Начнем с метатезиса: везде, где возникает того или иного рода бесконечное суммирование, необходимо иметь заданное представление о том, какие слагаемые больше других, что доминирует над чем по порядку величины. В частности, это относится к процедуре тотализации бикомплексов: выбор между взятием прямых сумм или прямых произведений вдоль диагоналей -- это алгебраическая версия идеи, что элементы разных членов бикомплекса, стоящих вдоль одной и той же диагонали, необходимо упорядочить в том или ином направлении, выбрать, какие из них будут доминировать над какими. Если дифференциал имеет вид d + ∂ и пишется спектральная последовательность, в которой сначала берутся когомологии по d, а потом по ∂, это значит, что d было объявлено доминирующим над ∂ по порядку величины: d -- это основной член, а ∂ -- поправка к нему. В соответствующем направлении упорядочены по отношению доминирования члены бикомплекса вдоль диагоналей. Это значит, что при тотализации бикомплекса надо брать бесконечные произведения в том направлении, в котором члены убывают по значимости, и бесконечные суммы в том, в котором они возрастают -- такие ряды Лорана. Это была призказка про бикомплексы; теперь собственно сказка про производные категории двух родов. Представим себе, что мы находимся в ситуации DG-алгебры, A-бесконечность алгебры, CDG-алгебры или чего-то в этом роде. У нее есть последовательность операций: обычно это как минимум m 1 (дифференциал) и m 2 (умножение); иной раз бывают еще m 3 , m 4 , ... (высшие умножения) и/или, наоборот, m 0 (кривизна). Так вот, точка зрения первого рода подразумевает, что по порядку величины m 1 >> m 2 >> m 3 >> ... Например, если DG-алгебры или A-бесконечность алгебры рассматриваются с точностью до квазиизоморфизма, это значит, в частности, что когда когомологии равны нулю, умножение на алгебре (или ее действие на модуле) не имеет значения. В этом выражается доминирование m 1 над m 2 . Появление нетривиального m 0 делает эту точку зрения проблематичной, поскольку m 0 тогда оказывается доминирующим членом. Элемент кривизны -- немножко слишком глупая штука, чтобы просто так позволять ему доминировать. Если он достаточно нетривиален, он просто убьет все остальное, и ничего интересного не останется. Точка зрения второго рода подразумевает, что m 0 << m 1 << m 2 . Проблема с ней в том, она не допускает существование неограниченного бесконечного ряда высших m n (поскольку они возрастают по порядку величины, так что это была бы расходимость; см. объяснения выше о том, что в направлении возрастания прямые произведения не допускаются, а нужно брать прямые суммы -- в этом, собственно, состоит смысл понятия о доминировании в данном алгебраическом контексте). Поэтому для применимости теорий второго рода высших умножений либо не должно быть вообще, либо их последовательность должна быть ограниченной, т.е. обрываться в том или ином смысле. См. раздел 7 статьи 0905.2621, особенно замечания там, по поводу того, что из этого получается для конкретных вариантов определений А-бесконечность алгебр и коалгебр.