Лёня Посицельский (posic) wrote,
Лёня Посицельский
posic

Category:

Как работать с идемпотентными пополнениями триангулированных категорий

Я тут нашел у себя ошибку в последнем доказательстве в статье, и так разволновался, что временно разучился отличать свободно доступные публикации от требующих оплаты доступа (см. предыдущий постинг). Но ошибка заделывается.

Как согласовано взятие ядра триангулированного функтора с переходом к идемпотентному пополнению или толстой оболочке? Допустим, имеется триангулированный функтор F: C → D, и K ⊂ C есть ядро (полная триангулированная подкатегория всех объектов, аннулируемых) F. Пусть c ⊂ C и d ⊂ D -- полные триангулированные подкатегории, такие что F(c) ⊂ d. Обозначим через f ограничение F на c, и пусть k ⊂ с -- ядро функтора f.

Далее, пусть c' и d' -- толстые оболочки (минимальные толстые подкатегории, содерждащие) c ⊂ С и d ⊂ D, соответственно; тогда ограничение F на c' задает функтор f': c' → d'. Пусть k' -- его ядро. Понятно, что категория k' содержится в K и содержит толстую оболочку k в K; но как доказать, что она совпадает с этой толстой оболочкой?

Если решать эту задачу в лоб, то получится вот что. Допустим, объект X ∈ c' аннулируется функтором F. Тогда существует объект Y ∈ c', такой что X ⊕ Y принадлежит c. Хотелось бы сказать, что X ⊕ Y принадлежит k, и поэтому X принадлежит толстой оболочке k. Но это ниоткуда не следует -- никто не сказал, что F(Y) = 0.

Как же быть? Хотелось бы подобрать на место Y не случайный объект, а какой-то "хороший"; так, чтобы, в частности, из F(X) = 0 следовало F(Y) = 0. На самом деле, это всегда можно сделать, и очень просто: взять Y = X[1].

Утверждение: если c' -- триангулированная категория и c -- полная триангулированная подкатегория в ней, такая что всякий объект c' является прямым слагаемым объекта из с, и X ∈ c', то X ⊕ X[1] ∈ c.

Доказательство: это следует из теоремы 2.1, что в разделе 3 (так!) статьи Томасона, точную ссылку на которую можно найти в предыдущем постинге.

Upd.: на самом деле, доказательство занимает одну строчку: если X ∈ c' и X ⊕ Y ∈ c, то из выделенного треугольника X ⊕ Y → X ⊕ X[1] → X[1] ⊕ Y[1] → X[1] ⊕ Y[1] следует, что X ⊕ X[1] ∈ c.
Tags: math5
Subscribe

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments