Типовые задачи к экзамену по курсу "Кошулева двойственность"
Замок с постинга может быть в скором времени снят. Чтобы избежать обсуждения решений задач в комментах (экзамен, все-таки), все комменты автоматически прескринятся. Список задач и тем может (и, надеюсь, будет) пополняться.
I. Алгебры с образующими и соотношениями, кошулевы алгебры
1. Пусть A = k ⊕ A1 ⊕ A2 ⊕ … -- положительно градуированная ассоциативная алгебра над полем k. Предположим, что A мультипликативно порождена своей первой компонентой A1. Доказать неравенство dim A5 ≤ (dim A3)2.
2. Пусть A = T(V)/(R), где R ⊂ V⊗V -- квадратичная алгебра над полем k. Размерность векторного пространства V называется числом образующих A, размерность векторного пространства R -- числом соотношений A.
(a) Показать, что всякая квадратичная алгебра с одним соотношением кошулева.
(б) Привести пример некошулевой квадратичной алгебры с двумя образующими и двумя соотношениями.
3. Квадратичной алгеброй общего положения с g образующими и r соотношениями над полем комплексных чисел называется факторалгебра свободной ассоциативной алгебры, порожденной x1, … xg, по соотношениям вида ∑ asij xixj = 0, 1≤s≤r, где все коэффициенты asij алгебраически независимы над полем рациональных чисел. Является ли кошулевой квадратичная алгебра общего положения
(а) с двумя образующими и двумя соотношениями;
(б) c тремя образующими и двумя соотношениями?
4. Назовем положительно градуированную алгебру Ли L = L1 &oplus L2 ⊕ … кошулевой, если ее ассоциативная обертывающая алгебра U(L) кошулева в градуировке, индуцированной градуировкой L. Доказать, что если L -- кошулева алгебра Ли с конечномерными компонентами, то либо L конечномерна, либо lim sup (dim Ln)/an = ∞ для некоторого a > 1.
II. Неоднородная квадратичная двойственность
5. Неоднородной кошулевой алгеброй с g образующими и r соотношениями над полем k называется ассоциативная алгебра A~ с возрастающей фильтрацией F, такая что присоединенная градуированная алгебра A = grF A~ кошулева, dim A1 = g, и dim A2 = g2 − r. Классифицировать (с точностью до изоморфизма, сохраняющего фильтрацию) все неоднородные кошулевы алгебры с
- двумя образующими и одним соотношением
- двумя образующими и двумя соотношениями
- двумя образующими и тремя соотношениями
6. Супералгеброй Ли над полем k называется Z/2-градуированное векторное пространство L = L0 ⊕ L1 вместе с Z/2-градуированной ассоциативной алгеброй A, снабженной возрастающей мультипликативной фильтрацией однородными подпространствами FiA, такой что присоединенная градуированная алгебра grFA изоморфна тензорному произведению симметрической алгебры с образующими в положительной градуировке 1 и Z/2-градуировке 0 и внешней алгебры с образующими в положительной градуировке 1 и Z/2-градуировке 1. Описать структуру супералгебры Ли на языке заданных на ее элементах операций и связывающих их соотношений. Определение должно работать для полей k всех характеристик.
III. Комодули и контрамодули
7. Пусть C -- коассоциативная коалгебра с коединицей над полем k. Контратензорным произведением N ⊗C P [обычно я использую символ "точка в кружочке", но его, кажется, нет в HTML] правого C-комодуля N и левого C-контрамодуля P называется k-векторное пространство, являющееся коядром пары линейных отображений N ⊗k Homk(C,P) → N ⊗k P, одно из которых индуцировано контрадействием C на P, а другое является композицией отображения, индуцированного отображением кодействия C на N и отображения подстановки элементов C в линейные отображения C → P. Доказать, что для любого правого C-комодуля N и k-векторного пространства V имеет место естественный изоморфизм N ⊗C Homk(C,V) ≅ N ⊗k V.
8. Пусть C -- коассоциативная коалгебра с коединицей над полем k. Левый C-комодуль называется коплоским, если функтор котензорного произведения с ним точен (на абелевой категории правых C-комодулей); копроективным, если функтор Cohom из него точен (на абелевой категории левых C-контрамодулей); инъективным, если функтор Hom в него точен (на абелевой категории левых C-комодулей). Показать что классы коплоских, копроективных и инъективных C-комодулей совпадают.
9. Пусть C -- коассоциативная коалгебра с коединицей над полем k. Левый C-контрамодуль называется контраплоским, если функтор контратензорного произведения с ним точен (на абелевой категории правых C-комодулей); коинъективным, если функтор Cohom в него точен (на абелевой категории левых C-комодулей); проективным, если функтор Hom из него точен (на абелевой категории левых C-контрамодулей). Показать, что всякий проективный C-контрамодуль коинъективен, а всякий коинъективный C-контрамодуль является контраплоским. [На самом деле все три свойства эквивалентны, но доказательство этого выходит за пределы уровня типовых задач к настоящему экзамену.]
IV. Производное ко-контра соответствие, производная кошулева двойственность
10. Пусть V -- бесконечномерное векторное пространство над полем k и C = S(V) -- симметрическая коалгебра V (т.е. подкоалгебра в тензорной коалгебре V, состоящая из симметрических тензоров). Показать, что функтор производного комодульного-контрамодульного соответствия переводит тривиальный C-комодуль k в ацикличный комплекс C-контрамодулей.
11. Показать, что любые две ассоциативные DG-алгебры над полем k можно связать цепочкой переходов, некоторые из которых являются квазиизоморфизмами DG-алгебр (в том или ином направлении), а другие -- CDG-изоморфизмами DG-алгебр.
12. Конильпотентная коаассоциативная коалгебра с коединицей C над полем k называется горенштейновой по Артину-Шельтеру степени d, если функтор производного комодульно-контрамодульного соответствия переводит трививальный левый C-комодуль k в тривиальный левый C-контрамодуль k, помещенный в когомологическую градуировку d. Показать, что конильпотентная коалгебра C горенштейнова по Артину-Шельтеру тогда и только тогда, когда градуированная алгебра ExtC(k,k) (посчитанная в абелевой категории левых C-комодулей) фробениусова степени d, т.е. компонента ExtCd(k,k) одномерна и умножения на остальных компонентах, принимающие значения в этой компоненте, являются невырожденными спариваниями.
13. Пусть A -- аугментированная DG-алгебра над полем k. Сопоставим ей ее приведенную бар-конструкцию (т.е. тензорную коалгебру идеала аугментации A, снабженную дифференциалом ∂+d, одна компонента которого строится в терминах умножения на A, а другая индуцирована дифференциалом на A). Пусть DG-коалгебра C получается взятием прямых сумм вдоль диагоналей этого бикомплекса. DG-коалгебре C сопоставим ее кобар-конструкцию (т.е. тензорную алгебру факторпространства C по отображению коаугментации k→C, снабженную аналогичным дифференциалом ∂+d). Пусть DG-алгебра B получается взятием прямых произведений вдоль диагоналей этого бикомплекса (эта DG-алгебра B называется производным адическим пополнением аугментированной DG-алгебры A по ее идеалу аугментации).
а) Вычислить класс квазиизоморфизма DG-алгебры B, если A -- обертывающая алгебра алгебры Ли sl2(k), k -- поле характеристики нуль.
б) Пусть C -- коаугментированная CDG-коалгебра над k; построим по ней DG-алгебру B, как выше (т.е. снабдим тензорную алгебру пространства C/k дифференциалом ∂+d+δ с компонентами, индуцированными умножением, дифференциалом и линейной функцией кривизны C, и возьмем прямые произведения вдоль диагоналей). Показать, что если линейная функция кривизны на C не равна нулю, то алгебра когомологий DG-алгебры B равна нулю.
I. Алгебры с образующими и соотношениями, кошулевы алгебры
1. Пусть A = k ⊕ A1 ⊕ A2 ⊕ … -- положительно градуированная ассоциативная алгебра над полем k. Предположим, что A мультипликативно порождена своей первой компонентой A1. Доказать неравенство dim A5 ≤ (dim A3)2.
2. Пусть A = T(V)/(R), где R ⊂ V⊗V -- квадратичная алгебра над полем k. Размерность векторного пространства V называется числом образующих A, размерность векторного пространства R -- числом соотношений A.
(a) Показать, что всякая квадратичная алгебра с одним соотношением кошулева.
(б) Привести пример некошулевой квадратичной алгебры с двумя образующими и двумя соотношениями.
3. Квадратичной алгеброй общего положения с g образующими и r соотношениями над полем комплексных чисел называется факторалгебра свободной ассоциативной алгебры, порожденной x1, … xg, по соотношениям вида ∑ asij xixj = 0, 1≤s≤r, где все коэффициенты asij алгебраически независимы над полем рациональных чисел. Является ли кошулевой квадратичная алгебра общего положения
(а) с двумя образующими и двумя соотношениями;
(б) c тремя образующими и двумя соотношениями?
4. Назовем положительно градуированную алгебру Ли L = L1 &oplus L2 ⊕ … кошулевой, если ее ассоциативная обертывающая алгебра U(L) кошулева в градуировке, индуцированной градуировкой L. Доказать, что если L -- кошулева алгебра Ли с конечномерными компонентами, то либо L конечномерна, либо lim sup (dim Ln)/an = ∞ для некоторого a > 1.
II. Неоднородная квадратичная двойственность
5. Неоднородной кошулевой алгеброй с g образующими и r соотношениями над полем k называется ассоциативная алгебра A~ с возрастающей фильтрацией F, такая что присоединенная градуированная алгебра A = grF A~ кошулева, dim A1 = g, и dim A2 = g2 − r. Классифицировать (с точностью до изоморфизма, сохраняющего фильтрацию) все неоднородные кошулевы алгебры с
- двумя образующими и одним соотношением
- двумя образующими и двумя соотношениями
- двумя образующими и тремя соотношениями
6. Супералгеброй Ли над полем k называется Z/2-градуированное векторное пространство L = L0 ⊕ L1 вместе с Z/2-градуированной ассоциативной алгеброй A, снабженной возрастающей мультипликативной фильтрацией однородными подпространствами FiA, такой что присоединенная градуированная алгебра grFA изоморфна тензорному произведению симметрической алгебры с образующими в положительной градуировке 1 и Z/2-градуировке 0 и внешней алгебры с образующими в положительной градуировке 1 и Z/2-градуировке 1. Описать структуру супералгебры Ли на языке заданных на ее элементах операций и связывающих их соотношений. Определение должно работать для полей k всех характеристик.
III. Комодули и контрамодули
7. Пусть C -- коассоциативная коалгебра с коединицей над полем k. Контратензорным произведением N ⊗C P [обычно я использую символ "точка в кружочке", но его, кажется, нет в HTML] правого C-комодуля N и левого C-контрамодуля P называется k-векторное пространство, являющееся коядром пары линейных отображений N ⊗k Homk(C,P) → N ⊗k P, одно из которых индуцировано контрадействием C на P, а другое является композицией отображения, индуцированного отображением кодействия C на N и отображения подстановки элементов C в линейные отображения C → P. Доказать, что для любого правого C-комодуля N и k-векторного пространства V имеет место естественный изоморфизм N ⊗C Homk(C,V) ≅ N ⊗k V.
8. Пусть C -- коассоциативная коалгебра с коединицей над полем k. Левый C-комодуль называется коплоским, если функтор котензорного произведения с ним точен (на абелевой категории правых C-комодулей); копроективным, если функтор Cohom из него точен (на абелевой категории левых C-контрамодулей); инъективным, если функтор Hom в него точен (на абелевой категории левых C-комодулей). Показать что классы коплоских, копроективных и инъективных C-комодулей совпадают.
9. Пусть C -- коассоциативная коалгебра с коединицей над полем k. Левый C-контрамодуль называется контраплоским, если функтор контратензорного произведения с ним точен (на абелевой категории правых C-комодулей); коинъективным, если функтор Cohom в него точен (на абелевой категории левых C-комодулей); проективным, если функтор Hom из него точен (на абелевой категории левых C-контрамодулей). Показать, что всякий проективный C-контрамодуль коинъективен, а всякий коинъективный C-контрамодуль является контраплоским. [На самом деле все три свойства эквивалентны, но доказательство этого выходит за пределы уровня типовых задач к настоящему экзамену.]
IV. Производное ко-контра соответствие, производная кошулева двойственность
10. Пусть V -- бесконечномерное векторное пространство над полем k и C = S(V) -- симметрическая коалгебра V (т.е. подкоалгебра в тензорной коалгебре V, состоящая из симметрических тензоров). Показать, что функтор производного комодульного-контрамодульного соответствия переводит тривиальный C-комодуль k в ацикличный комплекс C-контрамодулей.
11. Показать, что любые две ассоциативные DG-алгебры над полем k можно связать цепочкой переходов, некоторые из которых являются квазиизоморфизмами DG-алгебр (в том или ином направлении), а другие -- CDG-изоморфизмами DG-алгебр.
12. Конильпотентная коаассоциативная коалгебра с коединицей C над полем k называется горенштейновой по Артину-Шельтеру степени d, если функтор производного комодульно-контрамодульного соответствия переводит трививальный левый C-комодуль k в тривиальный левый C-контрамодуль k, помещенный в когомологическую градуировку d. Показать, что конильпотентная коалгебра C горенштейнова по Артину-Шельтеру тогда и только тогда, когда градуированная алгебра ExtC(k,k) (посчитанная в абелевой категории левых C-комодулей) фробениусова степени d, т.е. компонента ExtCd(k,k) одномерна и умножения на остальных компонентах, принимающие значения в этой компоненте, являются невырожденными спариваниями.
13. Пусть A -- аугментированная DG-алгебра над полем k. Сопоставим ей ее приведенную бар-конструкцию (т.е. тензорную коалгебру идеала аугментации A, снабженную дифференциалом ∂+d, одна компонента которого строится в терминах умножения на A, а другая индуцирована дифференциалом на A). Пусть DG-коалгебра C получается взятием прямых сумм вдоль диагоналей этого бикомплекса. DG-коалгебре C сопоставим ее кобар-конструкцию (т.е. тензорную алгебру факторпространства C по отображению коаугментации k→C, снабженную аналогичным дифференциалом ∂+d). Пусть DG-алгебра B получается взятием прямых произведений вдоль диагоналей этого бикомплекса (эта DG-алгебра B называется производным адическим пополнением аугментированной DG-алгебры A по ее идеалу аугментации).
а) Вычислить класс квазиизоморфизма DG-алгебры B, если A -- обертывающая алгебра алгебры Ли sl2(k), k -- поле характеристики нуль.
б) Пусть C -- коаугментированная CDG-коалгебра над k; построим по ней DG-алгебру B, как выше (т.е. снабдим тензорную алгебру пространства C/k дифференциалом ∂+d+δ с компонентами, индуцированными умножением, дифференциалом и линейной функцией кривизны C, и возьмем прямые произведения вдоль диагоналей). Показать, что если линейная функция кривизны на C не равна нулю, то алгебра когомологий DG-алгебры B равна нулю.