Кому как, а лично для меня, линейный оператор, логарифм которого всю жизнь хотелось, но обычно не получалось взять -- это, конечно, оператор монодромии вокруг выброшенного дивизора. В проконечном контексте, речь идет о группе Галуа поля дискретного нормирования. Пусть K -- гензелево (скажем, полное) поле дискретного нормирования и k -- его поле вычетов, характеристики, отличной от l. Тогда абсолютная группа Галуа G k есть факторгруппа абсолютной группы Галуа G K по группе инерции I. Последняя есть произведение своих силовских подгрупп, из которых нас интересует силовская про-l-подгруппа I l . Это группа слабого l-ветвления, канонически изоморфная проективному пределу Z l (1) групп l N -корней из 1 в алгебраическом замыкании k (в силу условия на характеристику k). Пусть V -- G K -модуль, конечно-порожденный над кольцом целых l-адических чисел. Предположим, что Тогда I l действует на V унипотентными операторами операторами, унипотентными по модулю любой степени l. Мы хотели бы получить из этого действия отображение V(1) → V, эквивариантное относительно G K (так, чтобы ядром и коядром этого отображения были инварианты и коинварианты действия I l на V). Если бы у нас был логарифм, мы бы просто написали v ⊗ x → log(x)(v), но логарифма x не существует. Что же делать? Смириться с тем, что вместо одного такого оператора у нас будет целое семейство операторов R x , коммутирующих с действием G K , но зависящих от выбора образующей x в I l . Хуже того, областью определения оператора R x будет не G K -модуль V(1), а некоторое его скручивание V(1) x , тоже зависящее от x. При замене образующей x на x m , где m ∈ Z l *, будет появляться однозначно определенный изоморфизм между G K -модулями V(1) x и V(1) x m , трансформирующий R x в R x m . Как Z l -модули, V(1) и V(1) x совпадают, но действие G K на них различно. А именно, чтобы получить действие элемента g из G K на V(1) x , надо умножить оператор действия g в V(1) слева на унипотентный оператор ψ(x,χ(g)), т.е. ρ x (g) = ψ(x,χ(g))ρ(g), где χ: G K → Z l * -- циклотомический характер (который, естественно, факторизуется через G k ). Оператор R x есть просто v ⊗ x → (x−1)v. Наконец, изоморфизм V(1) x → V(1) x m задается оператором ψ(x,m) −1 . Напоследок заметим, что над рациональными l-адическими числами, где log(x) существует, отображение V(1) → V(1) x , задаваемое унипотентным оператором 1 − (x−1)/2 + (x−1) 2 /3 − … (ряд для log(z)/(z−1) в окрестности z=1 с подстановкой z=x) отождествляет все модули V(1) x с V(1) и операторы R x с изначально чаемым нами R(v⊗x) = log(x)(v). Надо только формулы перепроверить... 9.01.11 - Update. Что-то весь этот сюжет у меня очень медленно дебагится. С чего это я решил (повторяется многократно в постингах на эту тему), что группа инерции есть произведение групп дикого и слабого ветвления? На самом деле, дикое ветвление там нормальная подгруппа, и прежде чем применять конструкцию выше, надо взять относительно нее инвариантны. Другое дело, если заведомо известно, что группа инерции действует унипотентно. Тогда действие группы дикого ветвления заведомо тривиально, как и действие всех компонент группы слабого ветвления, кроме l-компоненты. Или я опять чего-то путаю?