Пусть R -- коммутативное кольцо, A -- некоммутативное, и R → A -- гомоморфизм колец, удовлетворяющий нижеследующему условию (это называется, что A -- дифференциальный бимодуль или, в моей новой терминологии, "квази-алгебра" над R). Требуется, чтобы для любых элементов r из R и a из A существовало натуральное n, такое что последовательность элементов b 0 = a, b i+1 = rb i − b i r обращается в ноль начиная с номера n, т.е., b n = 0. Следующее далее с большой вероятностью является слабеньким следствием результатов из работы Рено-Грюзон, но я туда пока еще по этому поводу не заглядывал, а повозился немножко сам, и вот что получилось. Утверждение: пусть М -- левый R-модуль, такой что для любого простого идеала p из R локализация (p) M модуля M в точке p является плоским модулем над некоммутативным кольцом (p) A = A (p) , или, что все равно, над некоммутативным кольцом A. Тогда и сам модуль M является плоским A-модулем. Доказательство: основным нашим инструментом является точная последовательность Чеха. Для разминки, докажем сначала, что если f i -- (конечный) набор элементов кольца R, такой что спектр R является объединением спектров его локализаций по элементам f i (т.е. попросту элементы f i порождают единичный идеал в R), и локализация M по каждому из элементов f i является плоским A-модулем, то и сам M является плоским A-модулем. Точная последовательность Чеха имеет вид 0 → M → ⊕ i [f i −1 ]M → ⊕ i < j [f i −1 ,f j −1 ]M → … → 0. Очевидно, локализация сохраняет плоскость. Если все нетривиальные члены, кроме самого левого, плоские, то и самый левый член тоже плоский. С разминкой мы справились. Пусть теперь N → K -- инъективный гомоморфизм правых A-модулей; мы хотим показать, что гомоморфизм абелевых групп N⊗ A M → K⊗ A M инъективен. Для любого простого идеала p в R этот гомоморфизм отображается в гомоморфизм N⊗ A (p) M → K⊗ A (p) M, который инъективен по нашему предположению. Поэтому достаточно проверить, что гомоморфизмы N⊗ A M → N⊗ A (p) M совокупно инъективны. Допустим, некий элемент x из N⊗ A M аннулируется всеми этими гомоморфизмами. Группа N⊗ A (p) M является прямым пределом групп N⊗ A [f −1 ]M по всем элементам f из R, не принадлежащим p. Поэтому (и ввиду компактности спектра) найдется конечный набор элементов f i в R, не содержащийся ни в каком простом идеале, такой что наш элемент x переходит в нулевые элементы при отображениях N⊗ A M во все N⊗ A [f i −1 ]M. Рассмотрим точную последовательность Чеха выше; пусть Z 1 обозначает ее первый модуль коциклов=кограниц (образ самой левой стрелки, не являющейся заведомо вложением. Тогда элемент x приходит при граничном отображении из некоторого элемента x 1 группы Tor A 1 (N,Z 1 ). Рассмотрим образ у 1 элемента x 1 в группе Tor A 1 (N,С 2 ), где C 2 -- третий слева нетривиальный член точной последовательности Чеха. Поскольку Tor A 1 (N, (p) M) = 0 для всех p и функтор Tor 1 тоже коммутирует с прямыми пределами, ... [Что, собственно? Проблема в том, что происходит с пересечениями при измельчении исходного покрытия. Плюс еще другая проблема, что при измельчении покрытия последовательность будет становиться все длиннее, так что процесс расходится.]