Лёня Посицельский (posic) wrote,
Лёня Посицельский
posic

Кошулева двойственность и бимодули

Если A и B -- DG-алгебры над полем k, C и D -- кошулево двойственные CDG-коалгебры, то к DG-алгебре A⊗B кошулево двойственной является CDG-коалгебра C⊗D. Поэтому производная категория A-B-DG-бимодулей эквивалентна копроизводной категории C-D-CDG-бикомодулей.

Пусть K -- A-B-DG-бимодуль и N -- соответствующий C-D-CDG-бикомодуль. Тогда кошулева тройственность переводит функтор тензорного умножения на K, бьющий из DG-модулей над B в DG-модули над A, в функтор котензорного умножения на N, бьющий из CDG-комодулей над D в CDG-комодули над C. Она же переводит функтор Hom(K,-), бьющий из DG-модулей над A в DG-модули над B, в функтор Cohom(N,-), бьющий из CDG-контрамодулей над C в CDG-контрамодули над D. (Под всеми тензорными операциями выше подразумеваются производные функторы, разумеется.)

Таким образом, комодульно-контрамодульное соответствие превращает функторы (производного) котензорного умножения на N и Cohom из N в сопряженные. (Это следует доказывать непосредственно, не пользуясь кошулевой двойственностью, конильпотентностью C и D, и проч.: просто комодульно-контрамодульное соответствие превращает Ext в Coext, и остается воспользоваться ассоциативностью котензорного произведения с Cohom.)
Tags: math4
Subscribe

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 0 comments