Лёня Посицельский (posic) wrote,
Лёня Посицельский
posic

Еще о прямых образах матричных факторизаций

Хорошо бы все-таки научиться доказывать результаты о сохранении конечной порожденности (когерентности, конечности ранга) напрямую для матричных факторизаций, не переходя к триангулированным категориям особенностей.

В какой-то общности это даже легко делается. Пусть f: Y → X -- морфизм (хороших) схем и w --- сечение векторного расслоения L на X; нас интересуют прямые образы матричных факторизаций f*w при морфизме f (являющиеся, по определению, матричными факторизациями w). Утверждение: если морфизм f собственный, то прямой образ когерентной матричной факторизации когерентен с точностью до абсолютно ацикличных.

Доказательство: прямой образ вычисляется как тотализация комплекса Чеха, являющегося комплексом матричных факторизаций на X с когерентными когомологиями обоих комплексов-строчек (поскольку самый обычный производный прямой образ при собственном морфизме сохраняет когерентность комплексов пучков). Отсюда все следует.

Это доказательство хорошо во всех отношениях, но утверждение слишком слабо. Переходя к триангулированным категориям особенностей, можно показать, что для сохранения когерентности достаточно собственности морфизма нулевых локусов, и даже просто относительной собственности носителя. При этом надо предполагать, однако, что w и f*w являются локальными не делителями нуля.

Есть сильное ощущение, что последнее условие тут не по делу, но если переходить к триангулированным категориям особенностей, то оно необходимо. Понятие носителя матричной факторизации, однако, ни от каких предположений регулярности w не зависит.

Нельзя ли как-нибудь прямо доказать, что когерентность матричной факторизации сохраняется прямым образом морфизма, собственного на ее носителе, не пользуясь ни предположением, что w и f*w не делят ноль, ни переходом к триангулированным категориям особенностей?

P.S. Собственно, что это я? я же теперь знаю, как такие вещи делаются. Нужно просто описать функтор ограничения матричных факторизаций на открытую подсхему как функтор локализации Вердье по триангулированной категории матричных факторизаций, пучки-члены которых имеют теоретико-множественный носитель на замкнутом дополнении.
Tags: math5
Subscribe

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 2 comments