Продолжение http://posic.livejournal.com/589669.html Теорема. Следующие свойства градуированного Ω-модуля над аффинной (регулярной, конечной размерности Крулля) схемой X эквивалентны. (Все Tor и Ext подразумеваются обычные, не внутренние, что осмысленно ввиду предположения аффинности X.) 1. Tor Ω i (O,M) = 0 при i > 0; 2. Tor Ω i (F,M) = 0 при i > 0 для любого O-плоского Ω-модуля F; 3. Ext Ω i (M,I) = 0 при i > 0 для любого инъективного O-модуля I, рассматриваемого как Ω-модуль с тривиальным действием; 4. Ext Ω i (M,J) = 0 при i > 0 для любого O-инъективного Ω-модуля J; 5. Ext Ω i (O,M) = 0 при i > 0; 6. Ext Ω i (P,M) = 0 при i > 0 для любого O-проективного Ω-модуля P. Все эти утверждения зависят только от (проективности и) фробениусовости Ω как градуированной O-алгебры. Доказательство. Импликации 2 => 1, 4 => 3 и 6 => 5 очевидны. 1 <=> 3: Кобар-конструкция, вычисляющая этот Ext, получается применением функтора Hom O (-,I) к бар-конструкции, вычисляющей этот Tor. Поскольку I -- произвольный инъективный O-модуль, этого достаточно. 4 => 2: аналогичное рассуждение, примененное к J = Hom O (F,I), где I -- инъективная кообразующая абелевой категории O-модулей. Нетривиальную часть доказательства составляют импликации 1 => 6 и 5 => 4. 1 => 6: рассмотрим свободную левую резольвенту Ω-модуля M; канонически обрежем ее в достаточно далеком члене. С краю появится модуль Q, удовлетворяющий тому же условию 1, что и M, а кроме того являющийся проективным O-модулем, и O⊗ Ω Q тоже является проективным O-модулем. Из этих свойств нетрудно заключить ("лемма Накаямы"), что Q является проективным Ω-модулем. Двигаясь обратно вдоль резольвенты, обнаруживаем, что M можно получить из индуцированных = коиндуцированных (с O) Ω-модулей с помощью операции перехода к коядру вложения. Отсюда сразу следует свойство 6. 5 => 4: двойственное рассуждение к предыдущему, использующее правую инъективную резольвенту Ω-модуля M.