучок J, аннулируемый пучком идеалов Z, является инъективным квазикогерентным градуированным модулем над ограничением B на Z. Поэтому локальность инъективности квазикогерентных модулей над ограничениями B на замкнутые подсхемы (вместе с возможностью продолжения структур замкнутой подсхемы на данном замкнутом подмножестве с его пересечений с открытыми подсхемами) влечет локальность инъективности квазикогерентных градуированных B-модулей с носителем в Т. Поэтому вопрос сводится к случаю аффинной схемы.

Пусть теперь имеется коммутативное нетерово кольцо R, в нем идеал a, над ним алгебра B, над B модуль J с теоретико-множественным носителем в множестве нулей a, инъективный в классе таких. Пусть имеется конечно-порожденный B-модуль N и его подмодуль M, и гомоморфизм B-модулей φ: M → J. Поскольку M и a конечно порождены, найдется такое натуральное m, что φ факторизуется через M/amM. Согласно лемме Артина-Риса для идеалов, порожденных центральными элементами в некоммутативных нетеровых кольцах (см.), найдется такое натуральное n, что M ∩ anN ⊂ amM. Теперь остается продолжить гомоморфизм B-модулей в J с M/(M∩anN) на N/anN; оба последних B-модуля имеют теоретико-множественный носитель в множестве нулей a, так что это можно сделать.
Tags: math5
Subscribe

Recent Posts from This Journal

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments