Лёня Посицельский (posic) wrote,
Лёня Посицельский
posic

Проблема кривизны

имени Венди Тор Л. состоит в следующем. Как известно, пространство инфинитезимальных деформаций ассоциативной алгебры (над полем) есть пространство ее вторых когомологий Хохшильда. Попробуем обобщить это на случай DG-алгебр. У DG-алгебры (A,d) над k есть бикомплекс Хохшильда, где на диагонали, соответствующей степени 2, стоят пространства A2, Hom1k(A,A), Hom0k(A⊗kA, A), и т.д. Элементы пространства Hom0k(A⊗kA, A), очевидно, отвечают за деформации умножения в A, элементы пространства Hom1k(A,A) -- за деформации дифференциала на A. Элементы пространств Hom из тензорных произведений трех и более множителей -- за деформации A, связанные с добавлением высших умножений, так что получается A-алгебра. Ну, а элементы A2 отвечают за появление кривизны, так что получается CDG-алгебра.

Проблема в том, что деформировать DG-алгебру с получением CDG-алгебры -- дело в некоторых отношениях не вполне осмысленное. Скажем, с DG-алгеброй можно связать производную категорию DG-модулей над ней. Никакого продолжения на CDG-алгебры эта конструкция не имеет. Аналогично, у DG-алгебры есть алгебра когомологий, у CDG-алгебры -- нет. В общем, CDG-алгебра вроде бы и разумный объект, но как с ним работать в этом контексте, непонятно.

Я тут поразмыслил, и остановился на следующей, так сказать, философской позиции по этому вопросу. Следует различать теории первого и второго рода. В теории второго рода, за инфинитезимальные деформации CDG-алгебры отвечают ее вторые когомологии Хохшильда второго рода. В частности, деформацией DG-алгебры может быть CDG-алгебра; в общем же случае такой деформацией оказывается "CA-алгебра" -- A-алгебра с кривизной, но с дополнительным условием, что ненулевых высших умножений конечное число.

В теории первого рода, за инфинитезимальные деформации DG-алгебры отвечают вторые когомологии ее комплекса Хохшильда первого рода, из которого удален нулевой столбец, т.е. сама DG-алгебра, рассматриваемая как комплекс. Это такой подкомплекс комплекса Хохшильда первого рода. В общем случае, деформацией DG-алгебры являтся A-алгебра (без кривизны, но с возможно бесконечным числом высших умножений). Таким образом, в теории первого рода запрещенными объявляются не только CDG-деформации DG-алгебр, но и CDG-изоморфизмы DG-деформаций DG-алгебр.

Последние проблематичны в том же смысле, что и CDG-деформации: они не индуцируют никаких эквивалентностей производных категорий DG-модулей, никаких изоморфизмов алгебр когомологий, и т.д. В общем, по-моему, аналогия с теорией A-алгебр с кривизной и без, изложенной в разделе 7 статьи Two kinds of derived categories ..., подсказывает вывод, что нулевой столбец бикомплекса Хохшильда не имеет деформационного смысла в теории первого рода.

На худой конец (если важно отношение когомологичности на 1-коциклах Хохшильда, скажем, в видах построения стека модулей деформаций и т.п.) можно сохранить неположительную половину нулевого столбца, заменив его на его каноническое обрезание в нуле, τ≤0 A. Такой подкомплекс, правда, не замкнут относительно операций подстановки, так что идеального решения проблема может и не иметь.
Tags: math4
Subscribe

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments