Лёня Посицельский (posic) wrote,
Лёня Посицельский
posic

Периодичность Кноррера с нечетными образующими

Некие (говорят, известные) физики (ну, в известном смысле этого слова...), говорят, утверждают, что бывает нечетный вариант периодичности Кн.: если добавить к CDG-алгебре, описывающей какие-то там матричные факторизации, две свободные центральные нечетные переменные ξ и η, а к потенциалу (кривизне) добавить член ξη, категория (каких-то там) матричных факторизаций не изменится.

Проблема в том, что в обычном четном случае симметрической алгебре от двух образующих x,y с элементом кривизны x2 + y2 двойственна по Кошулю алгебра Клиффорда от двух нечетных образующих, представления которой суть примерно то же самое, что векторные пространства, может быть, градуированные. Внешней же алгебре от двух образующих ξ, η с элементом кривизны ξη соответствует алгебра Вейля (дифференциальных операторов на аффинной прямой), ну и ее представления посложнее векторных пространств будут.

Несколько дней мы с Давидом Ф. бесплодно обсуждали этот парадокс, и я, считая с самого начала, что физики они и есть физики, что с них возьмешь, пришел уже было к выводу, что придать смысл этому делу нельзя, разве что заменить эквивалентность категорий на вполне строгий функтор. Но у Саши П. оказалась лучшая теория о том, что могут иметь в виду физики, и в итоге вывод у нас получился такой.

Надо проградуировать все это дело целыми числами так, чтобы образующие алгебры Вейля попали одна в градуировку 2, другая −2, что-то в этом роде (для этого нужно, чтобы ξ и η сидели в градуировках 3 и −1, примерно так). После этого мы хотим рассматривать только такие модули над алгеброй Вейля, которые ограничены по градуировке снизу. Это значит, что одна из образующих действует локально нильпотентно, и легко видеть, что категория таких модулей над алгеброй Вейля есть действительно категория градуированных векторных пространств. (Там остаются только сдвиги одного единственного неприводимого модуля, типа k[x] над k[x,∂/∂x]. На него действительно производная категория векторных пространств натягивается внутри производной категории модулей над алгеброй Вейля.)

На кошулево двойственной стороне это, скорее всего, означает, что нужно рассматривать CDG-модули над внешней алгеброй от ξ и η, подлежащие градуированные модули которых свободны и ограничены по градуировке снизу, что-то такое.
Tags: math5
Subscribe

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments